随机事件的概率训练题 A级一一保大分专练 1.在投掷一枚硬币的试验中,共投掷了100次,“正面朝上”的频数为51,则“正面朝上” 的频率为() B.0.5 C.0. 解析:选C由题意,根据事件发生的频率的定义可知,“正面朝上”的频率为,=0.51. (2019·泉州模拟)从含有质地均匀且大小相同的2个红球、n个白球的口袋中随机取出 球,若取得红球的概率是三,则取得白球的概率等于() 1-53-5 B D 2-54-5 解析:选C∵取得红球与取得白球为对立事件, 取得白球的概率P=1 3.甲:A,A是互斥事件;乙:A,A是对立事件,那么() A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件 解析:选B两个事件是对立事件,则它们一定互斥,反之不一定成立 4.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事件C 抽到三等品},且已知P(A=0.65,P(B=0.2,P(O=0.1,则事件“抽到的不是一等品”的 概率为() B.0.65 C.0.35 D.0.3 解析:选C事件“抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件.因为P(A=0.65,所以由 对立事件的概率公式得“抽到的产品不是一等品”的概率P=1-P(A=1-0.65=0.35.故选C 5.若A,B互为对立事件,其概率分别为P(A=-,P(B=-,且x>0,y>0,则x+y的最小 值为()
1 随机事件的概率训练题 A 级——保大分专练 1．在投掷一枚硬币的试验中，共投掷了 100 次，“正面朝上”的频数为 51，则“正面朝上” 的频率为( ) A．49 B．0.5 C．0.51 D．0.49 解析：选 C 由题意，根据事件发生的频率的定义可知，“正面朝上”的频率为 51 100＝0.51. 2．(2019·泉州模拟)从含有质地均匀且大小相同的 2 个红球、n 个白球的口袋中随机取出一 球，若取得红球的概率是2 5 ，则取得白球的概率等于( ) A． 1 5 B． 2 5 C． 3 5 D． 4 5 解析：选 C ∵取得红球与取得白球为对立事件， ∴取得白球的概率 P＝1－ 2 5 ＝ 3 5 . 3．甲：A1，A2 是互斥事件；乙：A1，A2 是对立事件，那么( ) A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 解析：选 B 两个事件是对立事件，则它们一定互斥，反之不一定成立． 4．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件 A＝{抽到一等品}，事件 B＝{抽到二等品}，事件 C ＝{抽到三等品}，且已知 P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的 概率为( ) A．0.7 B．0.65 C．0.35 D．0.3 解析：选 C 事件“抽到的产品不是一等品”与事件 A 是对立事件．因为 P(A)＝0.65，所以由 对立事件的概率公式得“抽到的产品不是一等品”的概率 P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.故选 C. 5．若 A，B 互为对立事件，其概率分别为 P(A)＝ 4 x ，P(B)＝ 1 y ，且 x＞0，y＞0，则 x＋y 的最小 值为( ) A．7 B．8
解析:选C由题意如+1,则=(+)·(+)=5+(+=,当且仅一 即x=2y时等号成立.故选C 6.掷一个骰子的试验,事件A表示“出现小于5的偶数点”,事件B表示“出现小于5的点 数”.若B表示B的对立事件,则在一次试验中,事件A+B发生的概率为( 1-32-3 D. 25-6 解析:选C掷一个骰子的试验有6种可能结果.依题意,得P(A= P(B P(B) 1-P(B=3因为B表示事件“出现5点或6点”,因此事件A与B互斥,从而P(A+B) P(a)+P( B) 333 7.某网店根据以往某品牌衣服的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示 由此估计日销售量不低于50件的概率为 0.03 O3040506070日销售量/件 解析:用频率估计概率知日销售量不低于50件的概率为1-(0.015+0.03)×10=0.55. 答案:0.55 8.容量为20的样本数据,分组后的频数如下表 分组[10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) 60,70] 则样本数据落在区间[10,40)的频率为 解析:数据落在区间[10,40)的频率为 2+3+49 答案:0.45 9.“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利,却习惯在网络上大放 厥词的一种现象.某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调査:在随机抽取的 50人中,有14人持认可态度,其余持反对态度,若该地区有9600人,则可估计该地区对“键盘 侠”持反对态度的有人 2
2 C．9 D．10 解析：选 C 由题意知4 x ＋ 1 y ＝1，则 x＋y＝(x＋y)· 4 x ＋ 1 y ＝5＋ 4y x ＋ x y ≥9，当且仅当4y x ＝ x y ， 即 x＝2y 时等号成立．故选 C. 6．掷一个骰子的试验，事件 A 表示“出现小于 5 的偶数点”，事件 B 表示“出现小于 5 的点 数”．若 B 表示 B 的对立事件，则在一次试验中，事件 A＋ B 发生的概率为( ) A． 1 3 B． 1 2 C． 2 3 D． 5 6 解析：选 C 掷一个骰子的试验有 6 种可能结果．依题意，得 P(A)＝ 2 6 ＝ 1 3 ，P(B)＝ 4 6 ＝ 2 3 ，∴P( B ) ＝1－P(B)＝1－ 2 3 ＝ 1 3 .因为 B 表示事件“出现 5 点或 6 点”，因此事件 A 与 B 互斥，从而 P(A＋ B ) ＝P(A)＋P( B )＝ 1 3 ＋ 1 3 ＝ 2 3 . 7．某网店根据以往某品牌衣服的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示， 由此估计日销售量不低于 50 件的概率为________． 解析：用频率估计概率知日销售量不低于 50 件的概率为 1－(0.015＋0.03)×10＝0.55. 答案：0.55 8．容量为 20 的样本数据，分组后的频数如下表： 分组 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70] 频数 2 3 4 5 4 2 则样本数据落在区间[10,40)的频率为________． 解析：数据落在区间[10,40)的频率为2＋3＋4 20 ＝ 9 20＝0.45. 答案：0.45 9．“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放 厥词的一种现象．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的 50 人中，有 14 人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有 9 600 人，则可估计该地区对“键盘 侠”持反对态度的有________人．
解析:在随机抽取的50人中,持反对态度的频率为1 1418 则可估计该地区对“键盘侠 持反对态度的有9600×=6912(人) 答案:6912 10.一只袋子中装有大小相同的7个红玻璃球和3个绿玻璃球,从中无放回地任意抽取两次, 每次只取一个,取得两个红球的概率为,取得两个绿球的概率为,,则取得两个同颜色的球的概 率为 至少取得一个红球的概率为 解析:由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件,取得两个同色球,只需两互斥 事件有一个发生即可,因而取得两个同色球的概率为P15+15=15 由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件,则至少取得一个红 球的概率为 114 P(A=1-P(B=1 1515 答案:i515 11.某人去开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4. (1)求他乘火车或乘飞机去的概率 (2)求他不乘飞机去的概率 (3)若他乘上面的交通工具去的概率为0.5,请问他有可能是乘何种交通工具去的? 解:设“乘火车”“乘轮船”“乘汽车”“乘飞机”分别表示事件A,B, 则 (1)P(AUD=P(A+P(D=0.3+0.4=0.7 (2)设“不乘飞机”为事件E,则P(E=1-P(D=1-0.4=0.6. (3)因为P(心UB=P(A十+P(B=0.5,P(CUD=P(O+P(D=0.5,故他有可能是乘火车或轮 船去,也有可能是乘汽车或飞机去 12.(2018·北京高考)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表: 电影类型第一类第二类第三类十第四类第五类第六类 电影部数 300 200 00 510 好评率 0.15 0.25 0.2 好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值 (1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率 (2)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率 (3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假 设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评
3 解析：在随机抽取的 50 人中，持反对态度的频率为 1－ 14 50＝ 18 25，则可估计该地区对“键盘侠” 持反对态度的有 9 600× 18 25＝6 912(人)． 答案：6 912 10．一只袋子中装有大小相同的 7 个红玻璃球和 3 个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次， 每次只取一个，取得两个红球的概率为 7 15，取得两个绿球的概率为 1 15，则取得两个同颜色的球的概 率为________；至少取得一个红球的概率为________． 解析：由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥 事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为 P＝ 7 15＋ 1 15＝ 8 15. 由于事件 A“至少取得一个红球”与事件 B“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红 球的概率为 P(A)＝1－P(B)＝1－ 1 15＝ 14 15. 答案： 8 15 14 15 11．某人去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为 0.3,0.2,0.1,0.4. (1)求他乘火车或乘飞机去的概率； (2)求他不乘飞机去的概率； (3)若他乘上面的交通工具去的概率为 0.5，请问他有可能是乘何种交通工具去的？ 解：设“乘火车”“乘轮船”“乘汽车”“乘飞机”分别表示事件 A，B，C，D，则 (1)P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7. (2)设“不乘飞机”为事件 E，则 P(E)＝1－P(D)＝1－0.4＝0.6. (3)因为 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5，P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝0.5，故他有可能是乘火车或轮 船去，也有可能是乘汽车或飞机去． 12．(2018·北京高考)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值． (1)从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率． (2)随机选取 1 部电影，估计这部电影没有获得好评的概率． (3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假 设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加 0.1，哪类电影的好评
率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论) 解:(1)由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000, 获得好评的第四类电影的部数是200×0.25=50, 故所求概率为 0.025 2000 (2)由题意知,样本中获得好评的电影部数是 140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1 56+10+45+50+160+51 =372, 故所求概率估计为1~312=0.814 2000 (3)增加第五类电影的好评率,减少第二类电影的好评率 B级一一创高分自选 1.若随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且P(A=2-a,P(B=4a-5,则实 数a的取值范围是( A B D 解析:选D由题意可得{0PB<1, PA+PB≤1, 即0<4a-5(1 解得x 3a-3≤1, 2.现有10个数,它们能构成一个以1为首项,一3为公比的等比数列,若从这10个数中随 机抽取一个数,则它小于8的概率是 解析:由题意得a=(-3)“,易知前10项中奇数项为正,偶数项为负,所以小于8的项为第 项和偶数项,共6项,即6个数,所以所求概率P= 63 答案 3.某河流上的一座水力发电站,每年六月份的发电量F(单位:万千瓦时)与该河上游在六月 份的降雨量X(单位:毫米)有关.据统计,当上=70时,F=460;X每增加10,F增加5.已知近20 年X的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110, 160,220,140,1
4 率减少 0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论) 解：(1)由题意知，样本中电影的总部数是 140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000， 获得好评的第四类电影的部数是 200×0.25＝50， 故所求概率为 50 2 000＝0.025. (2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是 140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1 ＝56＋10＋45＋50＋160＋51 ＝372， 故所求概率估计为 1－ 372 2 000＝0.814. (3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率． B 级——创高分自选 1．若随机事件 A，B 互斥，A，B 发生的概率均不等于 0，且 P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实 数 a 的取值范围是( ) A. 5 4 ，2 B. 5 4 ， 3 2 C. 5 4 ， 3 2 D. 5 4 ， 4 3 解析：选 D 由题意可得 0<P A <1， 0<P B <1， P A ＋P B ≤1， 即 0<2－a<1， 0<4a－5<1， 3a－3≤1， 解得5 4 <a≤ 4 3 . 2．现有 10 个数，它们能构成一个以 1 为首项，－3 为公比的等比数列，若从这 10 个数中随 机抽取一个数，则它小于 8 的概率是________． 解析：由题意得 an＝(－3)n－1，易知前 10 项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于 8 的项为第 一项和偶数项，共 6 项，即 6 个数，所以所求概率 P＝ 6 10＝ 3 5 . 答案：3 5 3．某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量 Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月 份的降雨量 X(单位：毫米)有关．据统计，当 X＝70 时，Y＝460；X 每增加 10，Y 增加 5.已知近 20 年 X 的值为 140,110,160,70,200,160,140, 160,220,200,110,160,160, 200,140,110, 160,220,140,160
(1)完成如下的频率分布表 近20年六月份降雨量频率分布表 降雨量 70 110140160200220 频率 (2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同,并将频率视为概率,求 今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率 解:(1)在所给数据中,降雨量为110毫米的有3个,为160毫米的有7个,为200毫米的有 个.故近20年六月份降雨量频率分布表为 降雨量7010140160200220 3 4 7 频率 3 2 2020 (2)根据题意,F=460+-10-×5=2+425 故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”) P(K490或珍530)=P(K130或E210) =P(F=70)+P(X=110)+P(K=220) 故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为
5 (1)完成如下的频率分布表： 近 20 年六月份降雨量频率分布表 降雨量 70 110 140 160 200 220 频率 1 20 4 20 2 20 (2)假定今年六月份的降雨量与近 20 年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求 今年六月份该水力发电站的发电量低于 490(万千瓦时)或超过 530(万千瓦时)的概率． 解：(1)在所给数据中，降雨量为 110 毫米的有 3 个，为 160 毫米的有 7 个，为 200 毫米的有 3 个．故近 20 年六月份降雨量频率分布表为： 降雨量 70 110 140 160 200 220 频率 1 20 3 20 4 20 7 20 3 20 2 20 (2)根据题意，Y＝460＋ X－70 10 ×5＝ X 2 ＋425， 故 P(“发电量低于 490 万千瓦时或超过 530 万千瓦时”) ＝P(Y530)＝P(X210) ＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220) ＝ 1 20＋ 3 20＋ 2 20＝ 3 10. 故今年六月份该水力发电站的发电量低于 490(万千瓦时)或超过 530(万千瓦时)的概率为 3 10