广东海洋大学：《大学物理》课程教学资源（各章习题解答）第06章热学.doc_大学文库

题 6.1：如果将 1.0103 kg 的水均匀地分布在地球表面上，则单位面积上将约有多少个水分子？题 6.1 分析：l mol 的任何物质均含有相同的分子个数，即阿伏伽德罗常数 NA。由此，可以求出 1.0 10 kg −3  水的水分子数。而地球表面积可视为球面作近似计算，通常取地球半径 R=6.37106 m。解：水的摩尔质量 1 0.018 kg mol − M =  ，则 1.0 10 kg −3 m =  水中所含分子数 N = mNA / M ，则单位面积上的水分子数为 2 7 2 / A / 4 6.56 10 m − n = N S = mN MR =  题 6.2：设想太阳是由氢原子组成的理想气体，其密度可当作是均匀的。若此理想气体的压强为 1.35 10 Pa 14  。试估计太阳的温度。（已知氢原子的质量 1.67 10 kg 27 H − m =  ，太阳半径 6.96 10 m 8 RS =  ，太阳质量 1.99 10 kg 30 mS =  ）题 6.2 分析：本题可直接运用物态方程 p = nkT 进行计算。解：氢原子的数密度可表示为 ( )       = =  3 S H S S H S 3 4 n m m V m m R 根据题给条件，由 p = nkT 可得太阳的温度为 4 (3 ) 1.16 10 K 7 S 3 T = p nk = pmH RS m k =  说明：实际上太阳结构并非本题中所设想的理想化模型。因此，计算所得的太阳温度与实际的温度相差较大。题 6.3：一容器内储有氧气，其压强为 1.01105 Pa，温度为 27 ℃，求：（l）气体分子的数密度；（2）氧气的密度；（3）分子的平均平动动能；（4）分子间的平均距离。（设分子间均匀等距排列）题 6.3 分析：在题中压强和温度的条件下，氧气可视为理想气体。因此，可由理想气体的物态方程、密度的定义以及分子的平均平动动能与温度的关系等求解。又因可将分子看成是均匀等距排列的，故每个分子占有的体积为 3 V0 = d ，由数密度的含意可知 V0 =1 n, d 即可求出。解：（l）单位体积分子数 25 3 2.44 10 m − n = p kT =  （2）氧气的密度 3 1.30 kg m −  = m V = pM RT =  （3）氧气分子的平均平动动能 3 2 6.21 10 J 21 k −  = kT =  （4）氧气分子的平均距离

1 3.45 10 m 9 3 − d = n =  通过对本题的求解，我们可以对通常状态下理想气体的分子数密度、平均平动动能、分子间平均距离等物理量的数量级有所了解。题 6.4： 2.0 10 Kg −2  氢气装在 3 3 4.0 10 m −  的容器内，当容器内的压强为 3.90105 Pa 时，氢气分子的平均平动动能为多大？题 6.4 分析：理想气体的温度是由分子的平均平动动能决定的，即  k = 3kT 2。因此，根据题中给出的条件，通过物态方程 RT M m pV = ，求出容器内氢气的温度即可得 k  。解：由分析知氢气的温度 mR MpV T = ，则氢气分子的平均平动动能为 3 2 3 (2 ) 3.89 10 J 22 k −  = kT = pVMk mR =  题 6.5：温度为 0 ℃和 100 ℃时理想气体分子的平均平动动能各为多少？欲使分子的平均平动动能等于 1 eV，气体的温度需多高？题 6.5 解：分子在 0 ℃和 100 ℃时平均平动动能分别为 3 2 5.65 10 J 21 1 1 −  = kT =  3 2 7.72 10 J 21 2 2 −  = kT =  由于 1eV 1.6 10 J −19 =  。因此，分子具有 1eV 平均平动动能时，气体温度为 2 3 7.73 10 K 3 T =  k k =  这个温度约为 7.5103 ℃。题 6.6：某些恒星的温度可达到约 1.0108 K，这是发生聚变反应（也称热核反应）所需的温度。通常在此温度下恒星可视为由质子组成。求；（1）质子的平均动能是多少？（2）质子的方均根速率为多大? 题 6.6 分析：将组成恒星的大量质子视为理想气体。质子可作为质点。其自由度 i = 3 ，因此，质子的平均动能就等于平均平动动能。此外，由平均平动动能与温度的关系 / 2 3 / 2 2 mv = kT 可得方均根速率 2 v 。解：（l）由分析可得质子的平均动能为 2 3 2 2.07 10 J 2 15 k −  = mv = k T =  （2）质子的方均根速率为 2 6 －1 1.58 10 m s 3 = =   m k T v 题 6.7：求温度为 127.0 ℃的氢气分子和氧气分子的平均速率、方均根速率及最概然速率。题 6.7 分析：分清平均速率 v 、方均根速率 2 v 及最概然速率 p v 的物理意义，并利用三种速

题 6.9：体积为 3 3 1.0 10 m −  的容器中含有 23 1.0110 个氢气分子，如果其中压强为 1.01 10 Pa 5  。求该氢气的温度和分子的方均根速率。题 6.9 解：由理想气体物态方程 p = nkT 可得氢气温度为 T = p /(nk) = pV /(Nk) = 72.5 K 氢气分子的方均根速率为 2 1 H 2 3 / 9.51 10 2 − v = RT M =  ms 题 6.10：在容积为 3 3 2.0 10 m −  的容器中，有内能为 6.75102 J 的刚性双原子分子理想气体。（1）求气体的压强；（2）设分子总数为 5.41022 个，求分子的平均平动动能及气体的温度。题 6.10 分析：（1）一定量理想气体的内能 RT i M m E 2 = ，其中 i 为气体分子的自由度，对刚性双原子分子而言， i = 5 。由上述内能公式和理想气体物态方程 RT M m pV = 可解出气体的压强。（2）求得压强后，再依据题给数据可求得分子数密度，则由公式 p = nkT 可求气体温度。气体分子的平均平动动能也可由  k = 3kT / 2 求出。解：（1）由 RT i M m E 2 = 和 RT M m pV = 可得气体压强 2 / 1.35 10 Pa 5 p = E iV =  （2）分子数密度 n=N/V 为，则该气体的温度 / 3.62 10 K 2 T = p nk = pV （Nk）=  气体分子的平均平动动能为 3 2 7.49 10 J 21 k −  = kT =  题 6.11：在容积为 2 3 3.0 10 m −  的容器中装有 2.0 10 kg −2  气体，容器内气体的压强为 5.06104 Pa，求气体分子的最概然速率。题 6.11 分析：题中未给出摩尔质量 M 和气体温度 T ，无法直接由 vp = 2RT / M 求出最概然速率。但利用理想气体物态方程，由题中条件可得 RT / M 值，从而求出 p v 。解：由理想气体物态方程 RT M m pV = 可得 RT M = pV m 则最概然速率为 1 p 2 / 2 / 389 m s − v = RT M = pV m =  题 6.12：声波在理想气体中传播的速率正比于气体分子的方均根速率。问声波通过氧气的速率与通过氢气的速率之比为多少？设这两种气体都是理想气体并具有相同的温度。题 6.12 分析：由题意声波速率 u 与气体分子的方均根速率成正比，即 2 u  v ；而在一定温

度下，气体分子的方均根速率文厅，式中M为气体的摩尔质量。因此，在一定温度下声波速率x√/M。解：依据分析可设声速M=A/M,式中A为比例常量。则声波通过氧气与氢气的速率之比为 M=025 思(13：质点离开地球引力作用所香的选逸速率为r=√2T,其中r为陆球半径。(1)若使氢气分子和氧气分子的平均速率分别与逃逸速半相等，它们各自应有多高的温度：(2)说明大气层中为什么氢气比氧气要少。（取r=60x0°m) 题《13分析：气体分子热运动的平均速率带=√8RT/山.对于摩尔质量M不月的气体分子，为使等于谜遂速率”，所需的温度是不同的：如果环境温度相同，则摩尔质量M较小的就容易达到逃遂速率。解：〔1)由题意逃选速率，一√2g,而分子热运动的平均速率下=8R了/.当-v时，有贵 4R 由于氢气的摩尔质量 M=20×10'kgmo, 氧气的摩尔质量 Ma,=32×10Tkgm0 则它们达到违迹速率时所清的温度分别为 T-l18x10K,T6-1.89xl0K (2)根据上述分析，当盟度相同时，氢气的平均速率比氧气的要大（约为4倍），因此达到违透速率的氢气分子比氧气分子多，按大W炸理论，学宙在形成过程中经历了一个极高温过程。在地球彩成的初期，虽然温度己大大降低，但温度值还是飘高。因而，在气体分子产生过程中就开始有分子选逸地球，其中氢气分子比氧气分子更易进连。另外，虽然目前的大气层温度不可能达到上述计算结果中逃选速率所需的温度，但由麦克斯韦分子速半分有曲线可知，在任一温度下，总有一些气体分子的运动速率大于透逸速率。从分布由线也可知道在相同温度下氢气分子修达到逃逸速率的可能性大干氧气分子。恩6,1：有N个爱量均为m的同种气体分子，它们的速率分布如图所示。(1)说明曲线与横坐标轴所包围的面积的含义：《2)由N和%求a值：(3》求在速率2到3m/2间隔内的分子数：〔4》求分子的平均平功动能。题丘14分析：处理与气体分子速率分布曲线有关的问题时，关健费理解分布函数的物

度下，气体分子的方均根速率 v 1/ M 2  ，式中 M 为气体的摩尔质量。因此，在一定温度下声波速率 u  1/ M 。解：依据分析可设声速 u = A 1/ M ，式中 A 为比例常量。则声波通过氧气与氢气的速率之比为 0.25 2 2 2 2 O H H O = = M M u u 题 6.13：质点离开地球引力作用所需的逃逸速率为 v = 2gr ，其中 r 为地球半径。（1）若使氢气分子和氧气分子的平均速率分别与逃逸速率相等，它们各自应有多高的温度；（2）说明大气层中为什么氢气比氧气要少。（取 6.40 10 m 6 r =  ）题 6.13 分析：气体分子热运动的平均速率 v = 8RT /M 。对于摩尔质量 M 不同的气体分子，为使 v 等于逃逸速率 v，所需的温度是不同的；如果环境温度相同，则摩尔质量 M 较小的就容易达到逃逸速率。解：（1）由题意逃逸速率 v = 2gr ，而分子热运动的平均速率 v = 8RT /M 。当 v = v 时，有 R Mrg v R M T 8 4  2  = = 由于氢气的摩尔质量 3 1 H 2.0 10 kg mol 2 − − M =   ，氧气的摩尔质量 2 1 O 3.2 10 kg mol 2 − − M =   则它们达到逃逸速率时所需的温度分别为 1.18 10 K, 1.89 10 K 5 O 4 H2 2 T =  T =  （2）根据上述分析，当温度相同时，氢气的平均速率比氧气的要大（约为 4 倍），因此达到逃逸速率的氢气分子比氧气分子多。按大爆炸理论，宇宙在形成过程中经历了一个极高温过程。在地球形成的初期，虽然温度已大大降低，但温度值还是很高。因而，在气体分子产生过程中就开始有分子逃逸地球，其中氢气分子比氧气分子更易逃逸。另外，虽然目前的大气层温度不可能达到上述计算结果中逃逸速率所需的温度，但由麦克斯韦分子速率分布曲线可知，在任一温度下，总有一些气体分子的运动速率大于逃逸速率。从分布曲线也可知道在相同温度下氢气分子能达到逃逸速率的可能性大于氧气分子。题 6.14：有 N 个质量均为 m 的同种气体分子，它们的速率分布如图所示。（1）说明曲线与横坐标轴所包围的面积的含义；（2）由 N 和 v0 求 a 值；（3）求在速率 v0/2 到 3v0/2 间隔内的分子数；（4）求分子的平均平动动能。题 6.14 分析：处理与气体分子速率分布曲线有关的问题时，关键要理解分布函数 f (v) 的物

理意义。 f (v) = dN / Ndv 题中纵坐标 Nf (v) = dN / dv ，即处于速率 v 附近单位速率区间内的分子数。同时要掌握 f (v) 的归一化条件，即 ( )d 1 0 =   f v v 。在此基础上，根据分布函数并运用数学方法（如函数求平均值或极值等），即可求解本题。解：（l）由于分子所允许的速率在 0 到 2v0 的范围内，由归一化条件可知图中曲线下的面积 S Nf (v) v N v = =  2 0 0 d 即曲线下面积表示系统分子总数 N。（2）从图中可知，在 0 到 v0 区间内， 0 Nf (v) = av / v ；而在 v0 到 2v0 区间内， Nf (v) = a 。则利用归一化条件有   = + 0 0 0 2 0 0 d d v v v v a v v av N 得 3 0 a = 2N / v （3）速率在 v0/2 到 3v0/2 间隔内的分子数为 d d 7 /12 3 / 2 / 2 0 0 0 0 0 v a v N v av N v v v v  = + =   (4)分子速率平方的平均值按定义为     = = 0 2 0 2 2 v v dN / N v f (v)dv 故分子的平均平动动能为 2 0 2 2 0 3 0 2 k 36 31 d d 2 1 2 1 0 0 0 v v mv N a v v Nv a mv m v v v = = + =  （  ）题 6.15：试用麦克斯韦分子速率分布定律导出方均根速率和最概然速率。题 6.15 分析：麦克斯韦分子速率分布函数为          −      = k T mv v k T m f v 2 exp 2 ( ) 4 2 2 3/ 2   采用数学中对连续函数求自变量平均值的方法，求解分子速率平方的平均值，即   = N v N v d d 2 2 ，从而得出方均根速率，由于分布函数较复杂，在积分过程中需作适当的数学代换。另外，最概然速率是指麦克斯韦分子速率分布函数极大值所对应的速率，因而可采用求函数极值的方法求得。解：（l）根据分析可得分子的方均根速率为 1/ 2 0 2 4 3/ 2 1/ 2 0 2 2 d 2 exp 2 d / 4                  −       =      =    v k T mv v k T m v v N N N   令 2 2 mv / 2kT = x ，则有 1 / 2 1 / 2 1 / 2 0 2 4 1.73 3 d 4 2 2               =      =   − M RT m k T x e x m k T v x  （2）令 df (v)/ dv = 0 ，即 0 2 exp 2 2 2 2 exp 2 4 2 2 2 3/ 2  =              − −          −      k T mv k T mv v k T mv v k T m  

得 1/ 2 1/ 2 1.41 2              = = M RT m k T v v p 题 6.16：在压强为 1.01105 Pa 下，氮气分子的平均自由程为 6 6.0 10－  cm，温度不变时，在多大压强下，其平均自由程为 1.0 mm。题 6.16 分析：气体分子热运动的平均自由程 d n 2 2 1   = ，其中分子数密度 n 由物态方程 p = nkT 确定。因此在温度一定时，平均自由程  1/ p 。解：由分析知平均自由程  1/ p 。当自由程由 1 改变为 2 时，其压强为 ( ) 6.06 Pa p2 = 1 2 p1 = 题 6.17：目前实验室获得的极限真空约为 1.33 10 Pa －11  ，这与距地球表面 1.0104 km 处的压强大致相等。试求在 27 C  时单位体积中的分子数及分子的平均自由程。（设气体分子的有效直径 3.0 10 cm －8 d =  ）题 6.17 解：由理想气体物态方程得分子数密度为 9 3 / 3.21 10 m − n = p kT =  分子的平均自由程为 2 7.8 10 m 2 8  = kT d p =  可见分子间几乎不发生碰撞。题 6.18：若氖气分子的有效直径为 2.59 10 cm －8  ，问在温度为 600 K、压强为 1.33102 Pa 时氖分子 1 s 内的平均碰撞次数为多少？题 6.18 分析：分子 1s 内的平均碰撞次数即平均碰撞频率 Z d nv 2 = 2 ，其中分子数密度 n 及平均速率 v 可利用物态方程 p = nkT 和平均速率公式 ( ) 1/ 2 v = 8RT M 分别求出。题 6.18 解：由分析可得氖分子的平均碰撞频率 2 2 6 1 3.81 10 s 8 2 2 −  =       = = M RT k T p Z d nv d    题 6.19：如果理想气体的温度保持不变，当压强降为原值的一半时，分子的平均碰撞频率和平均自由程如何变化？题 6.19 分析：由题 6.16、6.18 可知，在温度不变的条件下，分子的平均碰撞频率 Z  p ，而分子的平均自由程  1/ p ，由此可得压强变化时，平均碰撞频率和平均自由程的变化。解：由分析知 Z  p ，当压强由 p0 降至 p0/2 时，平均碰撞频率为

广东海洋大学：《大学物理》课程教学资源（各章习题解答）第06章 热学

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