题81：一真空二极管，其主要构作是一个半径R,=50x10一m的圆柱形阴极和一个套在阴 极外，半径尾=4.5×0■的同触简形阳楼。阳极电势比阴极电势高30V,阴极与阳极 的长度均为L=25x10m。假设电子从阴极射出时的速度为零。求：(1)该电子到达阳极 时所具有的动能和速率：(2)电子刚从阳极射出时所受的力。 题界1分析：()由于半径尾<L,因此可将电极视作无限长圆柱面，阴楼和购极之饲的 电场具有轴对称性。从朗极射出的电子在电场力作用下从静止开始如速，电于所获得的动能 等于电场力所作的功。也即等于电子势能的战少。由此，可求得电子到达图极时的动能和速 率。 (2)计算园极表面附近的电场强度，由F■gE求出电子在阴极表面所受的电场力。 解：《1)电子到达阳极时，势能的诚少量为 Em=eP=48×I07J 2R 由于电子的初始速度为零，故 Ea-E.=-E,=48×I0-7J 因此电子到达阳极的速率为 (2)两极间的电场强度为 两极同的电势差 P-收E山-可吹 2。 负号表示阳极电势高于阴极电势。阴极表面电场强度 2x,尼5=。尼代 E=- R 电子在阴极表面受力 F=-eE=437x10-"e,N 这个力尽管很小，但作用在质量为9,1x0”k短的电子上，电子获得的加速度可达重力加 速度的5x105倍。 题82：一导体球半径为R1,外罩一半径为R2的同心薄导体球壳，外球壳所带总电荷为Q, 而内球的电势为。求北系统的电势和电场的分布。 恩82分析，不失一般情况。假设内导体球带电，导体达到静电平衡时电荷的分布如图所 示，依黑电荷的这一分布，利用高斯定理可求得电场分布：并由，一厂E山或电势叠加零 出电势的分布。最后将电场强度和电势用已知量厂。Q、R、兄表示： 题82解根据静电平衡时电荷的分布，可知电场分布星球对称，取同心球面为高斯面，由 高斯定理E:dS-E小4知2一∑g/%,根据不同半径的高斯面内的电背分布。解得各区域
题 8.1：一真空二极管，其主要构件是一个半径 R1 = 5.010−4 m 的圆柱形阴极和一个套在阴 极外，半径 4.5 10 m 3 2 − R = 的同轴圆筒形阳极。阳极电势比阴极电势高 300 V，阴极与阳极 的长度均为 L = 2.510−2 m。假设电子从阴极射出时的速度为零。求：（1）该电子到达阳极 时所具有的动能和速率；（2）电子刚从阳极射出时所受的力。 题 8.1 分析：（1）由于半径 R1 L ，因此可将电极视作无限长圆柱面，阴极和阳极之间的 电场具有轴对称性。从阴极射出的电子在电场力作用下从静止开始加速，电于所获得的动能 等于电场力所作的功，也即等于电子势能的减少。由此，可求得电子到达阳极时的动能和速 率。 （2）计算阳极表面附近的电场强度，由 F = qE 求出电子在阴极表面所受的电场力。 解：（1）电子到达阳极时，势能的减少量为 4.8 10 J 17 ep − E = −eV = − 由于电子的初始速度为零，故 4.8 10 J 17 ek ek ep − E − E = −E = 因此电子到达阳极的速率为 ek 7 1 1.03 10 m s 2 2 − = = = m eV m E v （2）两极间的电场强度为 r 2 0 E e r = − 两极间的电势差 1 2 0 0 ln 2 d 2 d 2 1 2 1 R R r r V R R R R = = − = − E r 负号表示阳极电势高于阴极电势。阴极表面电场强度 r 1 2 1 r 0 1 ln 2 E e e R R R V R = − = 电子在阴极表面受力 F E er N 14 4.37 10 − = −e = 这个力尽管很小，但作用在质量为 9.1110－31 kg 的电子上，电子获得的加速度可达重力加 速度的 51015 倍。 题 8.2：一导体球半径为 R1，外罩一半径为 R2 的同心薄导体球壳，外球壳所带总电荷为 Q， 而内球的电势为 V0。求此系统的电势和电场的分布。 题 8.2 分析：不失一般情况，假设内导体球带电 q ，导体达到静电平衡时电荷的分布如图所 示，依照电荷的这一分布，利用高斯定理可求得电场分布。并由 = p v E dl P 或电势叠加求 出电势的分布。最后将电场强度和电势用已知量 V0、Q、R1、R2 表示。 题 8.2 解：根据静电平衡时电荷的分布，可知电场分布呈球对称。取同心球面为高斯面，由 高斯定理 = ( ) = 0 2 E dS E r 4r q ，根据不同半径的高斯面内的电荷分布，解得各区域
内的电场分布为 r时，E)-O±g 4 由电场强度与电势的积分关系，可得各相应区域内的电势分布。时，-广Ed山-t 4「 也可以从球面电势的叠加求电势的分泰。在导体球内(品) 5=+里 4厘/ 由题意 %=%= 品品 得g4心-是0 代人电场、电势的分布得 7时，与=华，®-R2 恩83：在一半径为局=60Gm的金属球A外面套有一个同心的金属绿壳B。己知球壳B的 内、外半径分别为R2=80cm,R=100em。设球A带有总电荷Q,=30x0C,球壳B 带有总电荷②一20x10+C,()求球壳B内、外表面上所带的电荷以及球A和球壳B的 电势：(2)将球壳B接地然后新开，再把金属球A接地，求球A和球壳B内，外表面上所 带的电荷以及球A和球壳B的电势。 题83分析：(1)根据静电感应和静电平衡时导体表面电背分布的规律，电荷Q均匀分布 在球A表面，球壳B内表面带电荷-①，外表面带电荷公+Q、,电荷在导体表面均匀分布
内的电场分布为 r R1时 ， E1 (r) = 0 R1 r R2时 ， ( ) 2 0 2 4 r q E r = r R2时 ， ( ) 2 0 2 4 r Q q E r + = 由电场强度与电势的积分关系，可得各相应区域内的电势分布。rR2） r Q q V 0 3 4 + = 由题意 0 1 0 2 1 0 4 4 R Q R q V V = = + 得 Q R R q RV 2 1 = 4 0 1 0 − 代人电场、电势的分布得 r R1时 ， 1 1 0 E = 0; V =V R1 r R2时 ， ( ) R r r R Q r R V V R r R Q r R V E 0 2 1 0 1 2 2 0 2 1 2 1 0 2 4 4 − = − ； = + r R2时 ， ( ) ( ) R r R R Q r R V V R r R R Q r R V E 0 2 1 0 2 1 2 3 0 2 2 1 2 1 0 3 4 4 − = + − = + ； 题 8.3：在一半径为 R1 =6.0 cm 的金属球 A 外面套有一个同心的金属球壳 B。已知球壳 B 的 内、外半径分别为 R2 =8.0 cm，R3 =10.0 cm。设球 A 带有总电荷 3.0 10 C 8 A − Q = ，球壳 B 带有总电荷 2.0 10 C 8 B − Q = 。（l）求球壳 B 内、外表面上所带的电荷以及球 A 和球壳 B 的 电势；（2）将球壳 B 接地然后断开，再把金属球 A 接地，求球 A 和球壳 B 内、外表面上所 带的电荷以及球 A 和球壳 B 的电势。 题 8.3 分析：（1）根据静电感应和静电平衡时导体表面电荷分布的规律，电荷 QA 均匀分布 在球 A 表面，球壳 B 内表面带电荷 −QA ，外表面带电荷 QB +QA ，电荷在导体表面均匀分布
由带电球面电势的叠加可求得球A和球壳B的电势。 (2)导体楼地，表明导体与大地等电势（大地电势通常取为零）。球壳B接地后，外 表面的电荷从大地流入的负电载中和，球壳内表面带电-Q,· 断开球壳B的接地后，再将球A接地，此时球A的电势为零。电势的变化必将引起电 荷的置新分布，以保持导体的静电平衡、不失一般性可设此时球A蒂电，根据静电平衡 时导体上电荷的分布规律，可知球壳B内表面感应9·外表面带电a一Q。此时球A的电 势可表示为 收器 由'。=0可解出球A所带的电荷？。，再由蒂电球面电劳的叠如，可求出球A和球壳B的电 势， h 的 D 解：(1)由分析可知，球A的外表而带电3.0x0*C,球壳B内表面带电-30x0*C,外 表面箭电50x0·C。由电势的叠加，球A和球壳B的电势分别为 K=0+0+g±0=56x10v 4,4c,4年。R, %,-g+g.45xi0v 4 R (2)将球壳B接地后断开，再把球A接地，设球A蒂电94，球A和球壳B的电势为 =片 +,=9++4=0 %-0+g 4oRs RRO 解得4“RR+RR-RR =212x104C 即球A外表面带电22×0C,由分析可性得球壳B内表面带电-22×0·C,外表面带 电-09×0·C。另外球A和球壳B的电势分别为 r.=0 =-7.92×I02V 导体的接地使各导体的电劳分布发生变化，打破了原有的静电平衡，导体表面的电荷 将重新分布，以建立新的静电平衡
由带电球面电势的叠加可求得球 A 和球壳 B 的电势。 （2）导体接地，表明导体与大地等电势（大地电势通常取为零）。球壳 B 接地后，外 表面的电荷从大地流入的负电荷中和，球壳内表面带电−QA 。 断开球壳 B 的接地后，再将球 A 接地，此时球 A 的电势为零。电势的变化必将引起电 荷的重新分布，以保持导体的静电平衡、不失一般性可设此时球 A 带电 qA，根据静电平衡 时导体上电荷的分布规律，可知球壳 B 内表面感应−qA，外表面带电 qA−QA。此时球 A 的电 势可表示为 0 3 A A 0 2 A 0 1 A A 4 4 4 R q Q R q R q V − + − = + 由 VA = 0 可解出球 A 所带的电荷 qA ，再由带电球面电势的叠加，可求出球 A 和球壳 B 的电 势。 解：（1）由分析可知，球 A 的外表面带电 3.0 10 C −8 ，球壳 B 内表面带电 3.0 10 C −8 − ，外 表面带电 5.0 10 C −8 。由电势的叠加，球 A 和球壳 B 的电势分别为 5.6 10 V 4 4 4 3 0 3 A B 0 2 A 0 1 A A = + + − = + R Q Q R Q R Q V 4.5 10 V 4 3 0 3 = + = R Q Q V A B B （2）将球壳 B 接地后断开，再把球 A 接地，设球 A 带电 qA，球 A 和球壳 B 的电势为 0 4 4 4 0 3 A A 0 2 A 0 1 A A = − + + − = + R Q q R q R q V 0 3 A A B 4 R Q q V − + = 解得 2.12 10 C 8 1 2 2 3 1 3 1 2 A − = + − = R R R R R R R R Q q 即球 A 外表面带电 2.12 10 C −8 ，由分析可推得球壳 B 内表面带电 2.12 10 C −8 − ，外表面带 电 0.9 10 C −8 − 。另外球 A 和球壳 B 的电势分别为 VA = 0 7.92 10 V 2 VB = − 导体的接地使各导体的电势分布发生变化，打破了原有的静电平衡，导体表面的电荷 将重新分布，以建立新的静电平衡
题84：地缘和电离层可当作球形电容器，它们之间相距约为100km,试估算地球一电离层 系统的电容。设地球与电离层之间为真空。 题84解：由于地球半径R=6打×10m；电离层率径究-1G0×0m+R=6.47x10心m,根 据球形电容器的电容公式，可得 ,R民-48×03F C=48,R-R 题85：两线输电线，其导线半径为3.26mm,两线中心相距05m,线位于地面上空很高处， 因而大地影响可以忽略。求输电线单位长度的电容 题8.5解：两输电线的电势差 U-4ind-R 。R 因此，输电线单位长度的电容 C离，a画， R R 代人数据 C-4.86xl0F 恩&6：由两块相距0.50mm的薄金属板A、B构成的空气平板电容器被屏蔽在一金属金K 内，金属盒上、下两壁与A、B分别相距0.25mm,金属板面积为30mm×40mm求：(1) 被屏蔽后电容器的电容变为原来的几倍：(2)若电容器的一个引脚不慎与金属屏蔽金相醒， 问此时的电容又为原米的几倍。 K 题86分析：薄金属板A、B与金属金一起构成三个电容器其等效电路图如图所示，由于两 导体同距离较小。电容器可视为平版电容器。通过分析等效电路图可求得A,B间的电容。： 解：(1)如图，由等效电路可知 C-C+G-C+C G+C 由于电容器可视作平版电容墨，且d,=2d=2d,故C=C,=2C,因此A,B间的 总电容 C=2C (2)若电容器的一个引脚与屏蔽盒相碰，相当于C,(或者C,)极版短接，其电容 为零，则总电容 C=C 愿&7：在A点和B点之间有5个电容器，其进接如图所示。(1)求A,B两点之间的等效 电容：(2)若A、B之间的电势差为12V,求Uc,D和a· 题8了解：《1)由电容些的串、并联，有 Cac=C+C:=12F
题 8.4：地球和电离层可当作球形电容器，它们之间相距约为 100 km，试估算地球－电离层 系统的电容。设地球与电离层之间为真空。 题 8.4 解：由于地球半径 6.37 10 m 6 R1 = ；电离层半径 1.00 10 m 6.47 10 m 6 1 5 R2 = + R = ，根 据球形电容器的电容公式，可得 4 4.58 10 F 2 2 1 1 2 0 − = − = R R R R C 题 8.5：两线输电线，其导线半径为 3.26 mm，两线中心相距 0.5 m，线位于地面上空很高处， 因而大地影响可以忽略。求输电线单位长度的电容 题 8.5 解：两输电线的电势差 R d R U − = ln 0 因此，输电线单位长度的电容 R d R d R U C 0 /ln 0 /ln − = = 代人数据 4.86 10 F −12 C = 题 8.6：由两块相距 0.50 mm 的薄金属板 A、B 构成的空气平板电容器被屏蔽在一金属盒 K 内，金属盒上、下两壁与 A、B 分别相距 0.25 mm，金属板面积为 30mm40mm 求：（1） 被屏蔽后电容器的电容变为原来的几倍；（2）若电容器的一个引脚不慎与金属屏蔽金相碰， 问此时的电容又为原来的几倍。 题 8.6 分析：薄金属板 A、B 与金属盒一起构成三个电容器其等效电路图如图所示，由于两 导体间距离较小。电容器可视为平板电容器，通过分析等效电路图可求得 A、B 间的电容。。 解：（1）如图，由等效电路可知 1 2 3 2 3 23 1 C C C C C C C C + + = + = 由于电容器可视作平板电容器，且 d1 = 2d2 = 2d3 ，故 C2 = C3 = 2C1 ，因此 A、B 间的 总电容 C = 2C1 （2）若电容器的一个引脚与屏蔽盒相碰，相当于 C2 （或者 C3 ）极板短接，其电容 为零，则总电容 C = 3C1 题 8.7：在 A 点和 B 点之间有 5 个电容器，其连接如图所示。（1）求 A、B 两点之间的等效 电容；（2）若 A、B 之间的电势差为 12 V，求 UAC、UCD 和 UDB 。 题 8.7 解：（1）由电容器的串、并联，有 CAC = C1 +C2 =12 μF
CoD=C+C=8 求得等效电容C=4F C uF C:6uF (2》由于Qx=Qu=Qw=Qu'得 6-24t CLU-4V Une"C Uo-S±U-6v Co C3=8FC,=2F CAU=2V Uoe=C 题88盖革一米粉管可用米测量电离幅射，该管的基本结构如图所示，一竿径为R的长直 导线作为一个电极，半径为：的同轴圆柱简为另一个电极。它们之间充以相对电容率6，=1 的气体。当电离粒子通过气体时，能使其电离。若两极何有电势差时，极板间有电流，从面 可测出电离粒子的数量。如以E表示半径为R的长直导线附近的电场强度。(1)求极板间 电势的关系式：(2》若后，=20×10V:m,R=0.0m,民，=200m,两极板间的电势差为 多少？ 题88解：(1)由上述分析，利用高新定理可得E2-上L, 则两极板间的电场强度 导线表面(r一R,)的电场强度 五-2s凡 两极板间的电势差 u-广E-*5 R (2)当E=20×10°V-m,及=030mm.R2=20.0mm时， U=2.52x10V 题&勿一片二氧化钛品片，其面积为1.0cm2,厚度为0.10mm。把平行平版电容器的两 级板据贴在品片两侧。(1)求电容器的电容：(2)当在电容器的两板上加如上12V电压时， 极板上的电荷为多少时，极板上的电荷为多少？此时自由电稼和极化电转的面密度各为多 少？《(3)求电容器内的电场出度 思89解：(1)查表可知二氧化钛的相对电容率6，=3，放充满此介质的平板电容器的电 容 C-6-13x0F (2)电容器加上)=12V的电压时，极板上的电荷 Q=CU-1刻xl04C 极板上白由电黄面密度为
CCD = C3 +C4 = 8 μF 求得等效电容 CAB = 4 μF （2）由于 QAC = QCD = QDB = QAB ，得 AB 4 V AC AB AC = U = C C U AB 6 V CD AB CD = U = C C U 2 V C C AB CD AB UDB = U = 题 8.8：盖革—米勒管可用来测量电离辐射。该管的基本结构如图所示，一半径为 R1 的长直 导线作为一个电极，半径为 R2 的同轴圆柱筒为另一个电极。它们之间充以相对电容率 r 1 的气体。当电离粒子通过气体时，能使其电离。若两极间有电势差时，极板间有电流，从而 可测出电离粒子的数量。如以 E1 表示半径为 R1 的长直导线附近的电场强度。（1）求极板间 电势的关系式；（2）若 2.0 10 V m , 1 0.30 mm, 2 20.0 mm 6 1 1 = = = − E R R ，两极板间的电势差为 多少？ 题 8.8 解：（1）由上述分析，利用高斯定理可得 E rL L 0 1 2 = ， 则两极板间的电场强度 r E 2 0 = 导线表面（r = R1）的电场强度 0 1 1 2 R E = 两极板间的电势差 1 2 1 1 0 d ln 2 d 2 1 2 1 R R r R E r U R R R R = = = E r （2）当 2.0 10 V m , 1 0.30 mm, 2 20.0 mm 6 1 1 = = = − E R R 时， 2.52 10 V 3 U = 题 8.9：一片二氧化钛晶片，其面积为 1.0 cm2，厚度为 0.10 mm。 把平行平板电容器的两 级板紧贴在晶片两侧。（1）求电容器的电容；（2）当在电容器的两板上加上 12 V 电压时， 极板上的电荷为多少时，极板上的电荷为多少？此时自由电荷和极化电荷的面密度各为多 少？（3）求电容器内的电场强度. 题 8.9 解：（1）查表可知二氧化钛的相对电容率 r =173 ，故充满此介质的平板电容器的电 容 1.53 10 F r 0 −9 = = d S C （2）电容器加上 U =12 V 的电压时，极板上的电荷 1.84 10 C −8 Q = CU = 极板上自由电荷面密度为
a,-号-184x10Cm 品片表面极化电程密度 -}=18wca (3)晶片内的电场强度为 s号 12x10V.m 题810仙如图所示，半径R=0.10m的导体球带有电荷Q=1.0×10C,等体外有两层均匀 介概，一层介质的￡一50，厚度d-00m,另一层介质为空气，充满其余空间。求：(1) 离球心为r=5cm、15cm,25em处的D和E(2)离球心为r=5cm,15cm,25cm处 的V1(3)极化电荷面密度x。 题810分析：带电球上的白由电荷均匀分布在导体球表面，电介质的极化电背也均匀分布 在介质的球形界面上。因面介质中的电场是球对称分布的 任取同心球面为高斯面，电位移矢量D的通量只与自由电荷分布有关，因此在高斯面 D上显均匀对称分布，由高断定理手D-dS=∑。可得D）再由E-Dc5,可得E): 介质内电势的分布，可由电势和电场强度的积分关系V一广￡d山求得，暖者由电势量 加原理求得。 极化电荷分泰在均匀介质的表面。其极化电荷体面密度=尸· 解：(1)取半径为r的同心球面为高斯面，由高斯定理得 rRd,D402-0 4重r 将不同的r值代人上述两式，可得r-5cm.15cm和 25cm时的电位移和电场强度的大小。其方向均沿径向朝 外。n=5©m:该点在导体球内，则 D。=aE、=0 n=15m,该点在介质层内，6，=50，则
4 2 0 1.84 10 C m − − = = S Q 晶片表面极化电荷密度 4 2 0 0 1.83 10 C m 1 1 − − = = − r （3）晶片内的电场强度为 5 1 1.2 10 V m − = = d U E 题 8.10：如图所示，半径 R = 0.10 m 的导体球带有电荷 1.0 10 C −8 Q = ，导体外有两层均匀 介质，一层介质的 r = 5.0 ，厚度 d = 0.10 m ，另一层介质为空气，充满其余空间。求：（1） 离球心为 r = 5 cm、15 cm、25 cm 处的 D 和 E；（2）离球心为 r = 5 cm、15 cm、25 cm 处 的 V；（3）极化电荷面密度 。 题 8.10 分析：带电球上的自由电荷均匀分布在导体球表面，电介质的极化电荷也均匀分布 在介质的球形界面上，因而介质中的电场是球对称分布的 任取同心球面为高斯面，电位移矢量 D 的通量只与自由电荷分布有关，因此在高斯面 D 上呈均匀对称分布，由高斯定理 D dS = q0 可得 D(r) 再由 r E = D 0 可得 E(r)。 介质内电势的分布，可由电势和电场强度的积分关系 = r V E dl 求得，或者由电势叠 加原理求得。 极化电荷分布在均匀介质的表面，其极化电荷体面密度 = Pn 。 解：（1）取半径为 r 的同心球面为高斯面，由高斯定理得 4 0 2 r R D1 r = D1 = 0； E1 = 0 R r R + d D r = Q 2 ， 2 4 2 0 r 2 2 2 4 4 r Q E r Q D = ； = r R + d D r = Q 2 ， 3 4 2 0 3 2 3 4 4 r Q E r Q D = ； = 将不同的 r 值代人上述两式，可得 r = 5 cm、15 cm 和 25 cm 时的电位移和电场强度的大小，其方向均沿径向朝 外。r1 = 5 cm，该点在导体球内，则 0 0 1 1 Dr = ；Er = r2 = 15 cm，该点在介质层内， r = 5.0 ，则
D.2 =55x104C-m3 面月 =80×10'Vm n-25cm,该点在空气层内，空气中e=品，则 品 =l3×04Cm a-2三-1.4w0wm4 (2)取无穷运处电势为零，由电势与电场强度的积分美系得 55m5-店品0V 515cm片-Ed+5山 e5国6R+可4a,R+可物V 5-5cm-jE山+山 4kR4R+可R+d50V (3)均匀介质的极化电荷分布在介质界面上，因空气的电容率一，极化电荷可忽略。 放在介质外表面：几-火品， G-P-_ s-2 -1.6x10+C:m2 4m,(R+dy 在介质内表面：尺-低-k,尽一仁-是 4,R g-R-g-2.64x10Cm2 4冠， 介质球壳内、外表而的极化电荷面密度虽然不同，1是两表面极化电税的总量还是等量 异号， 题8山：一平板电容充电后极板上电荷面密度为a。=4.5×0~C,m°。现将两极板与电源断 开，然后再把相对电容率为6，=2.0的电介质插人两极板之间。此到电介质中的D、E和P 各为多少？ 题8.1解：介质中的电位移矢量的大小 D、Q =m,=45x10°C-m AS 介质中的电场强度和极化强度的大小分别为 E=2-25x10Vm P-D-6,E-23x10°Cm
3 1 2 0 r r 8 2 2 2 r 8.0 10 V m 4 3.5 10 C m 4 2 2 − − − = = = = r Q E r Q D r3 = 25 cm，该点在空气层内，空气中 0 ，则 3 1 2 0 r3 8 2 2 0 3 r3 1.4 10 V m 4 1.3 10 C m 4 − − − = = = = r Q E r Q D （2）取无穷远处电势为零，由电势与电场强度的积分关系得 360 V 4 25 cm, d 2 0 3 3 3 1 = = = = r Q r V r E r ( ) ( ) 480 V 4 4 4 15 cm, d d 0 r 2 0 r 0 2 2 2 3 2 = + + + = − = = + + + R d Q R d Q r Q r V R d R d r E r E r ( ) ( ) 540 V 4 4 4 5 cm, d d 0 r 0 r 0 1 1 2 3 = + + + = − = = + + + R d Q R d Q R Q r V R d R d R E r E r （3）均匀介质的极化电荷分布在介质界面上，因空气的电容率 0 = ，极化电荷可忽略。 故在介质外表面； ( ) ( ) ( ) 2 r r n r 0 n 4 1 1 R d Q P E + − = − = ( ) ( ) 8 2 2 r r n 1.6 10 C m 4 1 − − = + − = = R d Q P 在介质内表面： ( ) ( ) 2 r r n r 0 n 4 1 1 R Q P E − = − = ( ) 8 2 2 r r n 6.4 10 C m 4 1 − − = − − = − = − R Q P 介质球壳内、外表面的极化电荷面密度虽然不同，但是两表面极化电荷的总量还是等量 异号。 题 8.11：一平板电容充电后极板上电荷面密度为 3 2 0 4.5 10 C m − − = 。现将两极板与电源断 开，然后再把相对电容率为 r = 2.0 的电介质插人两极板之间。此时电介质中的 D、E 和 P 各为多少？ 题 8.11 解：介质中的电位移矢量的大小 5 2 0 4.5 10 C m − − = = = S Q D 介质中的电场强度和极化强度的大小分别为 6 1 0 r 2.5 10 V m − = = Q E 5 2 0 2.3 10 C m − − P = D − E =
D、P、E方向相月，均由正极板指向负极板（图中垂直向下）. 题812：在一半径为R的长直导线外，套有氯丁橡胶绝蜂护套，护套外半径为风，相对电 容率为G,·设沿轴线单位长度上，导线的电荷密度为A。试求介质层内的D、E和P。 恩812解：由介质中的高斯定理，有 fD.d$D.2w1.=l 得0=名 在均匀各向月性介质中 E=D=A EoE 2Er 0-- 恩&13：设有两个簿导体月心球壳A与B,它门的半径分别为R=10m与=20cm,并 分别带有电荷-4.0×10C与10×10”C,球壳间有两层介质内层介质的G:-40,外层介质 的：a=2.0,其分界面的半径为R■15cm,球壳B外为空气，求(1)两球间的电势差U (2)离球心30cm处的电场强度：(3)球A的电号. 题813分析，自由电荷和极化电荷均匀分布在球面上。电场经球对称分布。取同心球面为 高斯面，根据介质中的高斯定理可求得介质中的电场分布。 由电势差和电场度的积分关系可求得两导体球壳何的电势差，由干电荷分布在有限空 间，通常取无穷运处为零电势，则A球壳的电势 V.-SE-d 解：(1)由介顺中的高斯定理，有 fD.ds-D.4o-. 得D=D= ure ￡-.g fat. RcrcR 64e,66 R <r<R 两球壳间的电势差 U-E--E-+E- 6R凡4需，元元 (2)同理由高斯定理可得 E,=g±g。,=60x10'gVm 4 (3)取无穷运处电势为零，则
D、P、E 方向相同，均由正极板指向负极板（图中垂直向下）。 题 8.12：在一半径为 R1 的长直导线外，套有氯丁橡胶绝缘护套，护套外半径为 R2 ，相对电 容率为 r 。设沿轴线单位长度上，导线的电荷密度为 。试求介质层内的 D、E 和 P。 题 8.12 解：由介质中的高斯定理，有 = D rL = L D dS 2 得 r 2 D e r = 在均匀各向同性介质中 r 0 r 2 0 r e D E r = = r r 0 2 1 P D E 1 e r = − = − 题 8.13：设有两个薄导体同心球壳 A 与 B，它们的半径分别为 R1 = 10 cm 与 R3 = 20 cm，并 分别带有电荷 4.0 10 C −8 − 与 1.0 10 C −7 。球壳间有两层介质内层介质的 r1 = 4.0 ，外层介质 的 r2 = 2.0 ，其分界面的半径为 R2 = 15 cm。球壳 B 外为空气。求（1）两球间的电势差 UAB； （2）离球心 30 cm 处的电场强度；（3）球 A 的电势。 题 8.13 分析：自由电荷和极化电荷均匀分布在球面上。电场呈球对称分布。取同心球面为 高斯面，根据介质中的高斯定理可求得介质中的电场分布。 由电势差和电场强度的积分关系可求得两导体球壳间的电势差，由于电荷分布在有限空 间，通常取无穷远处为零电势，则 A 球壳的电势 = A V E dl A 解：（1）由介质中的高斯定理，有 1 2 D dS = D 4r = Q 得 r r Q D D e 2 1 1 2 4 = = 2 r 1 2 0 r1 1 0 r1 1 1 4 R r R r Q = = e D E 2 r 2 3 0 r2 1 0 r2 2 2 4 R r R r Q = = e D E 两球壳间的电势差 + − = − = = + 0 r 2 2 3 1 0 r 1 1 2 1 A B 1 2 1 1 4 1 1 4 d d d 3 2 2 1 3 1 R R Q R R Q U R R R R R R E l E l E l （2）同理由高斯定理可得 1 r 3 2 r 0 1 2 3 6.0 10 V m 4 − = + E = e e r Q Q （3）取无穷远处电势为零，则
K=Ue+6,-W=U+g=21x0'v 45i 愿814：如图所示，球形电极浮在相对电容率为&=30的油槽中。球的一半浸没在油中， 另一率浸入在油中，另一半在空气中。已知电极所带净电荷2-20×10C。问球的上、下 部分各有多少电荷？ 题&14分析：我们可以将导体球理解为两个分别瑟浮在 油和空气中的半球形弧立容墨，静电平衡时导体球上的 电将分布使导体成为等劳体，故可将导体球等效为两个 半球电容并联。其相对无限远处的电势均为V,且 r-2-2 (1) CC 另外导体球上的电荷总量保特不变。应有 d+0-2. (2) 因而可解得Q,公 解：将导体球看作两个分别悬浮在油和空气中的半球形孤立电容器，上 半球在空气中，电容为 C=2w R 下率球在油中，电容为 C3=2w6,R 由分析中式(1)和式(2)可解得 "6+2-00x0→C g=c0=0=1swc 由于导体球圆围部分区域充满介质，球上电背均匀分布的状态将改变。可以证明，此时介质 中的电场强度与真空中的电场强度也不再满足￡一三的关系。事实上，只有当电介质均匀 充满整个电场，并且自由电荷分布不变时。才满足E=马 题815：有一个空气平极电容器，极版面积为S,间距为d。现将该电容器接在端电压为U 的电源上充电，当(1)充足电后：(2)燃后平行插入一而积相同、厚度为8<d)、相对 电容率为&，的电介质板：(3)将上述电介质换为同样大小的导体板，分别求电容器的电容C 极板上的电荷Q和极板何的电场强皮E。 题&15分析，电源对电容器充电，电容器极板间的电势差等于电源端电压U山，插入电介质 后，由于介质界面出现极化电葡，极化电荷在介质中激发的电场与原电容暑极板上自由电荷 藏发的电场方向相反，介质内的电场减写。由于极版间的距离不变，因而与电源相接的导 体极板将会从电源孩得电荷，以维持电劳差不变，并有 U=gd-+。6 56S 相类似的原因，在平板电容器极板之间，若平行地桶入一块导体板，由于极板上的自由
2.1 10 V 4 d 3 0 r 1 1 2 A AB 3 AB = + = + = + Q Q V U U B E l 题 8.14：如图所示，球形电极浮在相对电容率为 r = 3.0 的油槽中。球的一半浸没在油中， 另一半浸入在油中，另一半在空气中。已知电极所带净电荷 2.0 10 C 6 0 − Q = 。问球的上、下 部分各有多少电荷？ 题 8.14 分析：我们可以将导体球理解为两个分别悬浮在 油和空气中的半球形孤立容器，静电平衡时导体球上的 电荷分布使导体成为等势体，故可将导体球等效为两个 半球电容并联，其相对无限远处的电势均为 V，且 2 2 1 1 C Q C Q V = = （1） 另外导体球上的电荷总量保持不变，应有 1 2 0 Q + Q = Q （2） 因而可解得 Q1、Q2. 解 ： 将导体球看作两个分别悬浮在油和空气中的半球形孤立电容器，上 半球在空气中，电容为 C1 = 2 0R 下半球在油中，电容为 C2 = 2 0 rR 由分析中式（1）和式（2）可解得 0.50 10 C 1 1 6 0 r 0 1 2 1 1 − = + = + = Q Q C C C Q 1.5 10 C 1 6 0 r r 0 1 2 2 2 − = + = + = Q Q C C C Q 由于导体球周围部分区域充满介质，球上电荷均匀分布的状态将改变。可以证明，此时介质 中的电场强度与真空中的电场强度也不再满足 r 0 E E = 的关系。事实上，只有当电介质均匀 充满整个电场，并且自由电荷分布不变时，才满足 r 0 E E = . 题 8.15：有一个空气平极电容器，极板面积为 S，间距为 d。现将该电容器接在端电压为 U 的电源上充电，当（1）充足电后；（2）然后平行插入一面积相同、厚度为 ( d ) 、相对 电容率为 r 的电介质板；（3）将上述电介质换为同样大小的导体板。分别求电容器的电容 C， 极板上的电荷 Q 和极板间的电场强度 E。 题 8.15 分析：电源对电容器充电，电容器极板间的电势差等于电源端电压 U。插入电介质 后，由于介质界面出现极化电荷，极化电荷在介质中激发的电场与原电容器极板上自由电荷 激发的电场方向相反，介质内的电场减弱。由于极板间的距离 d 不变，因而与电源相接的导 体极板将会从电源获得电荷，以维持电势差不变，并有 ( ) S Q d S Q U 0 0 r = − + 相类似的原因，在平板电容器极板之间，若平行地插入一块导体板，由于极板上的自由
电葡和辅人导体板上的感应电背在导体板内激发的电场相互抵清，与电源相接的导体极板将 会从电源获得电背，使间限中的电场￡增登，以锥特两极板间的电势差不变，并有 U=C(d-8) 综上所述，接上电源的平板电容器，插人介质或导体后，极版上的自由电荷均会增如， 而电势差保持不变。 解：()空气平板电容器的电容 9.5 d 充电后，极板上的电黄和极版间的电场强度为 Q=5Sv d 6号 (2》插入电介顺后，电容墨的电容CG为 c.-of00-8)+-2-8 55S 8,E.56+8.d-6 益有 g-C0- E.SU 8+Ed-8 介颜内电场强度 -9 “5+日-可 空气中的电场强度 6是0-雨 (3》插人导体达到静电平衡后，导体为等势体，其电容和极板上的电荷分别为 G高 a=器 导体中的电场强度￡-0 空气中的电场强度后，”-石 U 题816：如图所示，在平板电容器中填入两种介质，每种介质各占一半体积，试证其电容为 C.55+5a d 2 题86证1：将此电容器程为极版面积均为$2，分别充柄相对电容率为C,和8，的电介质 的两个平板电容器并联，则 C=G+G=5+5.53+ 2d 2d d 2 证2：假设电容器极板上带电荷Q,则由于电容器两侧所填充的电介质的电容率不同，故导 体极板上自由电荷的分布不均匀。设介质1侧导体极板蒂电荷Q,介质川侧导体极板带电
电荷和插人导体板上的感应电荷在导体板内激发的电场相互抵消，与电源相接的导体极板将 会从电源获得电荷，使间隙中的电场 E 增强，以维持两极板间的电势差不变，并有 ( ) = d − S Q U 0 综上所述，接上电源的平板电容器，插人介质或导体后，极板上的自由电荷均会增加， 而电势差保持不变。 解：（l）空气平板电容器的电容 d S C 0 0 = 充电后，极板上的电荷和极板间的电场强度为 U d S Q 0 0 = d U E0 = （2）插入电介质后，电容器的电容 C1 为 ( ) ( ) + − = = − + d S S Q d S Q C Q r 0 r 0 0 r 1 / 故有 ( ) + − = = d SU Q C U r 0 r 1 1 介质内电场强度 + ( − ) = = d U S Q E 0 r r 1 1 空气中的电场强度 ( ) + − = = d U S Q E r r 0 1 1 （3）插人导体达到静电平衡后，导体为等势体，其电容和极板上的电荷分别为 − = d S C 0 2 U d S Q − = 0 2 导体中的电场强度 E0 = 0 空气中的电场强度 − = d U E2 题 8.16：如图所示，在平板电容器中填入两种介质，每种介质各占一半体积，试证其电容为 2 0 r1 r 2 d S C + = 题 8.16 证 1：将此电容器视为极板面积均为 S 2 ，分别充满相对电容率为 r1 和 r2 的电介质 的两个平板电容器并联，则 2 2 2 0 r1 0 r2 0 r1 r2 1 2 + = + = + = d S d S d S C C C 证 2：假设电容器极板上带电荷 Q，则由于电容器两侧所填充的电介质的电容率不同，故导 体极板上自由电荷的分布不均匀。设介质Ⅰ侧导体极板带电荷 Q1，介质Ⅱ侧导体极板带电