领十六章相对论 思161：设S系以速率￥一06Dc相对于S系沿x轴运动，且在t-t-0时，x==0.(1》 若有一事件，在S系中发生于1=2.0×10？3x=50m处，该事件在S系中发生于何时刻？ (2)如有另一事件发生于s系中1-3.0×107s,x=10m处，在8系中测得这两个事件的 时句向隔为多少 思16.1解：(1)由洛伦弦变族可得S系的观察者测得第一事件发生的时刻为 '= ==125×l0-7s 1-m2/ (2》问理，第二个事件发生的时刻为 2'- -35×10-'8 1-2/c2 所以。在S系中两事件的时间间隔为 W--'-225×07s 题162：设有两个参考系5和S,它们的原点在r=0和=0时重合在一起，有一事件，在S 系中发生在了-8.D×10多，x-60m,y-0,-0处，若g系相对于S系以生率￥一Dc 沿轴运动，问该事件在S系中的时空坐标各为多少？ 思16.2解：由洛伦兹边变换得该事件在S系的时空坐标分判为 I'+Fr =3道 1-r2/e2 3y=y=0 8='=0 17e-25x10's f= 思163：一列火车长030km(火车上观察者测得)，以100km的速度行驶，地面上和泰 者发现有两个闪电同时击中火车的前后两瑞。问火车上的观黎者测得两闪电击中火车前后两 端的时问间隔为多少？ 题163解：设地面为s系，火车为5系，把闪电击中火车前后端视为两个事件〔即两组不同 的时空坐标)。出山洛伦兹变族可得两事件时间间隔为
第十六章相对论 题 16.1：设 S' 系以速率 v = 0.60c 相对于 S 系沿 xx' 轴运动，且在 t =t' = 0 时， x = x' = 0 。（1） 若有一事件，在 S 系中发生于 t = 2.0×10－7 s，x = 50 m 处，该事件在 S' 系中发生于何时刻？ （2）如有另一事件发生于 S 系中 t = 3.0×10－7 s，x = 10 m 处，在 S′系中测得这两个事件的 时间间隔为多少？ 题 16.1 解：（1）由洛伦兹变换可得 S′系的观察者测得第一事件发生的时刻为 1.25 10 s 1 / ' 7 2 2 1 2 1 1 − = − − = v c x c v t t （2）同理，第二个事件发生的时刻为 3.5 10 s 1 / ' 7 2 2 2 2 2 2 − = − − = v c x c v t t 所以，在 S′系中两事件的时间间隔为 ' ' ' 2.25 10 s 7 1 2 − t = t −t = 题 16.2：设有两个参考系 S 和 S′，它们的原点在 t = 0 和 t′ = 0 时重合在一起。有一事件，在 S′ 系中发生在 t′ = 8.0×10−8 s，x′ = 60 m，y′ = 0，z′ = 0 处，若 S′系相对于 S 系以速率 v = 0.6c 沿 xx′轴运动，问该事件在 S 系中的时空坐标各为多少？ 题 16.2 解：由洛伦兹逆变换得该事件在 S 系的时空坐标分别为 93 m 1 / ' ' 2 2 = − + = v c x vt x y = y' = 0 z = z' = 0 2.5 10 s 1 / ' ' 7 2 2 2 − = − + = v c x c v t t 题 16.3：一列火车长 0.30 km（火车上观察者测得），以 100 km/h 的速度行驶，地面上观察 者发现有两个闪电同时击中火车的前后两端。问火车上的观察者测得两闪电击中火车前后两 端的时间间隔为多少？ 题 16.3 解：设地面为 S 系，火车为 S′系，把闪电击中火车前后端视为两个事件（即两组不同 的时空坐标）。由洛伦兹变换可得两事件时间间隔为
a,-4'+是x,-x 6-4= -(1 1-2fe %-动 63-4= (2) 1-v21e2 利用这两式都可以和到结果。 解法：由卷意闪电在S系中的时间间隔山=口一1=0。两事件在S系中的空间间侧即火车 的K度为4x'='-x'=030×103m。则由(1)式可得 r-41-96x10 负号说引火车上的观察者测得闪电先击中车头数处。 解法2：可利用(2)式求解，此时应注总式中-！为地面观察者测得两事件的空间间隔， 即5系种测得的火车长度，面不是火车原长，限据长度收缩效应有名-号-化-（日 考感这一关系由(2)式可得 44=-26,-=-926×10-"g 结果与解法1相问，相比之下解法1较简单，这是因为解法1中直接利川了2-1=03km 这一已知条件。 思16：在惯性扇S中，某事件A发生在知处，20×10s后，另一事件B发生在粒处， 已知-角一300m.间：(1)能否找到一个相时5系作匀速直线运动的参考系S,在S系中， 两事件发生在同一鬼点？(2)在S系中，上述两事件的时间间隔为多少？ 愿164解：设慨性系S'以速度r相对S系沿x轴正向运动，因在S系中两事件的时空坐标已 知，由洛伦兹时空变换式，可得 -,=-)-- 1-w2/c -4- 6-高) -4-一 i-vic (1)令2-x'=0,由式(1)可得 p--4-150×10'ms-0.50c -4 (2)将￥值代入式(2).可得
2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 / ( ' ') ( ' ') v c x x c v t t t t − − + − − = （1） 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 / ( ) ( ) ' ' v c x x c v t t t t − − − − − = （2） 利用这两式都可以得到结果。 解法 1：由题意闪电在 S 系中的时间间隔t = t2 − t1 = 0。两事件在 S′系中的空间间隔即火车 的长度为Δx′ = x2′ − x1′ = 0.30 103 m。则由（1）式可得 ' ' ' ( ' ') 9.26 10 s 14 2 1 2 2 1 − = − = − x −x = − c v t t t 负号说明火车上的观察者测得闪电先击中车头 x2′ 处。 解法 2：可利用（2）式求解，此时应注意式中 x2−x1 为地面观察者测得两事件的空间间隔， 即 S 系中测得的火车长度，而不是火车原长。根据长度收缩效应有 2 2 1 ( 2 ' 1 ') 1 − = − − c v x x x x 考虑这一关系由（2）式可得 ' ' ( ' ') 9.26 10 s 14 2 1 2 2 1 − − = − x −x = − c v t t 结果与解法 1 相同，相比之下解法 1 较简单，这是因为解法 1 中直接利用了 x2−x1 = 0.3 km 这一已知条件。 题 16.4：在惯性系 S 中，某事件 A 发生在 x1 处，2.0 10−6 s 后，另一事件 B 发生在 x2 处， 已知 x2−xl = 300 m。问：（1）能否找到一个相对 S 系作匀速直线运动的参考系 S′，在 S′系中， 两事件发生在同一地点？（2）在 S′系中，上述两事件的时间间隔为多少？ 题 16.4 解：设惯性系 S′以速度 v 相对 S 系沿 x 轴正向运动，因在 S 系中两事件的时空坐标已 知，由洛伦兹时空变换式，可得 2 2 2 1 2 1 2 1 1 / ( ) ( ) ' ' v c x x v t t x x − − − − − = 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 / ( ) ( ) ' ' v c x x c v t t t t − − − − − = （1）令 x2 '−x1 ' = 0 ，由式（1）可得 c t t x x v 1.50 10 m/s 0.50 8 2 1 2 1 = = − − = （2）将 v 值代入式（2），可得
VX:-X1 c1-h 4-4'= =6-W1-2/c 1-v2/e2 -173xl05s 这表明在S'弱中事件A先发生 愿1（设想有一粒子以0050的速辛相对实验室参考系运动。此粒子襄变时发射一个电子， 电子的这率为0.80，电子速度的方向与粒子运动方向相同。试求电子相对实验空参考系的速 度。 愿165解：由洛伦兹速度逆变澆式可斜电子相对S系的遮度为 ,=“p=0.817e 1+二 愿1饭6设在学航飞船中的夏察者测得粒离它而去的航天器相对它的速度为12×10m。 同时，航天器发射一枚空问火箭。航天器中的观察者测得此火箭相对它的速度为10×10 m。问：()此火能相对宁航飞船的速度为多少？(2)如果以藏光光束米替代空间火箭， 此意光光束相对字航飞船的速度又为多少？请将上述结果与们利略速度变换所得结果相比 较，并理解光速是运动体的极慰过度。 思1616解：设字航飞船为S系，航天器为s系，则S系相对S系的速度￥-12×10ms, 空间火情相对航天鉴的速度为，一1.0×0ms',煮光束相对航 天器的这度为光述c. 由洛伦兹变换可得： (1)空间火箭相对S系的速度为 ,=“p=1.94×i0mg 1+工d C: (2)激光来相对S系的速度为 I,=-C+ -= 1+ Cz 即激光袁相对宇航飞船的速度仍为光速，这是光速不变平所预料的。如用们利略变筷，则 有4。=c+r3c 这表明对们利略变换面言，运动物体没有极限速度，阳对相对论的洛伦兹变换米说，光 速是运动物体的极限速度
( ) 1.73 10 s ( ) 1 / 1 / 1 ' ' 6 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 − = = − − − − − − − − = t t v c v c t t x x c v t t t t 这表明在 S′系中事件 A 先发生 题 16.5：设想有一粒子以 0.050c 的速率相对实验室参考系运动。此粒子衰变时发射一个电子， 电子的速率为 0.80c，电子速度的方向与粒子运动方向相同。试求电子相对实验室参考系的速 度。 题 16.5 解：由洛伦兹速度逆变换式可得电子相对 S 系的速度为 c u c v u v u 0.817 1 ' ' x 2 x x = + + = 题 16.6：设在宇航飞船中的观察者测得脱离它而去的航天器相对它的速度为 1.2 108 m/si。 同时，航天器发射一枚空间火箭，航天器中的观察者测得此火箭相对它的速度为 1.0 108 m/si。问：（l）此火箭相对宇航飞船的速度为多少？（2）如果以激光光束来替代空间火箭， 此激光光束相对宇航飞船的速度又为多少？请将上述结果与伽利略速度变换所得结果相比 较，并理解光速是运动体的极限速度。 题 16.16 解：设宇航飞船为 S 系，航天器为 S′系，则 S′系相对 S 系的速度 v = 1.2 108 m/s， 空间火箭相对航天器的速度为 8 1 x ' 1.0 10 m s − u = ，激光束相对航 天器的速度为光速 c。 由洛伦兹变换可得： （1）空间火箭相对 S 系的速度为 3 1 x 2 x 1.94 10 m s 1 ' ' − = + + = u c v u v ux （2）激光束相对 S 系的速度为 c c c v c v ux = + + = 2 1 即激光束相对宇航飞船的速度仍为光速 c，这是光速不变原理所预料的。如用伽利略变换，则 有 u = c + v c x 。 这表明对伽利略变换而言，运动物体没有极限速度，但对相对论的洛伦兹变换来说，光 速是运动物体的极限速度
题167：在惯性系s中观黎到有两个事件发生在可一地点，其时间问隔为4.D5,从另一债性 系S中观察到这两个事件的时间间隔为60$，试问从S:系测量到这两个事件的空间间隔是多 少？设S系以恒定速卓相对S系沿轴运动， 题167解：由逐意知在S系中的时问间侧隔为周有时，即△t一405，而△一608。根据时间 缓效应的关系式 /'- 1-21c 可符8系相对5系的速度为 两事件在S系中的空间间隔为 Ar==1.34×10m 恶168：在惯性系S中，有两个事件同时发生在x轴上相距为1.0×103血的两处，从惯性 系S礼测到这两个事件相便为2.0×103m,试间由S系测得此两事件的时间间隔为多少？ 思168解：设此两事件在S系中的时空坐标为（五，0,0，》和(2,0.0，），且有 :-名=10×10m,12-41=0。而在$系中，此两事件的时空坐标为(1,0.0，了，)和 (:.0.0,12)·且3-x1-20×10m·根据洛伦兹变换。有 -=--%-) (1) V1-v2/c2 %-之- 3-l'= (2) 1-v21c2 由式(I)可得 将r值代人式(2，可得 k2l-5.77x10s 愿16为若从一惯性弱中测得学宙飞船的长度为其固有长度的一半，试问宇宙飞船相对此惯 性系的遮度为多少？（以光速表示） 愿169解，设宇由飞船的固有长度为。，它相对于惯性系的速率为，面从比情性系测得宇字 宙飞船的长度为2，根据洛伦莖长度收缩公式，有
题 16.7：在惯性系 S 中观察到有两个事件发生在同一地点，其时间间隔为 4.0 s，从另一惯性 系 S 中观察到这两个事件的时间间隔为 6.0 s，试问从 S′系测量到这两个事件的空间间隔是多 少？设 S′系以恒定速率相对 S 系沿 xx' 轴运动。 题 16.7 解：由题意知在 S 系中的时间间隔为固有时，即Δt = 4.0 s，而Δt′ = 6.0 s。根据时间 延缓效应的关系式 2 2 1 / ' v c t t − = 可得 S′系相对 S 系的速度为 c c t t v 3 5 ' 1 2 1 2 = = − 两事件在 S′系中的空间间隔为 ' ' 1.34 10 m 9 x = vt = 题 16.8：在惯性系 S 中，有两个事件同时发生在 xx' 轴上相距为 1. 0 103 m 的两处，从惯性 系 S′观测到这两个事件相距为 2. 0 103 m，试问由 S′系测得此两事件的时间间隔为多少？ 题 16.8 解：设此两事件在 S 系中的时空坐标为（xl, 0, 0, t1）和（x2, 0, 0, t2），且有 1.0 10 m 2 1 0 3 x2 − x1 = ，t −t = 。而在 S′系中，此两事件的时空坐标为 ( ' 0, 0, ' ) 1 1 x ， t 和 ( ' , 0, 0, ' ) 2 2 x t ，且 ' ' 2.0 10 m, 3 x2 −x1 = ，根据洛伦兹变换，有 2 2 2 1 2 1 2 1 1 / ( ) ( ) ' ' v c x x v t t x x − − − − − = （1） 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 / ( ) ( ) ' ' v c x x c v t t t t − − − − − = （2） 由式（1）可得 c c x x x x v 2 3 ( ' ') ( ) 1 2 1 2 2 1 2 2 1 = − − = − 将 v 值代人式（2），可得 ' ' 5.77 10 s 6 2 1 − t −t = 题 16.9：若从一惯性系中测得宇宙飞船的长度为其固有长度的一半，试问宇宙飞船相对此惯 性系的速度为多少？（以光速 c 表示） 题 16.9 解：设宇宙飞船的固有长度为 0 l ，它相对于惯性系的速率为 v，而从此惯性系测得宇 宙飞船的长度为 l 0 2 ，根据洛伦兹长度收缩公式，有
可解得 c=0.86c 2 思161一周有长度为40m的物体，若以速率060c沿x轴机对某惯性系运动，试问从遂 债性系来测量，此物体的长度为多少 题1610解：由洛伦弦长度收缩公式 .1 Y- =32m 题1611：举人马星座a星是离太阳系最近的恒星，它距地球为4.3×10sm。设有一字市飞 始自地球往运于半人马星座▣星之间.(1)若字宙飞船的逸率为0.99，按地球上时钟计算， 飞船往返一次需多少时间？(2)如以飞船上时钟计算，往返一次的时间又为多少？ 思16.11解：(1)以地球上的时钟计算，飞船往运一次的时阿问隔为 M-2-287x10*x*90a (2)以飞船上的时钟计算，飞船往返次的时间间隔为 A-A- -1.28×10s040a Vc2 思16，I2:若一电子的总能量为5.0MeV,求该电子的静能、动能、动量和这率。 题16.12解：电子静能为 E,=me2=0512MeV,(m=9.1×10-1g】 电子动能为 Ex=E-E。-44sMeV 由E2-pc2+E。,得电子动量为 p--(E2-E)的-266x0gms 曲E= 可得电子速*为
2 0 0 1 2 1 = − c v l l 可解得 v c 0.866c 2 3 = = 题 16.10：一固有长度为 4.0 m 的物体，若以速率 0.60c 沿 x 轴相对某惯性系运动，试问从该 惯性系来测量，此物体的长度为多少？ 题 16.10 解：由洛伦兹长度收缩公式 1 3.2 m 2 0 0 = = − c v l l 题 16.11：半人马星座 星是离太阳系最近的恒星，它距地球为 4.3×1016 m。设有一宇宙飞 船自地球往返于半人马星座 星之间。（1）若宇宙飞船的速率为 0.999C，按地球上时钟计算， 飞船往返一次需多少时间？（2）如以飞船上时钟计算，往返一次的时间又为多少？ 题 16.11 解：（1）以地球上的时钟计算，飞船往返一次的时间间隔为 2.87 10 9.0 a 2 8 = = s v s t （2）以飞船上的时钟计算，飞船往返一次的时间间隔为 ' 1 1.28 10 s 0.40 a 7 2 2 = − = c v t t 题 16.12：若一电子的总能量为 5.0 MeV，求该电子的静能、动能、动量和速率。 题 16.12 解：电子静能为 0.512 MeV, ( 9.1 10 kg) 31 0 2 0 0 − E = m c = m = 电子动能为 EK = E − E0 = 4.488 MeV 由 2 0 2 2 2 E = p c + E ，得电子动量为 2 1 2 21 1 0 2 ( ) 2.66 10 kg m s 1 − − = E − E = c p 由 1 2 2 2 0 1 － = − c v E E 可得电子速率为
E-} =0995c 思1613：一被加速器如速的电子，其能量为3.00×10°eV。试问：(1》这个电子的质量是 其静质量的多少倍？(2)这个电子的速率为多少？ 题1613解：(1)由相对论质能关系E=2和E。-m,c可得电子的动质量m与静质量陶 之比为 ME E -586×103 》由时论须关系式=个-引 可解得 c-0.999999985c 可鬼此时的电子速率已十分接近光速了 题161在电子偶的溼没过程中，一个电子和一个正电子相碰撞而消失，并产生电磁招射. 假定正负电子在潭没前均静止，由此估算细射的总能量。 思16.14解：辐射总能量为 E=2mc2=1.64×10-J=1.位MeV 画1615如果将电子由静止加速到速率为0.10c,需对它作多少功？如将电子由速本为0.80c 加速到0.0c,又需对它作多少功？ 愿16，I5解：由相对论性的动能表达式和领速关系可得当电子速率从增加到性 时，电子动能的滑量为 △E=E-E1=(mc-mc-(mc2-mc】 w-- 极据动能定理，当1=0。以=010c时，外力所作的功为 W-E-2.58×103eV 当r1=0.80e,2=0.0c时，外力所指的功为 W"=△E=3.21×10'eV
c E E E v c 0.995 1 2 2 2 0 2 = − = 题 16.13：一被加速器加速的电子，其能量为 3. 00 109 eV。试问：（1）这个电子的质量是 其静质量的多少倍？（2）这个电子的速率为多少？ 题 16.13 解：（1）由相对论质能关系 2 E = mc 和 2 0 0 E = m c 可得电子的动质量 m 与静质量 m0 之比为 3 2 0 0 0 = = = 5.8610 m c E E E m m （2）由相对论质速关系式 1 2 2 2 0 1 － = − c v m m 可解得 c c m m v 1 0.999999985 1 2 2 0 = = − ， 可见此时的电子速率已十分接近光速了 题 16.14：在电子偶的湮没过程中，一个电子和一个正电子相碰撞而消失，并产生电磁辐射。 假定正负电子在湮没前均静止，由此估算辐射的总能量 E。 题 16.14 解：辐射总能量为 2 1.64 10 J 1.02 MeV 2 13 = 0 = = − E m c 题 16.15：如果将电子由静止加速到速率为 0.10c，需对它作多少功？如将电子由速率为 0.80 c 加速到 0.90c，又需对它作多少功？ 题 16.15 解：由相对论性的动能表达式和质速关系可得当电子速率从 v1 增加到 v2 时，电子动能的增量为 − − = − = − = − − − 1 2 2 1 1 2 2 2 2 0 2 0 2 1 2 0 2 k k 2 k 1 2 1 1 ( ) ( ) － － c v c v m c E E E m c m c m c m c 根据动能定理，当 v1 = 0， v2 = 0.10c 时，外力所作的功为 2.58 10 eV 3 W = Ek = 当 v1 = 0.80c，v2 = 0.90c 时，外力所作的功为 3.21 10 eV 5 W = Ek =
由计算结果可知，虽然同样将速率提高0.1c,但后者所作的功比前者要大得多，这是因 为随着速率的增大，电子的质量也增大
由计算结果可知，虽然同样将速率提高 0.1c，但后者所作的功比前者要大得多，这是因 为随着速率的增大，电子的质量也增大
