5-1月球的质量是地球的1/81，直径为地球的3/11，计算质量为65kg的 人在月球上所受的月球引力. 分析人在不同星球上所受引力均属万有引力，其大小由万有引力定律确 定，人在地球表面所受引力的大小，即人的重量.根据月球、地球的质量和半径， 采用比较引力的方法可得到人在月球表面所受的引力。 解设地球、月球的半径分别为R1、R2,它们的质量分别为m1、m2.根据 万有引力定律，人在地球表面所受的引力大小为 Ig -G 人在月球所受的引力大小为 F-GR 比较上述两式可得 F=m2R)2 miR2/mg 106 N
5-2试根据地球的半径RE和引力常量G的值，估算地球的质量和平均 密度.（已知Re=6.4×10m,G=6.7×10-11Nm2kg2) 分析利用地面上物体的重力也就是物体所受地球的万有引力，可解出地 球的质量，从而，由密度的定义可解此题、 解地面上物体的重力也就是物体所受地球的万有引力.故有 mg Gmem RE 4 mE=8是=6.0×1024kg 3 地球的密度为 mE=5.5×103kg·m-3 由于该平均密度大于地球表面的密度，由此可推断地球内部是由平均密度 较大的物质组戒
5-3如图5-3所示，有两个半径分别为R1和R2的同心薄壁球壳，质量 各为m1和m2.将质量为m的质点P置 于距球心O分别为rA、rg和rC处，求：(1) 质点P所受的引力；(2)如取质点在无限远 处的引力势能为零，计算质点P在以土三 处的引力势能. 分析(1)由教材中所得结论知：质量 均匀分布的球壳内任意质点受到球壳的引 图5-3 力为零：而球壳外任意质点所受球壳的引力，则可把球壳看作其质量集中于球心 处的质点来处理.根据上述结论和力的叠加原理即可得到质点在不同位置处的 引力.(2)根据均匀球壳内、外质点所受球壳的引力，由引力势能的定义可确定 质点在各处的势能值. 解(1)根据上述分析，在半径为R:的球壳内任意点A的引力为F1=0: 而点B处的质点受到的引力为F2=Gmm；点C处的质点受到球壳的引力为 r月 F=G(mitma)m r (2)根据引力势能的定义E。=F·d,当rc>R2时，有 Ec=F3·dr=-Gmmi+m2 re 当R1<rB<R2时，有 Eadrdr dr --Gm() r 同理，当ra<R1时，有 E-Gm(贤+》 可见，当质点处于球壳内部任意点时，它的势能都等于表面处的势能；而质点处 于球壳外部时，它的势能将随位置而改变
5-4如图5-4所示，在一半径为R、质量为m'、密度均匀的球体中挖了 一个半径为R2的球形空腔.在点P处放一质量为m的质点.求此质点所受的 引力. 分析可采用补偿法求解.即以球形空 腔填满后的实心大球，减去处于空腔位置处 的实心小球来代替空腔球体，这样处理后， 就可利用求球体外一点的引力的结果，通过 引力叠加的方法来解了， 解球体被挖去部分的质量为 m0= 答 质点在点P处受到实心大球m'的引力为 F1=-Ger 而质点在点P处受到空腔处的实心小球体的引力为 【2% F2=G mom 所以，质点在点P处受到空腔球体的引力为 F=F1-F2=-Gm[1- 1 2
5一5当一物体从地球表面竖直向上或向下移动一小距离时，计算重力加 速度的变化规律. 分析重力加速度即引力场强度，它可从引力场强度的定义求出.但是，必 须注意计算万有引力时，在题中两种情况下所用地球质量是不同的.当物体向地 心下移时，计算引力时的地球质量是指以地心至物体之间的距离为半径的球体 内的质量. 解设物体在地球表面上方的高度为h,则引力场强度的大小为 GmE gx=(R+h) 式中mE为地球的质量.考感到地球表面的重力加速度g= G,同时，h比R 小的多，可用二项式定理将分母展开，并略去小项，有 舒+)小-) gex=- GmE 取地球半径R=6.4×10m,重力加速度g=9.81ms2,代人上式得 gx=(9.81-3.06×10-6h）m·s2 如果物体向地球内部移动一距离，此时，在计算引力场强度时只需考虑半 径为r=R一h的地球内部的质量，因此，有 -GmE(&1 R3 gn=(9.81-1.53×106h)m·s2 从上述结果可看出，在地面上空和地下的引力场强度都要比地面的小，但是，向 地面上方移动时，引力场强度减少得快
5-6有一质量为m的质点，从地面上空高为五处落下，设空气阻力不 计，且h与地球半径RE相比要小得多.试证质点落地时的速率为 √/2 ghRef(RE+h). 分析质点下落是由于地球引力的作用.如将质点和地球视为系统，因系统 无外力作功，而仅有的引力又是保守内力（有心力），所以，系统的机械能（包括万 有引力势能和动能)守恒，根据机械能守恒定律，由引力势能的一殷表达式 -Gmemlr及质点在地面时的重力加速度g=Gme/R邑，可得质点落地时的动 能，并可求出质点落地时的速率， 证根据系统的机械能守恒定律有 mme -GRE+九 -G+2m2 而重力加速度 g= GmE R 由上述两式可得 2ghRe ”=N(RE+h)
5一7同步卫星在赤道上空以和地球自转同样的角速度运行，为满足这一 要求，同步卫星应位于距赤道多高的地方？其线速度为多大？ 分析(1)地球自转的角速度可由一昼夜的时间来确定.当同步卫星以此 角速度作圆周运动时卫星和地球同步，所需的向心力正好是由地球对卫星的万 有引力来提供的.此时的万有引力可用于决定卫星的高度.(2)由角量与线量的 关系，可得到卫星的线速度， 2 解地球自转的角速度为0E=24×号600s1.同步卫星以此角速度作圆周 运动时，有 mmE C(RE+h产=mw(RE+h) 式中引力常量G、地球的质量mE和半径Rε可查表知.则同步卫星距赤道的高 度为 h=Gmg 1/3 -RE=3.59×107m 同步卫星的线速度为 v=wE(RE+h）=3.07×103m·sl
5-8质量分别为3和m的两个质点，它们相距为d.如以质点3m为原 点，试求它们的引力场强度为零的位置. 分析引力场强度为一矢量.空间各点的引力场强度是各物体引力场强度 的矢量叠加，因此除无限远处以外，引力场强度为零的位置必在3与m之间 的连线上.根据场强的叠加原理，可解此题.由于引力场强度为零的位暨也就是 任意物体在该处所受引力为零的位置，因此，问题也可转换为求物体受力为零的 位置. 解以如图所示的坐标，为使质量为m0的物体在点P处所受引力为零， 根据万有引力定律，有 3 Gmmo 3Gmmo (d-p2= r吊 即 2r3-6drp+3d2=0 解此二次方程，舍去不合理解，得 图5-8 rp=0.634d
5一9质量分别为m和m'的两个质点，最初它们相距很远（视为无限远）， 并处于静止状态，在万有引力作用下，它们相互趋近.试证两质点相距为r时， 它们的相对速度为[2G(m+m)/r2. 分析将m和m'两质点视为一系统，该系统不受外力作用，而两质点间的 引力又是保守内力，因此，系统既满足动量守恒又满足机械能守恒，由两守恒定 律和相对速度的关系，可解得相对速度的大小 证 根据系统的动量守恒定律，有 m'v-mv =0 式中口'、⑦分别为两质点相对静止参考系的速度.若设u为两质点间的相对速 度，则有 u=0'+v 取两质点相距无穷远时的势能为零，则根据系统的机械能守恒定律，有 -Gmm+2m'u2+是mw2=0 由上述各式可得 u= /2Gm±m】
5-10 一火箭从地球向月球直线运动.火箭发射不久燃料就用完.问：(1) 火箭距地球多远处其加速度为零？(2)为使火箭能通过这一点，并到达月球，火 箭从地面发射时的最小速度为多少？（地球的质量mE=5.98×1024kg,月球的 质量mM=7.35×102kg,月球至地球的距离dE=3.84×108m) 分析由于地球与月球之间的距离远大于它们的线度，因此，可将地球、月 球视为质点处理.(1)当加速度为零时，火箭所受合引力为等.根据地球和月球 对火箭的引力相等，可求出加速度为零的位置.(2)火箭如果能通过该点，地球 和月球对火箭的合引力将指向月球，则火箭在此力作用下继续向前运动，最终到 达月球表面.但是，该力是在不断变化的，难以用牛顿第二定律来求解.然而，由 于火箭仅在地球和月球的引力场中运动，对火箭、地球和月球组成的系统而言， 应满足机械能守恒，且在合力为零处动能为零时，火箭发射所需的速率最小，据 此，可取火箭发射时和抵达合力为军的位置时的两状态作为初态和末态，利用机 械能守恒定律可求出火箭发射所需的最小速率， 也可根据系统的势能函数U(x),利用dU(x)dx=一F,当加速度a=0 时，F=0.因此，dU(x)x=0的位置也就是加速度为零的位置. 解1设火箭加速度为零的位置距地球中心为x处，由地球和月球对火箭 的引力相等，得 GE-G(dv) mM 式中dM为月球与地球之间的距离，故火箭加速度为零的位置，距地球中心为 x=3.45×10m 取火箭发射时和抵达合力为零的位置时的两状态为初态和末态，设发射时火箭 到地球中心的距离为dE,由机械能守恒定律，有 m Gmgm GmMm GmgmM Gmgm Gmmm GmgmM 4E dME-de d匝 dve-x dME 由于式中各势能项的大小相差较大，可略去各小项后得火箭发射时的最小速率 }=1.11×104m·s1 解2火箭、地球和月球系统的势能函数为 U(x)=- Gmgm.-dne- GmmM GmgmM aME 当a=0时，dU(x)/dx=0,放有 -a" 23 可解得x=3.45×103m. 同解(1)中的方法，利用机械能守恒定律可求出火箭发射时所需的最小 速率
