14-1有一个弹簧振子，振幅A=2.0×10-2m,周期T=1.0s,初相p= 3元4.试写出它的运动方程，并作出x-t图、℃-t图和a-t图. 分析弹簧振子的振动是简谐运动.振幅A、初相p、角频率ω是简谐运动 方程x=Acos(t+P)的三个特征量.求运动方程就要设法确定这三个物理量 题中除A、9已知外，仙可通过关系式w=2T确定，振子运动的速度和加速度 的计算仍与质点运动学中的计算方法相同， 解因仙=2xT,则运动方程 x=Acos(at+p）=A0s2+p】 根据题中给出的数据得 x=(2.0×10-2m)cos[(2πs1)t+0.75x] 振子的速度和加速度分别为 o=dx/dt=-(4x×10-2m·sl)sin[(2xs)t+0.75元] a=dx/dt2=-(82×10-2m·sl)cos[(2xs1)t+0.75x] x-t、v-t及a-t图如图14-1所示
14-2若简谐运动方程为x=(0.10m)c0s[(20πs1)t+0.25π]，求：(1) 振幅、频率、角颜率、周期和初相：(2)t=2s时的位移、速度和加速度. 分析可采用比较法求解.将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般 形式x=Acos(at+p)作比较，即可求得各特征量.运用与上题相同的处理方 法，写出位移、速度、加速度的表达式，代人t值后，即可求得结果。 解(1)将x=(0.10m)cos[(20rs1)t+0.25x]与x=Acos(t+p)比 较后可得：振幅A=0.10m,角频率w=20元s1,初相9=0.25元，则周期T= 2πw=0.1s,缬率=1/T=10Hz. (2)t=2s时的位移、速度、加速度分别为 x=(0.10m)cos(40π+0.25π)=7.07×10-2m =dx/dt=-(2rms1)sin(40x+0.25π)=-4.44ms1 a=d2x/dt2=-(402ms2)cos(40π+0.25π）)=-2.79×102m's2 /m 图14-1
14-3 一远洋货轮，质量为m,浮在水面时其水平截面积为S.设在水面 附近货轮的水平截面积近似相等，水的密度为P,且不计水的粘滞阻力，证明货 轮在水中作振幅较小的竖直自由运动是简谐运动，并求振动周期. {a) 图14-3 分析要证明货轮作简谐运动，需要分析货轮在平衡位置附近上下运动时， 它所受的合外力F与位移x间的关系，如果满足F=一kx,则货轮作简谐运动. 通过F=-x即可求得振动周期T=2π/w=2π√m及. 证货轮处于平衡状态时[图14-3(a)],浮力大小为F=mg.当船上下作 微小振动时，取货轮处于力平衡时的质心位置为坐标原点O,竖直向下为x轴 正向，如图14-3(b)所示.则当货轮向下偏移x位移时，受合外力为 EF=P+F 其中F为此时货轮所受浮力，其方向向上，大小为 F'=F+pgSx mg pgSx 则货轮所受合外力为 ZF P-F'=-pgS =-ka 式中=PgS是一常数.这表明货轮在其平衡位置上下所作的微小振动是简谐 运动. 由ΣF=md平xdz2可得货轮运动的微分方程为 d2xldt2+egSxlm =0 令w2=gSm,可得其振动周期为 T=2x/w=2r√m/pgS
14-4设地球是一个半径为R的均匀球体，密度p=5.5×103kg°m3.现 假定沿直径凿通一条隧道，若有一质量为m的质点在此 隧道内作无摩擦运动.(1)证明此质点的运动是简谐运 动；(2)计算其周期。 分析证明方法与上题相似.分析质点在隧道内运 动时的受力特征即可. 证（1)取图14-4所示坐标.当质量为m的质点 位于x处时，它受地球的引力为 F--Gmm 图14-4 式中G为引力常量，mz是以x为半径的球体质量，即 mx=4xoc33.令k=4 pGm/3,则质点受力 F=-4xGomx3 =-kx 因此，质点作简谐运动. (2)质点振动的周期为 T=2r√n/k=√3元G0 =5.07×103s
14-5如图14-5(a)所示，两个轻弹簧的劲度系数分别为k1、k2.当物体 在光滑斜面上振动时.(1)证明其运动仍是简谐运动；(2)求系统的振动频率. (8 (b) 立 7 (c) (d) 图14-5 分析从上两题的求解知道，要证明一个系统作简谐运动，首先要分析受力 情况，然后看是否满足简谐运动的受力特征（或简谐运动微分方程〉，为此，建立 如图14-5(b)所示的坐标.设系统平衡时物体所在位置为坐标原点0，Ox轴正 向沿斜面向下，由受力分析可知，沿Ox轴，物体受弹性力及重力分力的作用，其 中弹性力是变力.利用串联时各弹簧受力相等，分析物体在任一位置时受力与位 移的关系，即可证得物体作简谐运动，并可求出频率. 证设物体平衡时两弹簧伸长分别为x1、x2,则由物体受力平衡，有 mgsin 0=kix1=k2x2 (1) 按图(b)所取坐标，物体沿x轴移动位移x时，两弹簧又分别被拉伸x1和x2,即 x=x'1+x2则物体受力为 F mgsin 0-k2(x2+x2)=mgsin 6-k1(x1+x1) (2) 将式(1)代人式(2)得 F=-k2x2=-k1x1 (3) 由式(3)得x1=-F/1、x2=-F/兔2，而x=zi+x2,则得到 F=-(k1k2/k1+k2）x=-kx 式中=k1k2/(1+2)为常数，则物体作简谐运动，振动频率 y=a2m=2会云√展m=2x√1k21+2)m 讨论(1)由本题的求证可知，斜面领角日对弹簧是否作简谐运动以及振 动的频率均不产生影响.事实上，无论弹簧水平放置、斜置还是竖直悬挂，物体均 作简谐运动.而且可以证明它们的频率相同，均由弹簧振子的固有性质决定，这 就是称为固有频率的原因.(2)如果振动系统如图14-5(c)(弹簧并联)或如图 14-5()所示，也可通过物体在某一位置的受力分析得出其作简谐运动，且振动 缬率均为v=√欣1+2m,读者可以一试.通过这些例子可以知道，证明物 体是否作简谐运动的思路是相同的
14-6为了测得一物体的质量，将其挂到一弹笺上，并让其自由振动 测得振动频率1=1.0Hz;若再将另一个质量m'=0.5kg的物体单独挂在该 弹簧上时，测得振动频率y2=2.0Hz.设振动均在弹簧弹性限度内进行，求被测 物体的质量. 分折物体挂在弹簧上组成弹簧振子系统，其振动频率y=m,即 c√1m.采用比较频率y的方法可求出未知物体的质量. 解由分析可知v心√1m,则有y/2=√mTm.根据题中给出的数据可 得物体的质量为 m=m'(zl1)2=2.0kg
14-7在如图14-7(a)所示装置中，一动度系数为k的轻弹簧，一端固定 在墙上，另一端连按一质量为m1的物体A,置于光滑水平桌面上.现通过一质 量m、半径为R的定滑轮B(可视为匀质圆盘)用细绳连接另一质量为m2的物 体C.设细绳不可伸长，且与滑轮间无相对滑动，求系统的振动角期率， ww 777777777 (a) (b) 中c e) 图14-7 分析这是一个由弹簧、物体A、C和滑轮B组成的简谐运动系统.求解系 统的振动频率可采用两种方法，(1)从受力分析着手.如图14-7(b)所示，设系 统处于平衡状态时，与物体A相连的弹簧一端所在位置为坐标原点O,此时弹 簧已伸长x0,且缸0=m2g.当弹簧沿Ox轴正向从原点O伸长x时，分析物体 A,C及滑轮B的受力情况，并分别列出它们的动力学方程，可解得系统作简谐 运动的微分方程.(2)从系统机械能守恒着手.列出系统机械能守恒方程，然后求 得系统作简请运动的微分方程。 解1在图14-7(b)的状态下，各物体受力如图14-7(c)所示.其中F= -(x+x0)t.考惠到绳子不可伸长，对物体A、B、C分别列方程，有 Fn-(x+x0）=m1dr2 (1) m2g-Fn m2 dii (2) (Fa~FnR=a=立mR (3) kxo m2g (4) 方程(3)中用到了Fn=FFn=F2J=mR22及a=a/R.联立式(1)~式 (4)可得 d"x 十 dt2 n1+m2+m2工=0 (5) 则系统振动的角频率为 =√(m1+m2+m2】 解2取整个振动装置和地球为研究系统，因没有外力和非保守内力作功， 系统机械能守恒，设物体平衡时为初始状态，物体向右偏移距离x(此时速度为 口、加速度为α)为末状态，则由机械能守缸定律，有 受6=-m3肛+2m1u2+之m22+四2+（红+xo2 在列出上述方程时应注意势能（重力势能和弹性势能）零点的选取.为运算方便， 选初始状态下物体C所在位置为重力势能零点：弹簧原长时为弹性势能的零 点.将上述方程对时间求导得 0=-m0+m心0+m0+船+（红+）能 将J=mR22、R=v、duldt=fx/dt2和m2g=kru代人上式，可得 x m1+m2+m2x=0 (6) 式(6)与式(5)相同，表明两种解法结果一致
14-8一放置在水平桌面上的弹黄振子，振幅A=2.0×10-2m,周期T =0.50s.当t=0时，(1)物体在正方向端点：(2)物体在平衡位置、向负方向运 动：(3)物体在x=1.0×102m处，向负方向运动；(4)物体在x= -1.0×10-2m处，向正方向运动.求以上各种情况的运动方程. 分析在鞭幅A和周期T已知的条件下，确定初相9是求解简谐运动方 程的关键.初相的确定通带有两种方法.(1)解析法：由振动方程出发，根据初始 条件，即t=0时，x=x0和v=%来确定g值.(2)旋转矢量法：如图14-8(a) 所示，将质点P在Ox轴上振动的韧始位置x0和速度的方向与旋转矢最图 相对应来确定.旋转矢量祛比较直观、方便，在分析中常采用 () (b) 图14-8 解由题给条件知A=2.0×102m,w=2T=4xs',而初相伞可采用 分析中的两种不同方法来求。 解析法：根据简谐运动方程x=Acs(a+p),当t-0时有x0=AcsP, e0=-Awsin单.当 (1)x0=A时，0081=1，则1=0： (2)x0=0时，cs=0,p=±2，因00，取4- 43. 旋转矢量法：分别断出四个不同初始状态的旋转矢量图，如图14-8(b)所 示，它们所对应的初相分别为1=0,2=2，=3，p4=43 振幅A、角频率、初相单均确定后，则各相应状态下的运动方程为 (1)x=(2.0×10-2m)cos(4πs1)t (2)x=(2.0×102m)eo[(4xs1)t+/2] (3)x=(2.0×10-2m)c0s(4r8l)t+/3] (4)x=(2.0×10-2m)co8[(4xs1)t+4/3]
14一9有一弹簧，当其下端挂一质量为m的物体时，伸长量为 9,8×102m.若使物体上、下振动，且规定向下为正方向.(1)当t=0时，物体 在平衡位置上方8.0×10~2m处，由静止开始向下运动，求运动方程.(2)当：= 0时，物体在平衡位置并以0.6ms1的速度向上运动，求运动方程. 分析求运动方程，也就是要确定振动的三个特征物理量A、仙和的.其中 振动的角频率是由弹簧振子系统的固有性质（振子质量m及弹簧劲度系数k) 决定的，即仙=√m,可根据物体受力平衡时弹簧的神长来计算：振幅A和 韧相g需要根据初始条件确定 (a) (b) 图14-9 解物体受力平衡时，弹性力F与重力P的大小相等，即F=mg.而此时 弹簧的伸长量△1=9,8×10-2m.则弹簧的劲度系数k=F到△l=mg/△1.系统作 简著运动的角频率为 e=√km=√g01=10s1 (1)设系统平衡时，物体所在处为坐标原点，向下为x轴正向.由初始条件 t=0时，x10=8.0×102m、v10=0可得振幅A=√xi0+(v10/w=8.0× 102m;应用旋转矢量法可确定初相1=x[图14-9(a)].则运动方程为 x1=(8.0×10-2m)cos[(10s1)t+T] (2)t=0时，xn=0、0=0.6ms1,同理可得A2=√x0+(mw)2= 6.0×10-2m;2=2[图14-9(b)].则运动方程为 x2=(6.0×102m)cos[(10sl)t+0.5x]
14-10某振动质点的x-t曲线如图14-10(a)所示，试求：(1)运动方 程；(2)点P对应的相位：(3)到达点P相应位置所需的时间. 分析由已知运动方程画振动曲线和由振动曲线求运动方程是振动中常见 的两类问题.本题就是要通过x一t图线确定振动的三个特征量A、仙和0，从 而写出运动方程.曲线最大幅值即为振幅A;而仙、P0通常可通过旋转矢量法或 解析法解出，一般采用旋转矢量法比较方便。 897 4.0 (a) (b) (c) 图14-10 解(1)质点振动振幅A=0.10m.而由振动曲线可画出t0=0和t1=4s 时旋转矢量，如图14-10(6)所示.由图可见初相0=-/3（或0=5π/3），而由 w(t1-to)=π2+/3得w=5π/24s1,则运动方程为 x=0.10ms[(赞s-3 (2)图14-10()中点P的位置是质点从A/2处运动到正向的端点处.对 应的旋转失量图如图14-10(c)所示.当初相取p0=一3时，点P的相位为 =p0+u(t印一0)=0（如果初相取成o=5π3，则点P相应的相位应表示为 =p0+u(p-0)=2x). (3)由旋转矢量图可得w(p-0)=π/3，则切=1.6s
