第九章 向量与空间解析几何 第一节空间直角坐标系与向量的概念 第二节向量的点积与叉积 第三节平面与直线 第四节曲面与空间曲线 *第五节矢量函数的微积分 ☑D☒☒
第九章 向量与空间解析几何 第一节 空间直角坐标系与向量的概念 第二节 向量的点积与叉积 第三节 平面与直线 第四节 曲面与空间曲线 *第五节 矢量函数的微积分
第一节空间直角坐标系与向量的概念 一、 空间直角坐标系 二、向量的基本概念及线性运算 三、向量的坐标表示 ☑D☑I
第一节 空间直角坐标系与向量的概念 一、空间直角坐标系 二、向量的基本概念及线性运算 三、向量的坐标表示
一、空间直角坐标系 空间直角坐标系：过空间一个定点O,作三 条相互垂直的数轴，它们都以O为原点且一般具 有相同单位长度，这三条数轴分别叫做x轴（横 轴)、轴（纵轴）和轴（竖轴），一般是将x轴 和轴放置在水平面上，那么轴就垂直于水平面； 它们的方向通常符合右手螺旋法则，即伸出右手， 让四指与大拇指垂直，并使四指先指向x轴，然后 让四指沿握拳方向旋转90指向轴，此时大拇指 的方向即为轴方向.这样就构成了空间直角坐标 系，O称为坐标原点. ☑☑
空间直角坐标系:过空间一个定点 O，作三 条相互垂直的数轴，它们都以 O为原点且一般具 有相同单位长度, 这三条数轴分别叫做x轴（横 轴）、y轴（纵轴）和z轴（竖轴）. 一般是将x轴 和y轴放置在水平面上,那么z轴就垂直于水平面； 它们的方向通常符合右手螺旋法则,即伸出右手, 让四指与大拇指垂直,并使四指先指向x轴,然 后 让四指沿握拳方向旋转 90 指向y轴,此时大拇指 的方向即为z轴方向.这样就构成了空间直角坐标 系 ，O称为坐标原点. 一、空间直角坐标系
yO:平面 0x平面 xOy平面 坐标面：在空间直角坐标系中，每两轴所确定的平 面称为坐标平面，简称坐标面.即xOy坐标面、yOz坐标 面和Ox坐标面. ☑D冈I
坐标面：在空间直角坐标系中,每两轴所确定的平 面称为坐标平面,简称坐标面.即xOy坐标面、yOz坐 标 面 和zOx坐标面. O z x y zOx平面 yOz平面 xOy 平面
卦限：在空间直角坐标系中，坐标面把空间分为八个 部分，每一个部分称为一个卦限.在xOy坐标面上方有四 个卦限，下方有四个卦限.含x轴，y轴和z轴正向的卦限 称为第I卦限，然后逆着轴二正向看时，按逆时针顺序依 次为Ⅱ，Ⅲ，V卦限，对于分别位于I,Ⅱ，Ⅲ，V卦限下 面的四个卦限，依次为第V,I,I,Ⅷ卦限. ☑D☑I
卦限：在空间直角坐标系中,坐标面把空间分为八个 部分,每一个部分称为一个卦限.在xOy坐标面上方有四 个卦限,下方有四个卦限.含 x 轴,y 轴和 z 轴正向的卦限 称为第Ⅰ卦限,然后逆着轴 z 正向看时,按逆时针顺序依 次为Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ卦限,对于分别位于Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ ,Ⅳ卦限下 面的四个卦限,依次为第Ⅴ,Ⅵ,Ⅶ,Ⅷ卦限. O x y Ⅳ Ⅰ Ⅴ Ⅶ Ⅵ Ⅷ Ⅲ Ⅱ z
点的坐标：设P为空间的任意一点，过点P作垂直 于坐标面xOy的直线得垂足P,过P分别与x轴，轴垂 直且相交的直线，过P作与轴垂直且相交的直线，依次 得x,y,z轴上的三个垂足M,N,R.设xy,z分别是 M,N,R点在数轴上的坐标.这样空间内任一点P就确 定了惟一的一组有序的数组x,y,三，用(x,y,)表示. 反之，任给出一组有序 R 数组x,y和：，也能确定了 P(x,yz） 空间内惟一的一个点P,而 x,y和z恰恰是点P的坐 标 X ☑D☒☒
点的坐标：设P 为空间的任意一点,过点 P 作垂直 于坐标面xOy的直线得垂足 P,过 P分别与x轴,y轴垂 直且相交的直线,过 P 作与z轴垂直且相交的直线,依次 得 x y z , , 轴 上 的 三 个 垂 足 M ,N,R. 设 x y z , , 分别是 M ,N,R点在数轴上的坐标.这样空间内任一点 P 就确 定了惟一的一组有序的数组 x y z , , ,用 ( , , ) x y z 表示. 反 之,任给出一组有序 数 组x y, 和 z ,也能确定了 空间内惟一的一个点 P ,而 x y, 和 z 恰恰是点 P 的 坐 标. z x O y N M P(x, y,z) P' y R z x
根据上面的法则，建立了空间一点与一组有序数 (x,y,:)之间的一一对应关系.有序数组x,y,z)称为点 P的坐标，x,y,z分别称为x坐标，y坐标和坐标. 二、向量的基本概念及线性运算 1.向量的基本概念 向量：既有大小又有方向的量称为向量（或矢量）· 向量一般用黑体小写字母表 示，如4，b,c等.有时也用a,b,c等 表示向量.几何上，也常用有向线 段来表示向量，起点为M,终点为 N的向量记为MN, M ☑冈I
根据上面的法则,建立了空间一点与一组有序数 （x,y ,z）之间的一一对应关系.有序数组( , , ) x y z 称为点 P的坐标,x,y ,z 分别称为x坐标, y 坐标和z坐标. 1.向量的基本概念 向量：既有大小又有方向的量称为向量（或矢量）. 向量一般用黑体小写字母表 示,如a,b,c等.有时也用a b c , , 等 表示向量.几何上,也常用有向线 段来表示向量,起点为M ,终点为 N 的向量记为 MN . N M 二、向量的基本概念及线性运算
向量的模：向量的大小称为向量的模，用引a, |b1,Ic,或AB表示向量的模. 单位向量：模为1的向量称为单位向量， 零向量：模为0的向量称为零向量，记为0.规定 零向量的方向为任意方向. 定义1如果向量4和b的大小相等且方向相同， 则称向量a与b相等，记为a=b. 2.向量的线性运算 (1)加法（平行四边形法则）将向量a与b的 起点放在一起，并以a和b为邻边作平行四边形，则 从起点到对角顶点的向量称为向量a和b的和向 量，记为a+b. ☑D☑I
向量的模：向量的大小称为向量的模.用 | a | ， | b |，| c |，或 AB 表示向量的模. 单位向量：模为1的向量称为单位向量. 零向量：模为0的向量称为零向量,记为0.规定 零向量的方向为任意方向. 定义1 如果向量 a 和 b 的大小相等且方向相同, 则称向量 a 与 b相等，记为 a b = . 2. 向量的线性运算 (1) 加法（平行四边形法则） 将向量 a 与 b 的 起点放在一起,并以 a 和 b 为邻边作平行四边形,则 从起点到对角顶点的向量称为向量 a 和 b 的和向 量,记为 a +b
a +D b 向量加法的三角形法则：把b的起点放到向量4 的终点上，把自a的起点的到向量b的终点的向量为 a+b. 向量加法运算规律： 交换律：a+b=b+a; 结合律：(a+b)+c=a+(b+c). (2)向量与数的乘法 定义2设入为一实数，向量a与数入的乘积是一 个向量，记为入a,并且规定：(1)川入a曰入Ia;(2)当2>0 时，入a与a同向；当7<0时，入a与a反向；(3)当元=0 时，入a=0(零向量)· ☑冈I
向量加法的三角形法则：把 b 的起点放到向量 a 的终点上,把 自 a 的起点的到向量 b 的终点的向量为 a b + . 向量加法运算规律： 交换律：a + b = b + a； 结合律：(a + b) + c = a + (b + c). （2）向量与数的乘法 定 义2 设 为一实数,向量 a与 数 的乘积是一 个向量,记为 a,并且规定：(1)| a |=| || a |；(2)当 0 时 , a与a同向；当 0时, a与 a反向；(3)当 =0 时,a = 0（零向量）. a a + b b a a +b b
向量与数的乘法运算规律： 结合律：(ua)=(0μ)a=u(a)； 分配律：()+u)a=入a+ua,入(a+b)=入a+入b 交换律入a=a入. 同向的单位向量：设a是一个非零向量，则向量 a=_ 为与向量a同向的单位向量， a 定义32=-1时，记(-1)a=-a,则-a与a的方向 相反，模相等，称一a为a的负向量（也称其为a的逆 向量). 向量的减法： 向量a的b的差规定为a-b=a+(-b). ☑D☒
向量与数的乘法运算规律： 结合律：(a) = ()a = (a) ; 分配律：( + )a =a + a,(a + b) = a + b; 交换律：a = a. 同向的单位向量：设 a 是一个非零向量,则向量 | | = a a a 为与向量 a同向的单位向量. 定义 3 =-1 时,记(−1)a = −a,则 −a与 a的方向 相反,模相等,称 −a为 a的负向量（也称其为 a的逆 向量）. 向量的减法： 向量 a的 b的差规定为 a − b = a + (−b)