第五章弯曲应力 §5.1纯弯曲 §52纯弯曲时的正应力 §5-3横力弯曲（剪切弯曲）时的正应力 §5.4弯曲切应力 §5.6提高弯曲强度的措施 §5.1纯弯曲 有德时am0 M 2.观察变形 以矩形截面梁为伤例 (1)变形前的直线aa、bb变形后 成为曲线a'a、b'b,变形前的mm,m变形后仍为直线m'm、m'n,然 而却相对转过了一个角度，且仍与a'a、b'b曲线相垂直。 (2)平面假设 根据实验结果，可以假设变形前原为平 b 面的梁的横截面变形后仍为平面，且仍垂直 m△ 于变形后的梁轴线，这就是弯曲变形的平面 假设。 m (3)设想 设想梁是由平行于轴线的众多纤维组 m 成。在纯弯曲过程中各纤维之间互不挤压， 只发生伸长和缩短变形。显然，凸边一侧的纤维发生伸长，凹边一侧的 纤维缩短。由平面假设纤维由伸长变为缩短，连续变化，中间一定有一 层纤维称既不伸长，也不缩短，这一层纤维为中性层
第五章 弯曲应力 §5.1 纯弯曲 §5.2 纯弯曲时的正应力 §5-3 横力弯曲（剪切弯曲）时的正应力 §5.4 弯曲切应力 §5.6 提高弯曲强度的措施 §5.1 纯弯曲 1. − − = = = − − 0, , 0, , F M const F M S S 纯弯曲 横力弯曲 弯曲 2．观察变形 以矩形截面梁为例 （1）变形前的直线 aa、bb 变形后 成为曲线 a a 、bb ，变形前的 mm ，nn 变形后仍为直线 m m 、m n ，然 而却相对转过了一个角度，且仍与 a a 、bb 曲线相垂直。 （2）平面假设 根据实验结果，可以假设变形前原为平 面的梁的横截面变形后仍为平面，且仍垂直 于变形后的梁轴线，这就是弯曲变形的平面 假设。 （3）设想 设想梁是由平行于轴线的众多纤维组 成。在纯弯曲过程中各纤维之间互不挤压， 只发生伸长和缩短变形。显然，凸边一侧的纤维发生伸长，凹边一侧的 纤维缩短。由平面假设纤维由伸长变为缩短，连续变化，中间一定有一 层纤维称既不伸长,也不缩短,这一层纤维为中性层。 F Fa F a a m n a m n a b b m' n' a' a' b' b' m' n' △
,播慧百对者钻 (4)中性轴 中性层与横截面的交线称为中性轴，由于 整体变形的对称性，中性轴由与纵向对称面垂 直。P139 note:可以证明，中性轴为形心主轴。 中性层 中性轴 §5.2纯弯曲时的正应力 1.正应力分布规律： (①变形几何关系 ②物理关系 、③静力关系 (1)变形几何关系 取dr微段来研究，竖直对称轴为y轴，中性轴 为：轴，距中性层为y的任一纤维b的线应变。 E=p+0-N0=y (a) P o'l dx b b (2)物理关系 因为纵向纤维之间无正应和，每一纤维都是单向拉伸或者单向压缩， 当应力小于比例极限时，由胡克定律 G=Ee =昭 (b) Me 此式表明：任意纵向纤维的正应力与它到中性 层的距离成正比。在横截面上，任意点的正应力与该 点到中性轴的距离成正比。亦即沿截面高度，正应力 按直线规律变化。 (3)静力关系 横截面上的微内力σd4组成垂直于横截面的空间平行力学。这一力
（4）中性轴 中性层与横截面的交线称为中性轴，由于 整体变形的对称性，中性轴由与纵向对称面垂 直。P139 note：可以证明，中性轴为形心主轴。 §5.2 纯弯曲时的正应力 1．正应力分布规律： ①变形几何关系 ②物理关系 ③静力关系 （1）变形几何关系 取 dx 微段来研究，竖直对称轴为 y 轴，中性轴 为 z 轴，距中性层为 y 的任一纤维 bb 的线应变。 ( ) y y = + − = d d d （a） （2）物理关系 因为纵向纤维之间无正应和，每一纤维都是单向拉伸或者单向压缩， 当应力小于比例极限时，由胡克定律 = E = y E （b） 此式表明：任意纵向纤维的正应力与它到中性 层的距离成正比。在横截面上，任意点的正应力与该 点到中性轴的距离成正比。亦即沿截面高度，正应力 按直线规律变化。 （3）静力关系 横截面上的微内力σdA 组成垂直于横截面的空间平行力学。这一力 e e ρ d d o' o' b' b' e
系可能简化为三个内力分量： F=otA Me Mn=∫：oA M.=yodA 横截面上的内力与截面左侧的外力必须 平衡。在纯弯曲情况下，截面左侧的外力只有 对z轴的力偶矩M。由于内外力必须满足平衡 方程，故： ① ΣF=0 FN=JodA=0 式(b)代入式(c) 4-54-0 0 Ju4=S2=0 结论：Z轴（中性轴）通过形心。 ② M,=0 Mi==oA=0 (d) 式(b)代入式(d) a4=月d4=0 ydA=1.=0 结论：y轴为对称轴，上式自然满足 EM,=0 M.=M=M=∫yoiA(e) 式(b)代入式(e) M=aA=∫yra4 (f) S.ydA=1z ∴式(D可写成 P Elz (g）
系可能简化为三个内力分量： = = = A iz A iy A M y A M z A F A d d d 横截面上的内力与截面左侧的外力必须 平衡。在纯弯曲情况下，截面左侧的外力只有 对 z 轴的力偶矩 Me。由于内外力必须满足平衡 方程，故： ① = = = A Fx 0 F dA 0 （c） 式（b）代入式（c） = = A A y A E dA d 0 ∵ 0 = E const E ∴ = = A A SZ yd 0 结论：Z 轴（中性轴）通过形心。 ② = = = A M y 0 Miy zdA 0 （d） 式（b）代入式（d） = = A A yz A E z dA d 0 = = A yzdA I yz 0 结论：y 轴为对称轴，上式自然满足 ③ = = = = A M z 0 Me Miz M ydA （e） 式（b）代入式（e） = = A A y A E M y dA d 2 （f） ∵ = A Z y dA I 2 ∴式（f）可写成 EI Z M = 1 （g） e d
式中上为梁轴线变形后的曲率，称为梁的抗弯刚度。 2.纯弯曲时梁的正应力计算公式 由式(g)和式(b)中消去得 M. 讨论：(1)导出公式时用了矩形截面，但未涉及任何矩形的几何特 性，因此，公式具有普遍性。 (2)只要梁有一纵向对称面，且载荷作用于对称面内，公式都适用。 (3)横截上任一点处的应力是拉应力还是压应力可直接判定，不需 用y坐标的正负来判定。 §5-3横力弯曲（剪切弯曲）时的正应力 1.纯弯曲正应力公式推广应用于横力弯曲 a=M.y 12 讨论：公式的适用条件 (1)平面弯曲 (2)纯弯曲或h5的横力弯曲(0，τ) (3)应力小于比例极限。 2.最大正应力 =My' 1z 引入记号： 形s上 ymx 6m=w2 W一一抗弯截面系数(m3) 讨论：
式中 1 为梁轴线变形后的曲率，EIZ 称为梁的抗弯刚度。 2．纯弯曲时梁的正应力计算公式 由式（g）和式（b）中消去 1 得 z y I M = 讨论：（1）导出公式时用了矩形截面，但未涉及任何矩形的几何特 性，因此，公式具有普遍性。 （2）只要梁有一纵向对称面，且载荷作用于对称面内，公式都适用。 （3）横截上任一点处的应力是拉应力还是压应力可直接判定，不需 用 y 坐标的正负来判定。 §5-3 横力弯曲（剪切弯曲）时的正应力 1．纯弯曲正应力公式推广应用于横力弯曲 Z I M y = 讨论：公式的适用条件 （1）平面弯曲 （2）纯弯曲或 l/h≥5 的横力弯曲（σ，τ） （3）应力小于比例极限。 2．最大正应力 Z I M y max max max = 引入记号： max y I W Z Z = WZ M max max = W——抗弯截面系数（m3） 讨论：
(1)等直梁而言·x发生在最大弯矩断面，距中性轴最远处yax。 (2)对于变截面梁不应只注意最大弯矩Mmx截面，而应综合考虑 弯矩和抗弯截面系数W2两个因素。 3.强度条件 _M≤o] 0m=W2 (1)对抗拉抗压强度相同的材料，只要 la≤o]即可 (2)对抗拉抗压强度不等的材料（如铸铁）则应同时满足： o,m≤o, 4.强度计算 (1)强度校核 2)设计截面尺寸：，2同 、Mm (3)确定许用载荷：M≤oW Example1空气泵操作杆，右端受力F=8.5kN,1-l、2-2截面相同， 均为hb=3的矩形，若o=50MPa,试选用1-1、2-2截面尺寸。 Solution ①求F2 M。=0 0.38F,-8.5×0.72=0 F3=16.1kN ②求截面弯矩 M=8.5×(0.72-0.08=5.44kNm M2=16.1×(0.38-0.08)=4.38kNm 故： M=M =5.44kN.m
（1）等直梁而言σmax发生在最大弯矩断面，距中性轴最远处 ymax。 （2）对于变截面梁不应只注意最大弯矩 Mmax截面，而应综合考虑 弯矩和抗弯截面系数 WZ 两个因素。 3．强度条件 [ ] max max = WZ M （1）对抗拉抗压强度相同的材料，只要 max 即可 （2）对抗拉抗压强度不等的材料（如铸铁）则应同时满足： c c t t max max 4．强度计算 （1）强度校核 （2）设计截面尺寸： M max WZ （3）确定许用载荷： Mmax WZ Example1 空气泵操作杆，右端受力 F1=8.5kN，1-1、2-2 截面相同， 均为 h/b=3 的矩形，若[σ]=50MPa，试选用 1-1、2-2 截面尺寸。 Solution ①求 F2 M 0 = 0 0.38F2 − 8.5 0.72 = 0 F2 = 16.1 kN ②求截面弯矩 M1=8.5×(0.72-0.08)=5.44kN·m M2=16.1×(0.38-0.08)=4.38kN·m 故： Mmax = M1 = 5.44 kN·m
③设计截面 %行5ar-10m时 50 h=3b b≥10e8x0-417mm 3 h=125mm §5.4弯曲切应力 动- dr 切应力的分布规律与梁的横截面形状有关，因此以梁的横截面形状 不同分别加以讨论。 1.矩形截面梁 (1)切应力的分布规律 假设彻应力的方向与剪力厂平行 切应力沿截面宽度均匀分布 当h>b时，按上述假设得到的解答与精确解 相比有足够的准确度。 (2)切应力沿截面高度的变化规律 ①从梁中取出dr段，而微段上无载荷作用。 ②截面上的o和τ的分布如图 ③研究微块的平衡
③设计截面 5 6 1 088 10 50 5 44 10 = = . M . W max Z mm3 2 6 12 2 3 max h bh bh y I W Z Z = = = ∵ 5 2 1 088 10 2 3 = 3 = . b h b Wz mm3 41 7 3 2 1 088 10 3 3 . . b = mm ∴ h=125mm §5.4 弯曲切应力 − − FS M 横力弯曲 切应力的分布规律与梁的横截面形状有关，因此以梁的横截面形状 不同分别加以讨论。 1．矩形截面梁 （1）切应力的分布规律 切应力 沿截面宽度均匀分布 切应力 的方向与剪力 平行 假设 FS 当 h>b 时，按上述假设得到的解答与精确解 相比有足够的准确度。 （2）切应力沿截面高度的变化规律 ①从梁中取出 dx 段，而微段上无载荷作用。 ②截面上的σ和τ的分布如图 ③研究微块的平衡 d m n m n d d ' m n
F-oMdd Iz .M+amfd⅓A (a) I。 (M+dM)s 式中：S=∫yd4为离中性轴为y的横线以下面积对中性轴之静矩。 =40a4=兴1a4签 (b) 考虑到微块顶面上相切的内力系的合 力 dFs=t'bdx (c) F,=0 FN2 -FNI-dFs=0 (d) 式(a)、(b)、(c)代入式(d) ±dws-4s-adx=0（e） r'=dM s: dx I b (d) 出6 (f) 由切应力互等定理，横截面上Pq线处切应力为 (g) I,b 这就是矩形截面梁弯曲切应力计算公 式 ④讨论： α.横力弯曲下梁的纵向纤维层之间存在 A=bdy 切应力 b.矩形截面如图 dM=,s-d4-年-yor
( ) ( ) * 1 * * 1 2 * Z A Z A A Z S I M M y A I M M A I M M y F A d d d d d d + = + = + = = （a） 式中： = * 1 * A Sz y dA 为离中性轴为 y 的横线以下面积对中性轴之静矩。 Z z A Z A Z A I MS y A I M A I My F A * * 1 * 1 * 1 = = = = d d d （b） 考虑到微块顶面上相切的内力系的合 力 F b x d S = d ' （c） 0 0 ' Fx = F2 − F1 − dFS = （d） 式（a）、（b）、（c）代入式（d） ( ) 0 * * − − = + S b x I M S I M M z Z Z d d （e） I b S x M Z Z * d d = （d） ∵ FS x M = d d ∴ I b F S Z * S Z = （f） 由切应力互等定理，横截面上 pq 线处切应力为 I b F S Z S Z * = （g） 这就是矩形截面梁弯曲切应力计算公 式。 ④讨论： a. 横力弯曲下梁的纵向纤维层之间存在 切应力 b. 矩形截面如图 1 dA = bdy = = = − / 2 2 2 1 1 * 1 * 2 4 h A y Z y b h S y dA by dy or
父“w*9训-岭n均列行-力 说明切应力τ沿截面高度按抛物线规律变化。 c.当y=±时，t=0 当时密 日考越到管 2.工字形截面梁 (1)计算表明：截面上剪力F的95~97% 由腹板承担，故只考虑腹板上的切应力分布规 律，而腹板是一个狭长矩形，矩形截面切应力 两个假设均适用(t方向与F一致，设宽度 均布)，采用矩形截面方法可得： r=hs Izb。 式中：e-成+作-y小 以y0=士经代入上式得 ag-冷] Fs bh2 bh m=1,b88
∴ 说明切应力τ沿截面高度按抛物线规律变化。 c. 当 2 h y = 时，τ=0 当 y=0 时， Z S I F h 8 2 = max = d. 考虑到 12 3 bh I Z = bh F bh FS S = =1.5 2 3 max 2．工字形截面梁 （1）计算表明：截面上剪力 FS 的 95～97% 由腹板承担，故只考虑腹板上的切应力分布规 律，而腹板是一个狭长矩形，矩形截面切应力 两个假设均适用（τ方向与 FS 一致，设宽度 均布），采用矩形截面方法可得： 0 * I b F S Z S Z = 式中： ( ) = − + − 2 2 2 0 0 0 * 2 8 2 4 y b h h h b S Z ( ) = − + − 2 2 2 0 0 0 2 0 8 2 4 y b h h h b I b F Z S 以 y=0， 2 h0 y = 代入上式得 ( ) = − − 8 8 2 0 0 2 0 max h b b bh I b F Z S = − 8 8 2 0 2 0 min bh bh I b F Z S ) 4 ( 2 ) 2 ( 2 1 ) 2 )] ( 2 ( 2 1 * [ 2 2 * y b h y h y h y b h S A y z = + − = − + = − max h h = − 2 2 2 2 4 y h I FS
.bo<<b .Tmax≈Tmin 于是近似认为 Fs tmbh (2)翼缘中切应力分布比较复杂，且数量很小，无实际意义，不予 讨论。 (3)工字梁翼缘的全部面都距中性轴较远，每一点的正应力都很大， 所以工字梁的最大特点是，用翼缘承担大部分弯矩，腹板承担大部分剪 力。 3.圆形及圆环形截面梁 D器 S一一阴影面积对中性轴的静矩 b一一为弦AB的长度 在中性轴上 =4 b=2R 23π 4- (2)圆环形截面 2月 4.弯曲切应力的强度校核 (1)强度条件 58 最大切应力发生于中性轴处，故 S2=一一中性轴以上或以下截面面积对中性轴之静矩
∵b0<<b ∴τmax≈τmin 于是近似认为 b h FS 0 max = （2）翼缘中切应力分布比较复杂，且数量很小，无实际意义，不予 讨论。 （3）工字梁翼缘的全部面都距中性轴较远，每一点的正应力都很大， 所以工字梁的最大特点是，用翼缘承担大部分弯矩，腹板承担大部分剪 力。 3．圆形及圆环形截面梁 （1） I b F S Z S Z y * = * Z S ——阴影面积对中性轴的静矩 b——为弦 AB 的长度 在中性轴上 3 4 2 2 * max R R SZ = b=2R 4 4 R I Z = A F R FS S 3 4 3 4 max 2 = = （2）圆环形截面 A Fs = 2 max 4．弯曲切应力的强度校核 （1）强度条件 = I b F S Z s Z max * max max 最大切应力发生于中性轴处，故 * SZ max ——中性轴以上或以下截面面积对中性轴之静矩 max max y
(2)细长梁而言，强度控制因素，通常是弯曲正应力，一般只按正 应力强度条件进行强度计算，不需要对弯曲切应力进行强度校核。 (3)只在下述情况下，才进行弯曲切应力强度校核： ①梁的跨度较短。 ②在梁的支座附近作用较大的载荷，以致梁的弯矩较小，而剪力颇 大。 ③铆接或焊接的工字梁，如腹板较薄而截面高度颇大，以致厚度与 高度的比值小于型钢的相应比值，这时对腹板进行切应力校核。 ④经焊接，铆接或胶而成的梁，对焊缝、铆钉或胶合面一般进行剪 切计算。 §5.6提高弯曲强度的措施 弯曲正应力为控制梁的主要因素。由 梁的强度条件： 4 9-0125a 0s m0116111mmm、◆& 合理安排梁的受力情况，降低Mmax。 D 采用合理截面形状，提高W2 02T061021 1.合理安排梁的受力情况，降低Max M (1)合理布置梁的支座 (2)合理布置载荷 ①载荷置于合理位置 ②将集中力分为较小的集中力 22子 ③将集中力分为分布力 wamritiil2ma /2 2 4⊥ 个6↓ 51 x cimm
（2）细长梁而言，强度控制因素，通常是弯曲正应力，一般只按正 应力强度条件进行强度计算，不需要对弯曲切应力进行强度校核。 （3）只在下述情况下，才进行弯曲切应力强度校核： ①梁的跨度较短。 ②在梁的支座附近作用较大的载荷，以致梁的弯矩较小，而剪力颇 大。 ③铆接或焊接的工字梁，如腹板较薄而截面高度颇大，以致厚度与 高度的比值小于型钢的相应比值，这时对腹板进行切应力校核。 ④经焊接，铆接或胶而成的梁，对焊缝、铆钉或胶合面一般进行剪 切计算。 §5.6 提高弯曲强度的措施 弯曲正应力为控制梁的主要因素。由 梁的强度条件： = WZ M max max 合理安排梁的受力情况，降低 Mmax。 采用合理截面形状，提高 WZ 1．合理安排梁的受力情况，降低 Mmax （1）合理布置梁的支座 （2）合理布置载荷 ①载荷置于合理位置 ②将集中力分为较小的集中力 ③将集中力分为分布力