第六章弯曲变形 §6.1工程中的弯曲变形问题 §6.2挠曲线的微分方程 §6.3用积分法求弯曲变形 §6.4用叠加法求弯曲变形 §6.5简单超静定梁 §6.6提高弯曲刚度的一些措施 §6.1工程中的弯曲变形问题 1.实例 ①车床主轴：变形过大，会使齿轮啮合不良，轴与轴承产生非均匀磨 损，产生噪声，降低寿命，影响加工精度。 ②吊车梁：变形过大会出现小车爬坡现象，引起振动。 2.研究变形目的 ①建立刚度条件，解决刚度问题 ②建立变形协调条件，解决超静定问题 ③为振动计算奠定基础。 §6.2挠曲线的微分方程 1.概念 以简支梁为例，以变形前的轴线为x轴，垂直向上为y轴，Oy平面
第六章 弯曲变形 §6.1 工程中的弯曲变形问题 §6.2 挠曲线的微分方程 §6.3 用积分法求弯曲变形 §6.4 用叠加法求弯曲变形 §6.5 简单超静定梁 §6.6 提高弯曲刚度的一些措施 §6.1 工程中的弯曲变形问题 1. 实例 ①车床主轴：变形过大，会使齿轮啮合不良，轴与轴承产生非均匀磨 损，产生噪声，降低寿命，影响加工精度。 ②吊车梁：变形过大会出现小车爬坡现象，引起振动。 2. 研究变形目的 ①建立刚度条件，解决刚度问题 ②建立变形协调条件，解决超静定问题 ③为振动计算奠定基础。 §6.2 挠曲线的微分方程 1. 概念 以简支梁为例，以变形前的轴线为 x 轴，垂直向上为 y 轴，xoy 平面
为梁的纵向对称面。 ①挠曲线： Y 在对称弯曲情况下，变形后梁的轴 线为xoy平面内的一条曲线，此曲线称 f(x 为挠曲线。 ②挠度： 梁的任一截面形心的竖直位移称为挠度。 ③挠曲线的方程式： w-fx) ④转角：弯曲变形中，梁的横截面对其原来位置转过的角度0，称 为截面转角。根据平面假设，梁的横截面变形前，垂直于轴线，变形后 垂直于挠曲线。故 转角©1挠曲线的法线与轴的夹角 2.挠曲线的切线与x轴的夹角 m0架 0- y ⑤挠度w和转角9是度量弯曲 变形的两个基本量。 ds ⑥挠度与转角符号规定：在图 示坐标中，挠度向上为正， 0 】0 0+d dx 反时针的转角为正。 2.挠曲线的曲率表示式：
为梁的纵向对称面。 ①挠曲线： 在对称弯曲情况下，变形后梁的轴 线为 xoy 平面内的一条曲线，此曲线称 为挠曲线。 ②挠度： 梁的任一截面形心的竖直位移称为挠度。 ③挠曲线的方程式： w=f(x) ④转角：弯曲变形中，梁的横截面对其原来位置转过的角度θ，称 为截面转角。根据平面假设，梁的横截面变形前，垂直于轴线，变形后 垂直于挠曲线。故 挠曲线的切线与 轴的夹角 挠曲线的法线与 轴的夹角 转角 x y 2. 1. = = x w x w d d d d arctan tan ⑤挠度 w 和转角θ是度量弯曲 变形的两个基本量。 ⑥挠度与转角符号规定：在图 示坐标中，挠度向上为正， 反时针的转角为正。 2. 挠曲线的曲率表示式： o y x s + d ρ d ( )x d d x x
①纯弯面：。出 ②横力言角：南四 细长梁么≥5，忽略F影响。 3.挠曲线的曲率表达式 ①纯弯曲： 日台 (a) M M ②横力弯曲： M>0 M<0 对细长梁而言，忽略剪力F的影 0 <0 0 X 响 和 (b) ③高等数学中对曲率的定义 及表达式 lds pldo 1de ds dx p ds 于是式(a)转化为 doM dsEI (c) 在我们选定的坐标系内，若弯矩M为正，则挠曲线向下凸，（如图所示）， 随着弧长S的增加，O也是增加的，即正增量ds对应的d8也是正的，于 是考虑符号后，式(c)可写成 (d)
①纯弯曲： EI M = 1 ②横力弯曲： ( ) ( ) EI M x x = 1 细长梁 5 h l ，忽略 Fs 影响。 3. 挠曲线的曲率表达式 ①纯弯曲： EI M = 1 （a） ②横力弯曲： 对细长梁而言，忽略剪力 Fs 的影 响 ( ) ( ) EI M x x = 1 （b） ③高等数学中对曲率的定义 及表达式 s s d d d d = = 1 于是式（a）转化为 EI M s = d d （c） 在我们选定的坐标系内，若弯矩 M 为正，则挠曲线向下凸，（如图所示）， 随着弧长 S 的增加，θ也是增加的，即正增量 ds 对应的 d 也是正的，于 是考虑符号后，式（c）可写成 EI M s = d d （d） y o x >0 0 2 0 dx 2 d < M M M M M M w w x y o d ρ( )x ds dx
m0出 d-w = dx2 dx 1+ ds=ar+ao时-d 注意到 d ds 代入式(d)及： d2w M (e) (dw E 此为挠曲线的微分方程，适用于弯曲变形的任意情况，它是非线性的。 在小变形的情况下，梁的挠度w一般都远小于跨度，挠曲线w=f是一 非常平坦的曲线，转角日也是一个非常小的角度，于是 0em0-张=8 (f) 式(e)中(a,于是式(e)可写成 d'w M dx?EI (g) 此式为挠曲线的近似微分方程
x w d d tan = s x x w s x x s x d d d d d d d d d d d d = = arctan s x x w x w d d d d d d 2 2 2 1 + = 注意到 ( ) ( ) 3 2 d d d d d d d d d d d d + = = + = + 2 2 2 2 2 2 1 1 x w x w s x x w s x w 代入式（d）及： EI M x w x w = + 3 2 2 2 2 1 d d d d （e） 此为挠曲线的微分方程，适用于弯曲变形的任意情况，它是非线性的。 在小变形的情况下，梁的挠度 w 一般都远小于跨度，挠曲线 w=f(x)是一 非常平坦的曲线，转角θ也是一个非常小的角度，于是 f (x) x w tan = = ' d d （f） 式（e）中 1 2 x w d d ，于是式（e）可写成 EI M x w = 2 2 d d （g） 此式为挠曲线的近似微分方程
§6.3用积分法求弯曲变形 1.挠曲线的近似微分方程 d2w M X=a,W=0 dx2EI 对等直梁而言，E1为常量，于是上式可写成0 a胺=M x=b,W=0 a 积分可得转角方程，再积分可得挠曲线方程0 sc y 以 X=C,W=0 Ehw=∫[MxHr+Cx+D a 式中C,D为积分常数，可由边界条件及连0 续条件确定。 2.边界条件： 在挠曲线的某些点上，挠度或转角有时是已知的这类条件称为边界 条件。 3.连续条件： 挠曲线是一条光滑连续的曲线，在挠曲线的任一点上有唯一确定的 挠度和转角这就是连续条件。 4.刚度条件： hwls [w]l lol.s[] Examplel.EJ=const
§6.3 用积分法求弯曲变形 1. 挠曲线的近似微分方程 EI M x w = 2 2 d d 对等直梁而言，EI 为常量，于是上式可写成 M x w EI = 2 2 d d 积分可得转角方程，再积分可得挠曲线方程 = M x + C x w EI d d d EIw = Mdx dx + Cx + D 式中 C、D 为积分常数，可由边界条件及连 续条件确定。 2. 边界条件： 在挠曲线的某些点上，挠度或转角有时是已知的这类条件称为边界 条件。 3. 连续条件： 挠曲线是一条光滑连续的曲线，在挠曲线的任一点上有唯一确定的 挠度和转角这就是连续条件。 4. 刚度条件： t w w w x m x Example1. EI=const x x x a o y a a o o y y =0 =c, =0 =b, =0 x=a, =0 x x
Find. wax、0ma Solution. y ①列弯矩方程： M)=-'。 9r3 (0≤x<D ②列微分方程及积分 Ehw-jq EN=EI0-+C E=-249m+G+D ③求积分常数 边界条件：当x=1时，W=0=0,w=0 C-gaP D-gal ④转角方程及挠度方程： =4m+名- ⑤求041w4 将=0代入以上二式 6EI ”器
Find. wmax、θmax Solution. ①列弯矩方程： ( ) 2 2 1 M x = − qx (0≤x＜l) ②列微分方程及积分 EIw qx Cx D EIw EI qx C EIw qx = − + + = = − + = − 4 3 2 24 1 6 1 ' 2 1 '' ③求积分常数 边界条件：当 x=l 时， w'=θ=0，w=0 3 6 1 C = ql 4 8 1 D = − ql ④转角方程及挠度方程： 4 3 4 3 3 8 1 6 1 24 1 6 1 6 1 ' EIw qx ql x ql EIw EI qx ql = − + − = = − + ⑤求θA, wA 将 x=0 代入以上二式 EI ql A 6 3 = EI ql wA 8 4 = − q L A y
Example2.内燃机的凸轮轴或齿轮轴计算简图，试求转角方程及挠度方 程，wmax、max o y Solution 0求反加：R中= Fa ②列弯矩方程： (AC)M-EE (0≤x1≤a) (CB)M,) (a≤x≤ ③列微分方程及积分 (AC) E-色 EhiCI B-碧+CX+D (CB) -P6-0) -5-+c E-6-+c+n ④求积分常数 边界条件：当x=0时，w1=0 当x2=时，w2=0 连续条件：当x=x2=a时，w1=w2，W=W2
Example2. 内燃机的凸轮轴或齿轮轴计算简图，试求转角方程及挠度方 程，wmax、θmax。 Solution ①求反力： l Fa F l Fb FRA = , RB = ②列弯矩方程： （AC） 1 1 x l Fb M = (0≤x1≤a) （CB） x F(x a) l Fb M 2 = 2 − 2 − (a≤x2≤l) ③列微分方程及积分 （AC） = + + = + = 1 1 1 3 1 1 1 2 1 '' 1 1 '' 1 6 2 x C X D l Fb EIw x C l Fb EIw x l Fb EIw （CB） ( ) ( ) ( ) = − − + + = − − + = − − 2 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 ' 2 2 2 '' 2 6 6 2 2 x a C X D F x l Fb EIw x a C F x l Fb EIw x F x a l Fb EIw ④求积分常数 边界条件：当 x1=0 时，w1=0 当 x2=l 时，w2=0 连续条件：当 x1=x2=a 时，w1 1= w1 2 ，w1= w2 C b B L x2 a RA A x y RB F
G=60e-川 D1=D2=0 ⑤转角方程及挠度方程 (AC) -x+6-） (a) -+6-rh灯 (6) (CB) Em=对-5k,-a}+6-r） c 1 ,音-+e- (d) ⑥最大挠度wm,最大转角日m 当=0时，0，=-Fal+ 6E1 当=时，8，=Fab+a 6E7 若a>b,则9.9，l,0mx>0B 若ab,则0c为正值。可见从截面A到截面C转角由负变正，改变 了符号，挠曲线既为光滑连续曲线，00的截面必然在(AC)段。令式 (a)等于零：
( ) 2 2 1 2 6 b l l Fb C = C = − D1=D2=0 ⑤转角方程及挠度方程 （AC） ( ) ( ) = + − = + − 1 3 2 2 1 1 2 2 2 1 ' 1 6 3 6 x b l x l Fb EIw x b l l Fb EIw ( ) (b) a （CB） ( ) ( ) ( ) ( ) = − − + − = − − + − 3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 ' 2 6 6 6 2 2 6 b l l Fb x a F x l Fb EIw b l l Fb x a F x l Fb EIw ( ) (d ) c ⑥最大挠度 wmax，最大转角θmax 当 x1=0 时， ( ) EIl Fab l b A 6 + = − 当 x2=l 时， ( ) EIl Fab l a B 6 + = 若 a＞b，则 B A ,θmax＞θB 若 a＜b，则 B A max = A 最大挠度 wmax 当 ' = = = 0. x w w d d 时,w 为极值,所以应首先确定 为零的截面位置。若 在式（a）中，令 x1=a，可求的 (a b) EIl Fab c = − 3 若 a＞b，则θC为正值。可见从截面 A 到截面 C 转角由负变正，改变 了符号，挠曲线既为光滑连续曲线，θ=0 的截面必然在（AC）段。令式 （a）等于零：
6x+b-P）=0 61 即为挠度为最大值的截面横坐标。以和代入式(b)的最大挠度 =小、品0- 当F作用于中点时，即a=b= 号一子最大挠度发生在中点。 FP wm="/48E 极端情况，当F无限接近右支座时，b2<<P,b2可以省略，于是 =方-05m Fbl2 w.-9J3EI 可见即是在这种极端情况下，最大挠度仍然发生在跨度中点附近，也就 是最大挠度总在靠近跨度中点。所以可 以用跨度中点的挠度近似代替最大挠A工B 度，因此，在式(0)中令x=号求出骑 L2↓2 度中点挠度为： ”g=-盈6r-) 即是在极端情况下，b→0时 212 Fb Fbl LL2⊥L2J
( ) 3 3 0 6 2 2 0 2 2 2 0 l b x x b l l Fb − = + − = x0即为挠度为最大值的截面横坐标。以 x0代入式（b）的最大挠度 ( ) 3 2 2 max 1 9 3 1 0 l b EIl Fb w = w x =x = − − 当 F 作用于中点时，即 2 , 2 0 l x l a = b = = ，最大挠度发生在中点。 EI Fl w w x x 48 3 2 max 1 1 0 = = − = = 极端情况，当 F 无限接近右支座时，b 2<< l 2，b 2可以省略，于是 EI Fbl w l l x 9 3 0.577 3 2 max 0 = − = = 可见即是在这种极端情况下，最大挠度仍然发生在跨度中点附近，也就 是最大挠度总在靠近跨度中点。所以可 以用跨度中点的挠度近似代替最大挠 度，因此，在式（b）中令 2 1 l x = 求出跨 度中点挠度为： ( ) 2 2 3 4 2 48 l b EI Fb w l = − − 即是在极端情况下，b→0 时 EI Fbl l EI Fb w l 16 3 48 2 2 2 = −
⑦误差分析： 用wx代替Wax所引起的误差 "=-0生=265% Wmx ⑧结论 可见在简支梁中，只要挠曲线无拐点，总可用跨度中点的挠度代替 最大挠度不会引起很大误差。 §6.4用叠加法求弯曲变形 1.积分法 ①优点：可以求得挠曲线的转角方程和挠曲线方程，因此可求任意截 面的转角和挠度是最基本的方法。 ②缺点：积分法比较麻烦。 2.叠加法 ①在小变形，线弹性前提下（材料服从胡克定律），挠度与转角均与载 荷成线性关系。因此，当梁上有多个载荷作用时，可以分别求出每 一载荷单独引起的变形，把所得变形叠加即为这些载荷共同作用时 的变形，这就是弯曲变形的叠加法。 ②为了便于工程计算，把简单基本载荷作用下梁的挠曲线方程，最大挠 度，最大转角计算公式编入手册，以便查用。P1881 Example 1 Given:EI=const Find:0A.B.Wc
⑦误差分析： 用 2 l w 代替 wmax所引起的误差 2.65% max max 2 = − w w L ⑧结论 可见在简支梁中，只要挠曲线无拐点，总可用跨度中点的挠度代替 最大挠度不会引起很大误差。 §6.4 用叠加法求弯曲变形 1. 积分法 ①优点：可以求得挠曲线的转角方程和挠曲线方程，因此可求任意截 面的转角和挠度是最基本的方法。 ②缺点：积分法比较麻烦。 2. 叠加法 ①在小变形，线弹性前提下（材料服从胡克定律），挠度与转角均与载 荷成线性关系。因此，当梁上有多个载荷作用时，可以分别求出每 一载荷单独引起的变形，把所得变形叠加即为这些载荷共同作用时 的变形，这就是弯曲变形的叠加法。 ②为了便于工程计算，把简单基本载荷作用下梁的挠曲线方程，最大挠 度，最大转角计算公式编入手册，以便查用。P188-1 Example 1 Given： EI = const Find：θA, θB, wC