海大理学院教学裸件 大学物理学电子教案 单摆和复摆、简谐运动的能量 14-4单摆与复摆 14-5简谐运动的能量
大学物理学电子教案 海大理学院教学课件 单摆和复摆、简谐运动的能量 14-4 单摆与复摆 14-5 简谐运动的能量
复习 简谐运动 f=一x a=-02x x=Acos(@t+o) m 振幅A 周期与频率 2 元 2元 0=2πV= 2元 T 相位 t+p 旋转矢量 tgo=- @xo
复习 简谐运动 f =－kx a x 2 = − x = Acos( t +) 振幅A 周期与频率 2 T = 2 1 = T ＝ T 2 = 2 = 相位 t + 0 0 2 2 0 0 x v tg v A x = − ＝ + m k 2 ＝ 旋转矢量
14-4单摆与复摆 实际发生的振动比较复杂；例如 回复力不一定是弹性力—而是重力，浮力等其它性 质的力； 合外力可能是非线性力一只有在一定的条件下，才 能近似当作线性回复力。 研究问题的一般方法： 根据问题的性质，突出主要因素，建立合理的物理模 型，使计算简化。 本节讨论两个实际振动问题的近似处理：单摆与复摆
14－4 单摆与复摆 实际发生的振动比较复杂；例如 •回复力不一定是弹性力——而是重力，浮力等其它性 质的力； •合外力可能是非线性力——只有在一定的条件下，才 能近似当作线性回复力。 研究问题的一般方法： 根据问题的性质，突出主要因素，建立合理的物理模 型，使计算简化。 本节讨论两个实际振动问题的近似处理：单摆与复摆
一、 单摆 数学摆 1、概念 单摆是一个理想化的振动系 统：它是由一根无弹性的轻 绳挂一个质点构成的。 摆锤一重物 摆线一细绳 平衡位置—0点 把质点从平衡位置略为移开， mg mg 质点就在重力的作用下，在 mg 竖直平面内来回摆动。 2、运动方程 火 F=-mg sin0≈-gB≈-g g 子
一、单摆——数学摆 1、概念 单摆是一个理想化的振动系 统：它是由一根无弹性的轻 绳挂一个质点构成的。 摆锤——重物 摆线——细绳 平衡位置——O点 把质点从平衡位置略为移开， 质点就在重力的作用下，在 竖直平面内来回摆动。 2、运动方程 x l mg l x F = −mg sin −mg −mg = −
单摆的圆频率 2= @-\1 振动方程 x=cos(ot+p) 周期 T=2元 mg 频率 1 1 8 V= T 3、说明： 2π •单摆的合外力与弹性力类似，称为准弹性力 •单摆的周期与质量无关 •单摆提供了一种测量重力加速度的方法 •单摆可以当作计时器
单摆的圆频率 l g m k = = 2 振动方程 x = x cos(t +) 0 周期 g l T＝2 频率 l g T 2 1 1 = ＝ l g = 3、说明： •单摆的合外力与弹性力类似，称为准弹性力 •单摆的周期与质量无关 •单摆提供了一种测量重力加速度的方法 •单摆可以当作计时器 mg f
二、复摆 物理摆 1、概念 2、运动方程 重力矩M=-ngl sin0≈一nglB d20 转动定律一mgl0=Ja=J dr mg 02 mgl +oa=0 d20 3、周期与频率 J T=2π mgl 0=, mgl 4、 应用 •测重力加速度 •测转动惯量
二、复摆——物理摆 1、概念 2、运动方程 重力矩 M＝ －mgl sin －mgl 转动定律 2 2 dt d mgl J J － ＝ ＝ J mgl = 2 0 2 2 2 ＋ ＝ dt d 3、周期与频率 J mgl mgl J T＝2 = 4、应用 •测重力加速度 •测转动惯量
14-5 简谐运动的能量 简谐运动的能量 m 以弹簧振子为例 ”多 x=Acos(at+o) y=-A@sin(at+o) E=2m1o2=k 系统动能 Es-1m2-1mA@'sin'(@x+@) 系统势能 E。=,x2=k4cos2(ot+p) 2 系统的总能量 1 E-Ex+E=mA'@'sin'(@x+p)+kAcos(@x+p) 2 弹簧振子作简谐运动的能量与振幅的平方成正比
14－5 简谐运动的能量 一、简谐运动的能量 以弹簧振子为例 k m o x X ( ) ( ) = − + = + v A t x A t sin cos 系统动能 E = mv = mA (t +) k 2 2 2 2 sin 2 1 2 1 系统势能 E = kx kA ( t +) p cos 2 1 2 1 2 ＝ 2 2 系统的总能量 E E E = mA (t +) kA (t +) k p 2 2 2 2 2 cos 2 1 sin 2 1 ＝ ＋ ＋ 2 2 2 2 1 2 1 E＝ mA ＝ kA 弹簧振子作简谐运动的能量与振幅的平方成正比
二、 能量平均值 1、 动能的时间平均值 豆-f5m4asna+pw=mo=4 2、势能的时间平均值 7了及4cos6as+ph-k4-m4o 结论 简谐运动的动能与势能在一个周期内的平均值相 等，它们都等于总能量的一半
二、能量平均值 1、动能的时间平均值 ( ) 2 2 2 0 2 2 2 4 1 4 1 sin 2 1 1 mA t dt mA kA T E T k = + = = 2、势能的时间平均值 ( ) + = = T p kA t dt kA mA T E 0 2 2 2 2 2 4 1 4 1 cos 2 1 1 ＝ 简谐运动的动能与势能在一个周期内的平均值相 等，它们都等于总能量的一半。 结论
三、应用 忽略阻力，机械能守恒，作简谐运动的 dx m.v +k·xy=0 系统只有动能和势能，有 e+E小0 dx k dt2 =0 n 将具体问题中的动能与势能表达式代入 上式，可得到简谐运动的微分方程及振 令 动周期和频率。 例题、用机械能守恒定律求弹簧振子的 运动方程。 解：弹簧振子在振动过程中，机械能守恒 日w+=C +02x=0 2 两边对时间求导， 1 2x=0 k.2x x=Acos(ax+o 2m2v
三、应用 忽略阻力，机械能守恒，作简谐运动的 系统只有动能和势能，有 (Ek + Ep )= 0 dt d 将具体问题中的动能与势能表达式代入 上式，可得到简谐运动的微分方程及振 动周期和频率。 例题、用机械能守恒定律求弹簧振子的 运动方程。 解：弹簧振子在振动过程中，机械能守恒 mv + kx = kA = C 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 0 2 1 2 2 1 + = dt dx k x dt dv m v 两边对时间求导，得 0 2 2 + k xv = dt d x m v 0 2 2 + x = m k dt d x m k 2 ＝ 0 2 2 2 + x = dt d x x = Acos(t +) 令
小结 单摆和复摆 简谐运动的能量 5-mto 2
小 结 单摆和复摆 简谐运动的能量 2 2 2 2 1 2 1 E＝ mA ＝ kA