
2004一2005学年第一学期(2004)级(高等数学)考试试卷 号一三三四五大总分 三、选萍厘(每通2分,共10分) 订 分 (日)1.函数y=江的反函数是 填空(每空2分,共10分) ky中 系(部) ● 1、函数y=F+上的定义城为0,+ C.y=+ D.yx+4 2,复合函数y=nsn2x的复合过程为y=n队M=snr=2x (c)2、板限,的监等于 年 (y=hu,u=sinv,v=2x:y=lu.u=sin2x) A.e B.e? 3.x= C.e D.e 专业 (D)3、下列等式中不成立的是 (f):0) B. C=l 4、阶线性齐次预分方程y+p风xy=0的通解公式为y=ce-a D.x =l 班级 (y=cefa:y=ce (B)4.函数y=2x在闭区同0,3上的平均值万等于 5、4-7k=2z B.3 元,2m) 名 二、公式完型(每题1分,共10分) (D)5.下列微分方程中不是一阶微分方程的是 A y=ry B.y+xy=0 小m0 = c.y+3y=2 D.y-2y-3y=0 考试课 3、(eosx=-sinx 4.(wcans) 四、判断题(每题2分,共10分) 高海妆学 ().mf)=A台m=mf国=4 5、dx)=ak 6h点 (×)2、初等函数在其定义域内不一定连续 (√)3.有限个无穷小量的素积仍是无穷小量。 7、「e'dh=e+C 8、片=州+C (×)4、可导与连续的关系是:可导必连续,连线必可导 i0.∫csd2xd=-cor+C ()5.[sn=2
1 2004—2005 学年第一学期(2004)级(高等数学)考试试卷 系 (部) 年 级 04 级 专 业 班 级 姓 名 考试课程 高等数学 题 号 一 二 三 四 五 六 总 分 得 分 一、填空题(每空 2 分,共 10 分) 1、函数 x y x 1 的定义域为 0,. ( 0, ; 0, ) 2、复合函数 y ln sin 2x 的复合过程为 y ln u,u sin v,v 2x . ( y ln u,u sin v,v 2x ; y ln u,u sin 2x ) 3、 f (x)dx f (x) . ( f (x) ; 0 ) 4、一阶线性齐次微分方程 y p(x)y 0 的通解公式为 p x dx y ce ( ) . ( p x dx y ce ( ) ; p x dx y ce ( ) ) 5、 x dx 2 0 2 4 2 . ( ; 2 ) 二、公式完型(每题 1 分,共 10 分) 1、 x x 1 lim 0 2、 x x x 1 lim 1 e 3、 cosx sin x 4、 arcsinx 2 1 1 x 5、 ( ) d x x dx 1 6、d(ln x) dx x 1 7、 e dx x e C x 8、 dx x 1 ln x C 9、 dx x 2 1 1 arctanx C 10、 xdx 2 csc cotx C 三、选择题(每题 2 分,共 10 分) ( B )1、函数 x x y 1 2 的反函数是 A. x x y 1 B. 2 x x y C. 3 x x y D. 4 x x y ( C )2、极限 x x x 3 lim 1 的值等于 A.e B. 2 e C. 3 e D. 4 e ( D )3、下列等式中不成立的是 A. 1 sin lim 0 x x x B. 1 sin lim 0 x x x C. 0 sin lim x x x D. 1 sin lim x x x ( B )4、函数 y 2x 在闭区间 0,3 上的平均值 y 等于 A.2 B.3 C.4 D.5 ( D )5、下列微分方程中不是一阶微分方程的是 A. 2 2 y x y B. y xy 0 C. y 3y 2 D. y 2y 3y 0 四、判断题(每题 2 分,共 10 分) ( √ )1、 f x A f x f x A x x x lim ( ) lim ( ) lim ( ) . ( × )2、初等函数在其定义域内不一定连续. ( √ )3、有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量. ( × )4、可导与连续的关系是:可导必连续,连续必可导. ( √ )5、 sin 2 0 xdx .

2004一2005学年第一学期(2004)级(高等数学)考试试卷 ,计算题(每意4分,共40分) 、(2x2-6x+D 2岛5 7.[(e'-2cosx+4d 解四22-6+ 解6-2cosr+4 解本 x-9 -∫3e'd-j2cosh+f4h =2x2-6mx+1 x-9 =3'-2sinx+4x+C - =0 =x-arct 4.已知y=+5”+5,求) 业 解y=到)+6)+6到 9.fe'sinxdr 4x2+ 解esnd 解设=1,x= =5r+s,h5 =sin xde' 当x=0,1=0:当x=1,1= 班级 =e'snx-∫cosxde =5 =e'snx-e'cosr-∫esmd 2* 名 5.已知y=xnx,求 6.已知y=5x-3x2+x-2,求y 即es血d=6nx-cos小+C =亚-邮+心 解y=nx+1 解y=20x3-6x+1 2-212 =y在 ”=60x2-6 =血x+达 六、缘合题(每题5分,共20分) 1、证明方程x3-4红+1=0至少有一个实根介于1和2之间。 证明设函数f)=3-4x+1,f)在,2连续 f0)=-20 根那零点定理知。存在:∈1,2.使f代)=0,即-45+1=0, 所以方程x-4x+1=0至少有一个实根介于1和2之间
2 2004—2005 学年第一学期(2004)级(高等数学)考试试卷 系 (部) 年 级 04 级 专 业 班 级 姓 名 考试课程 高等数学 五、计算题(每题 4 分,共 40 分) 1、lim(2 6 1) 2 3 x x x 2、 9 5 6 lim 2 3 x x x x 解 lim(2 6 1) 2 3 x x x 解 9 5 6 lim 2 3 x x x x 2lim 6lim 1 3 2 3 x x x x 9 lim 5 6 2 3 x x x x 1 0 3、 6 4 1 2 3 lim 3 2 3 2 x x x x x 4、已知 5 5 5 5 x y x ,求 y 解 6 4 1 2 3 lim 3 2 3 2 x x x x x 解 5 5 5 5 x y x 3 3 4 1 6 1 3 2 lim x x x x x 5 5 ln 5 4 x x 3 1 5、已知 y x ln x ,求 dy 6、已知 5 3 2 4 2 y x x x ,求 y 解 y ln x 1 解 20 6 1 3 y x x dy y dx 60 6 2 y x ln x 1dx 7、 e x dx x (3 2cos 4) 8、 dx x x 1 2 2 解 e x dx x (3 2cos 4) 解 dx x x 1 2 2 e dx xdx dx x 3 2cos 4 dx x x 1 1 1 2 2 e x x C x 3 2sin 4 dx x 1 1 1 2 dx x dx 2 1 1 x arctanx C 9、 e xdx x sin 10、 dx x 1 0 1 1 解 e xdx x sin 解 设 x t , 2 x t x sin xde 当 x 0,t 0 ;当 x 1,t 1 x x e sin x cosxde 原式 1 0 2 1 1 dt t e x e x e xdx x x x sin cos sin 1 0 1 1 1 2 dt t t 即 e xdx e x x C x x sin cos 2 1 sin 1 0 2 t ln1 t 2ln 4 22ln 2 六、综合题(每题 5 分,共 20 分) 1、证明方程 4 1 0 3 x x 至少有一个实根介于 1 和 2 之间. 证明 设函数 4 1 3 f x x x , f x 在 1,2 连续 f 1 2 0 f 2 1 0 根据零点定理知,存在 1,2 ,使 f 0 ,即 4 1 0 3 , 所以方程 4 1 0 3 x x 至少有一个实根介于 1 和 2 之间.

2004一2005学年第一学期(2004)级(高等数学)考试试卷 的集 2、求曲线y=e上点(0.1)处的切线方程. 4、求微分方程y+VCOsx=em1的通解 解因为y=',所以切线斜率为yL,=°=1 解齐次方程y+)COsx=0的通解为 订 所以过点(0)处的切线方程为y-1=1-x-0) y=Cef=Ce t+l. px)=cosx.)=e=.y=u 系(郁) 则y=wk恤+e】 wt)jro-ua)p(s)-ro 代入原式并化简得,v)=eM 积分后得, =4en在+C 3、求由曲线y=x与直线y=x所围成的平面图形的面积 所以原微分方程的通解是 黄业 防睡化 得交点坐标为0,0,).) y-o(fark d+c =emedx+C) 所求面积为S=(-x2)女 =e+C). =石 即由曲线y=产与直线y=x所围成的平面图形的面积为 名 考试课 高等嫩学
3 2004—2005 学年第一学期(2004)级(高等数学)考试试卷 系 (部) 年 级 04 级 专 业 班 级 姓 名 考试课程 高等数学 2、求曲线 x y e 上点 (0,1) 处的切线方程. 解 因为 x y e ,所以切线斜率为 1 0 0 y e 所以过点 (0,1) 处的切线方程为 y 1 1x 0 即 y x 1. 3、求由曲线 2 y x 与直线 y x 所围成的平面图形的面积. 解 解方程组 y x y x 2 得交点坐标为 0,0,,1,1, 所求面积为 1 0 2 S x x dx 1 0 2 3 3 1 2 1 x x 6 1 即由曲线 2 y x 与直线 y x 所围成的平面图形的面积为 6 1 . 4、求微分方程 x y y x e sin cos 的通解. 解 齐次方程 y y cosx 0 的通解为 xdx y Ce cos x Cesin 设 px cos x , x q x e sin , p x dx y u x e 则 p x dx p x dx y u x e u x e p x dx p x dx u x e u x p x e 代入原式并化简得, p x dx u x q x e 积分后得, u x q x e dx C p x dx 所以原微分方程的通解是 y e q x e dx C p x dx p x dx e e e dx C x x x sin sin sin e x C x sin .