压杆稳定 典型习题解析 1图示20a工字钢，在温度20℃时安装，这时杆不受力，试问：当温度升高多少度时，工 字钢将丧失稳定？钢的线膨胀系数a12.5×101/℃。 解题分析：计算时，取1的最小值。此题是 P 一度静不定问题，利用变形协调方程求解。 6m 解：1、求柔度1，查表№20a工字钢 fmin =2.12cm. 恶1图 人-兰高会。-e,42求夫君时的度 新孩标香式者，一高 当温度上升AT时，杆内的应力T=aE·AT 若温度上升△T时，杆开始失稳，则有oa=oT 或焉a6 元2 安装时的温度为20℃，故失稳时的温度为 T=20°+4T=59.20 2图示结构中，AB及4C均为圆截面杆，直径d=80mm,材料为Q235钢，求此结构的临界 载荷Fa· 解题分析：分别计算各杆可承担的临界载荷，取 小值。 解：1、计算在F力作用下各杆的轴力 4m -Fcos60-F F-2Fa 题2图 5aFm的-9，Fa=l5 1
压 杆 稳 定 典型习题解析 1 图示№20a工字钢，在温度 20℃时安装，这时杆不受力，试问：当温度升高多少度时，工 字钢将丧失稳定？钢的线膨胀系数α=12.5×10-61/℃。 解题分析：计算λ时，取 i 的最小值。此题是 一度静不定问题，利用变形协调方程求解。 6m 解 ： 1 、 求 柔 度 λ ，查表№ 20a 工 字 钢 imi n = 2.12cm 。 №20a 题 1 图 p 2 142 2.12 10 m 0.5 6m λ µ λ = > × × = = − i l c 2、求失稳时的温度 杆为细长杆，临界应力公式为 2 2 cr ( ) π λ σ E = 当温度上升∆T 时，杆内的应力 σ T =α ⋅ E ⋅∆T 若温度上升∆T 时，杆开始失稳，则有σ cr = σ T 或 E T E =α ⋅ ⋅ ∆ λ 2 2 ( ) π 于是 39.2 C 12.5 10 1/ C 142 π π ∆ 6 2 2 2 2 D D = × × = = ⋅ ⋅ − T α E αλ 安装时的温度为 20℃，故失稳时的温度为 T = 20° + ∆T = 59.2° 2 图示结构中，AB及AC均为圆截面杆，直径d = 80 mm，材料为Q235 钢，求此结构的临界 载荷Fcr。 F F 解题分析：分别计算各杆可承担的临界载荷，取 小值。 解：1、计算在 F 力作用下各杆的轴力 F F F 2 1 N1 = cos60 = D ， F = 2FN1 F F F 2 3 N2 = sin 60 = D ， N2 15 N2 1. 3 2 F = F = F FN1 B C A 1 2 F N2 60O 30O 4m 题 2 图 1
2、计算各杆的柔度 名-4-1x4o0 mmxsin30-100 80mm/4 两杆均为大柔度杆 3、分别计算各杆的临界轴力，确定结构的临界载荷 π2E1 x2200x10°P×元×(80x10-3m) Fs(h) 64 =330.7×103N=330.7kN (Ix4mxcos30)2 F1=2FN1=661.4kN r2200x10°Pax元×(80x10-3m 64 (1×4m×sin30° =990x103N=990kN F2=1.15FN2=1139kN 该结构的临界载荷取两者中较小者，即F661.4kN 3图示结构中，分布载荷q=20kN/m。梁的截面为矩形，b=90mm,h=130mm。柱的截 面为圆形，直径d=80mm。梁和柱均为Q235钢，[c]=160MPa,稳定安全因数，=3。 试校核结构的安全。 解题分析：本题结构中，应校核梁的强度和柱的稳定性，两者分别符合强度、稳定性条件才 能保障结构的安全。 田 D (b) 352 (a) 题3图 解：1、校核梁的强度 根据图b所示∑M4=0,得F。=62.5kN 作梁的弯矩图，如图c所示，Mm=35.2kN·m
2、计算各杆的柔度 173 80 mm / 4 1 4000mm cos30 l l 1 = × × = = D i µl λ 100 80 mm/ 4 1 4000mm sin 30 2 2 2 = × × = = D i µl λ 两杆均为大柔度杆 3、分别计算各杆的临界轴力，确定结构的临界载荷 330.7 10 N 330.7 kN (1 4 m cos 30 ) 64 π (80 10 m) π 200 10 Pa ( ) π 3 2 3 4 2 9 2 1 2 N1 = × = × × × × × × = = − D l EI F µ Fcr1 = 2FN1 = 661.4kN 990 10 N 990 kN (1 4 m sin 30 ) 64 π (80 10 m) π 200 10 Pa ( ) π 3 2 3 4 2 9 2 2 2 N2 = × = × × × × × × = = − D l EI F µ Fcr2 =1.15FN2 =1139kN 该结构的临界载荷取两者中较小者，即 Fcr=661.4 kN 3 图示结构中，分布载荷 q = 20 kN/m。梁的截面为矩形，b = 90 mm，h = 130 mm。柱的截 面为圆形，直径 d = 80 mm。梁和柱均为 Q235 钢，［σ］=160 MPa，稳定安全因数 。 试校核结构的安全。 nst = 3 解题分析：本题结构中，应校核梁的强度和柱的稳定性，两者分别符合强度、稳定性条件才 能保障结构的安全。 q q 解：1、校核梁的强度 根据图 b 所示∑ M A = 0 ，得 FB = 62.5 kN 作梁的弯矩图，如图 c 所示， M max = 35.2 kN ⋅ m (b) 题 3 图 (c) 35.2 kN·m A FB D B F A C (a) D B d 4m 1m 4m b A h M 2
梁的最大弯曲正应力为 6×35.2x102N.m =138.9x105Pa=138.9MPa<[o1 所以梁的强度足够。 2、柱的稳定性校核 柱的轴向压力为F=F。=62.5kN,柱两端铰支 ,1-号-0a,-号-w-洲 4 Dp,故BC杆是大柔度杆。 北得，m0 0×4m)2 64 =248×103N=248kN 稳定校核 F。=625kN<-248kN=827N 柱的稳定性足够，所以结构安全。 4图示支柱由四根80×80×6的角钢所组成。支柱的两端为铰支，柱长1=6m,压力为 450kN。若材料为Q235钢，许用应力[a]=170MPa。试求支柱横截面边长a的尺寸。 21.9 80×80×6 Z 题4图 解题分桥：本题用折减系数法先确定值，再确定和，根据L计算边长a。用折减系数法时 不用先判断压杆的类别。 解：查型钢表，80mm×80mm×6mm角钢的横截面面积4-9.397×10m2,对于图示形心轴 。的惯性矩 1=57.35×103m
梁的最大弯曲正应力为 138.9 10 Pa 138.9 MPa [ ] 90 10 m (130 10 m) 6 6 35.2 10 N m 6 3 3 2 3 2 max max max σ σ = × = λp，故BC杆是大柔度杆。 248 10 N 248kN 64 π (80 10 m) (1 4 m) π 200 10 Pa ( ) π 3 3 4 2 2 9 2 2 cr = × = × × × × × × = = − l EI F µ 稳定校核 82.7 kN 3 248 kN 62.5 kN st cr = < = = n F FB 柱的稳定性足够，所以结构安全。 4 图示支柱由四根 80×80×6 的角钢所组成。支柱的两端为铰支，柱长 ，压力为 450kN。若材料为 Q235 钢，许用应力 l = 6 m [σ ] = 170 MPa 。试求支柱横截面边长 a 的尺寸。 解题分析：本题用折减系数法先确定ϕ值，再确定λ和Iz，根据Iz计算边长a。用折减系数法时 不用先判断压杆的类别。 解：查型钢表，80 mm×80 mm×6 mm角钢的横截面面积A=9.397×10-4 m 2 ，对于图示形心轴 zC 的惯性矩 Cz I =57.35×10-8 m 4 z zC 80×80×6 h 21.9 a a 题 4 图 3
1、根据稳定性条件确定p值 [F]sola].4 450x103Npx170x10Pa(4×9.397x10m2) 从而要求0≥0.704，由表可得相应1≤84.5 2、确定组合截面形心轴：应有的惯性矩 =≤84.5 根据上式可得每个角钢对组合截面形心轴：应有的惯性知 ,≥0产×9397x10-m2=473x10m 3、确定a值 =1。+Ah 57.35×103m+9.397×10m2≥473×108m 2≥44.2×10m2,即h≥6.65×10r2m 于是得a≥22.19×102m+6.65×102m=0.177m 可取a=0.177m=177mm 5三角形木屋架的尺寸及所受载荷如图所示，F=9.7kN。斜腹杆CD为矩形截面，按构造 要求最小截面尺寸为1000mm×1O0mm,材料为松木，其顺纹抗压许用应力[o]=10MPa 若按两端较支考虑，试校核该压杆的稳定性。 15m=12 题5图 解题分析：本题用折减系数法。在工程中，桁架压杆的稳定校核非常重要，利用查可用 内插法。 解：1、计算CD杆的轴力及应力 以截面1-1以左为分离体。容易算出，CH=3m×34=2.25m,HD=1.5m
1、根据稳定性条件确定ϕ 值 [F] ≤ ϕ[σ ]⋅ A 450 10 N 170 10 Pa(4 9.397 10 m ) 3 6 −4 2 × ≤ ϕ × × × × 从而要求ϕ ≥ 0.704 ，由表可得相应λ≤84.5 2、确定组合截面形心轴 z 应有的惯性矩 84.5 9.397 10 m 1 6m 4 4 4 2 ≤ × × = = − z z I A I µl λ 根据上式可得每个角钢对组合截面形心轴 z 应有的惯性矩 2 4 2 8 4 ) 9.397 10 m 473 10 m 84.5 6m ( − − I z ≥ × × = × 3、确定 a 值 Iz= +Ah Cz I 2 57.35×10-8 m 4 +9.397×10-4 m 2 h2 ≥473×10-8 m 4 h2 ≥ 44.2×10-4 m 2 ，即h≥6.65×10-2 m 于是得 a≥2(2.19×10-2 m +6.65×10-2 m) = 0.177 m 可取 a = 0.177 m=177 mm 5 三角形木屋架的尺寸及所受载荷如图所示，F = 9.7 kN。斜腹杆 CD 为矩形截面，按构造 要求最小截面尺寸为 1000 mm×100 mm，材料为松木，其顺纹抗压许用应力[σ ] = 10 MPa ， 若按两端铰支考虑，试校核该压杆的稳定性。 F F 解题分析：本题用折减系数法。在工程中，桁架压杆的稳定校核非常重要，利用λ查ϕ可用 内插法。 解：1、计算 CD 杆的轴力及应力 以截面 1-1 以左为分离体。容易算出，CH = 3 m×3/4=2.25 m，HD = 1.5m ， α F K 1 F F 8×1.5m=12m F F/2 α F C H 3m F/2 A B 1 D 题 5 图 4
CD-V2.25m)2+1.5m2-2.7m,AK=AD×cosa=4×1.5m×2.25/2.70=5.0m 故由∑M=0有-FN.CDMK-FX3X1.5-F×2X1.5-1.5F=0 于是得FN.c-9F1AK-9m×9.7kN5.0m)=17.5kN Ocp-FN.CD/4=17.5X 10 N/(1X1X102m)=1.75 MPa 2、CD杆的稳定性校核 压杆CD的柔度为 A=4=1x2.70m 710x10n939 12 根据=93.9利用内插法，求得p=0.34,于是 [Ga]=p[G]=0.34×10MPa=3.4MPa GcD=1.75 MPa<[gs]=3.4 MPa 所以CD杆满足稳定性要求
(2.25m) (1.5m) 2.7m 2 2 CD = + = ，AK=AD×cosα= 4×1.5 m×2.25/2.70 = 5.0 m。 故由 ∑MA=0 有 -FN，CDAK-F×3×1.5-F×2×1.5-1.5F=0 于是得 FN，CD= - 9F /AK= - 9m×9.7 kN /(5.0 m) =17.5 kN σ CD= FN，CD/A= 17.5×103 N/(1×1×10-2 m 2 ) =1.75 MPa 2、CD 杆的稳定性校核 压杆 CD 的柔度为 93.9 12 100 10 m 1 2.70m 3 = × × = = − i µl λ 根据λ=93.9 利用内插法，求得ϕ =0.34，于是 ［σ st］=ϕ ［σ］=0.34×10 MPa =3.4 MPa σ CD=1.75 MPa<［σ st］=3.4 MPa 所以 CD 杆满足稳定性要求。 5