15-1频率为y=1.25×10z的平面简谐纵波沿细长的金属棒传播，棒 的弹性模量为E=1.90×101Nm-2,棒的密度p=7.6×103kgm-3.求该纵 波的波长 分析因机械波传播速度与介质性质有关，固体中纵波传播速度“三 √E可p.而波的特征量波长入与波速、频率y之间有A=u/.所以，频率一定的 振动在不同介质中传播时，其波长不同.由上述关系可求得波长 解由分析可知金属棒中传播的纵波速度“=√EP,因此，该纵波的波长 为 λ=ufy=VE/pw2=0.40m
15-2一横波在沿绳子传播时的波动方程为y=(0.20m)cs[(2.5πs1)t -(xm1)x].(1)求波的振幅、波速、频率及波长；(2)求绳上质点振动时的最大 速度；(3)分别画出t=1s和t=2s时的波形，并指出波峰和波谷.画出x 1.0m处质点的振动曲线并讨论其与波形图的不同. 分析(1)已知波动方程（又称波函数）求波动的特征量（波速u、频率、振 幅A及波长入等)，通常采用比较法.将已知的波动方程按波动方程的一般形式 y=As[(t干)+9o]书写，然后通过比较确定各特征量（式中孟前“-”、 “+”的选取分别对应波沿x轴正向和负向传播).比较法思路清晰、求解简便， 是一种常用的解题方法.(2)讨论波动问题，要理解振动物理量与波动物理量之 间的内在联系与区别.例如区分质点的振动速度与波速的不同，振动速度是质点 的运动速度，即v=dy/dt;而波速是波线上质点运动状态的传播速度（也称相位 的传播速度、波形的传播速度或能量的传播速度)，其大小由介质的性质决定.介 质不变，波速保持恒定.(3)将不同时刻的：值代人已知波动方程，便可以得到不 同时刻的波形方程y=y(x),从而作出波形图.而将确定的x值代入波动方程 便可以得到该位置处质点的运动方程y=y(t),从而作出振动图 解(1)将已知波动方程表示为 v=(0.20m)cos「(2.5πs1)(t~xf2.5m·s1)1 与一般表达式y=Acos[ω(t-x/u)+p0]比较，可得 A=0.20m,u=2.5m·s1,p8=0 则 y=w/2π兰1.25Hz,λ=u/y=2.0m (2)绳上质点的振动速度 v=dy/dt=-(0.5rm·s1)sin[(2.5πsi)(t-x2.5m·s1)] 则 Umax=1.57 m's-1 (3)t=1s和t=2s时的波形方程分别为 y1=(0.20m)co8[2.5π-(rm1)x】 y2=(0.20m)cos[5π-（πm1)x] 波形图如图15-2(a)所示. x=1.0m处质点的运动方程为 y=*(0.20m)cos(2.5xs1)t 振动图线如图15-2(6)所示. 被形图与振动图虽在图形上相似，但却有着本质的区别.前者表示某确定时 刻波线上所有质点的位移情况，而后者则表示某确定位置的一个质点，其位移随 时间变化的情况， b 图15-2
15-3波源作简谐运动，其运动方程为y=(4.0×10-3m)cs(240πs1)t, 它所形成的波形以30m·s1的速度沿一直线传播.(1)求波的周期及波长；(2) 写出波动方程. 分析已知波源运动方程求波动物理量及波动方程，可先将运动方程与其 一般形式y=Acos(t+p)进行比较，求出振幅A、角频率w及初相P0,而这三 个物理量与波动方程的一般形式y=Acos[w(t一x/w)+p0]中相应的三个物 理量是相同的.再利用题中已知的波速4及公式仙=2ry=2x/T和入=uT即可 求解. 解(1)由已知的运动方程可知，质点振动的角频率w=240πs1.根据分 析中所述，波的周期就是振动的周期，故有 T=2w=8.33×10-38 波长为 入=uT=0.25m (2)将已知的波源运动方程与简谐运动方程的一般形式比较后可得 A=4.0×10-3m,w=240ms1,p0=0 故以波源为原点，沿x轴正向传播的波的波动方程为 y =Acos[w(t-xlu)+9o] =(4.0×10-3m)cos[(240πs1)t-(8rm1)x]
15-4已知-一波动方程为y=(0.05m)sin[(10xs1)t-(2m1)x].(1) 求波长、频率、波速和周期；(2)说明x=0时方程的意义，并作图表示. 分析采用比较法.将题给的波动方程血 改写成波动方程的余弦函数形式，比较可得0.5 角频率仙、波速，从而求出波长、频率等.当 x确定时波动方程即为质点的运动方程y= 0.2於 y(t). 解（1)将题给的波动方程改写为 y=(0.05m)os[(10πs1)(t- 图15“4 x/5πm·s1)-π/2] 与y=Acos[ω(t-x/u)+p0】比较后可得波速w=15.7m·s1,角频率 ω=10πs1,故有 y=w/2x=5.0Hz,T=1/y=0.2s,入=T=3.14m (2)由分析知x=0时，方程y÷(0.05m)cos[(10rs1)t-π2]表示位于 坐标原点的质点的运动方程（图15-4）
15-5波源作简谐运动，周期为0.02s,若该振动以100m·s1的速度沿直 线传播，设t=0时，波源处的质点经平衡位置向正方向运动，求：(1)距波源 15.0m和5.0m两处质点的运动方程和初相：(2)距波源为16.0m和17.0m 的两质点间的相位差. 分析(1)根据题意先设法写出波动方程，然后代入确定点处的坐标，即得 到质点的运动方程.并可求得振动的初相.(2)波的传播也可以看成是相位的传 播.由波长入的物理含意，可知波线上任两点间的相位差为△p=2π△x/入. 解(1)由题给条件T=0.02s,u=100ms1,可得 w=2mT=100πs1;入=uT=2m 当t=0时，波源质点经平衡位置向正方向运动，因而由旋转矢量法可得该 质点的初相为0=-π2（或3π2）.若以波源为坐标原点，则波动方程为 y=Acos[(100xs1)(t-x/100m·s1)-π2] 距波源为x1=15.0m和x2=5.0m处质点的运动方程分别为 y1=Acos[(100rs1)t-15.5x] y2=Acos[(100πs1)t-5.5π] 它们的初相分别为p0=-15.5π和P20=一5.5π（若波源初相取Po=3π2，则 初相p10=-13.5π，p20=-3.5元.) (2)距波源16.0m和17.0m两点间的相位差 △9=P1-P2=2π(x2-x1)/1=π
15一6波源作简谐运动，周期为1.0×10-2$，以它经平衡位置向正方向运 动时为时间起点，若此振动以u=400m·s1的速度沿直线传播.求：(1)距波源 为8.0m处的质点P的运动方程和初相；(2)距波源为9.0m和10.0m处两点 的相位差 解分析同上题.在确知角频率w=2x/T=200πs1、波速u=400m·s1 和初相p0=3/2(或-π/2)的条件下，波动方程 y=Acos[(200xs1)(t-x/400m·s1)+3π2] 位于xp=8.0m处，质点P的运动方程为 yp Acos[(200x s1)t-5/2] 该质点振动的初相p%=-5π2.而距波源9.0m和10.0m两点的相位差为 Ap=2x(x2-x1)/入=2x(x2-x1)/uT=π2 如果波源初相取p0=一2，则波动方程为 y=Acos[(200πs1)t-9π2] 质点P振动的初相也变为P0=一9π2，但波线上任两点间的相位差并不改变
15-7有一平面简谐波在介质中传播，波速4=100㎡s1,波线上右侧距 波源O(坐标原点)为75.0m处的一点P的运动方程为 3p=(0.30m)cs[(2πs1)r+元2 求：(1)波向x轴正方向传播时的波动方程；(2)波向x轴负方向传播时的波动 方程 分析在已知波线上某点运动方程的条件下，建立波动方程时常采用下面 两种方法：(1)先写出以波源0为原点的波动方程的一般形式，然后利用已知点 P的运动方程来确定该波动方程中各量，从而建立所求波动方程.(2)建立以点 P为原点的波动方程，由它来确定波源点。的运动方程，从而可得出以波源点 0为原点的波动方程。 解1(1)设以波源为原点O,沿x轴正向传播的波动方程为 y=Acos@(t-x/u)+②如] 将“=100ms1代人，且取文=75m得点P的运动方程为 yp Acos[au (t-0.75 s)+o] 与题意中点P的运动方程比较可得A=0.30m、仙=2πs1、=2元.则所求波 动方程为 =(0.30mcos[(2xs1)(t -x/100m·s1)] (2)当沿x轴负向传播时，波动方程为 y=Acos[o(t+xju)+o] 将x=75m、u=100ms1代入后，与题给点P的运动方程比较得A÷0,30m w=2πs 、0=一元，则所求波动方程为 y三(0.30m)o8(2πs1)(t+x/100m·g-1)-π 解2(1)如图15-7(a)所示，取点P为坐标原点0'，沿0'x轴向右的方 向为正方向.根据分析，当波沿该正方向传播时，由点P的运动方程，可得出以 O(即点P)为原点的波动方程为 y=(0.30m)cos[(2xs1)(t-z/100m·s1)+0.5J 将x=-75m代人上式，可得点O的运动方程为 %=(0.30m)cos(2xs1)t 由此可写出以点O为坐标原点的波动方程为 y=(0.30m)c[(2πs1)(t-x/100m. (a) (2)当波沿Ox轴负方向传播时.如图15-7 (b)所示，仍先写出以O(即点P)为原点的波动方 程 y=(0.30m)cos[(2元s1)× (t+x/100m·sl)+0.5] (b) 将x=一75m代人上式，可得点O的运动方程为 图15-7 yo =(0.30 m)cos[(2n s-1)t-] 则以点0为原点的被动方程为 y=(0.30m)cos[(2rs1)(z+xf100m·s1)-x] 讨论对于平面简谐波来说，如果已知波线上一点的运动方程，求另外一点 的运动方程，也可用下述方法米处理：波的传播是振动状态的传播，波线上各点 (包括原点)都是重复波源质点的振动状态，只是初相位不同而已.在已知某点初 相0的前提下，根据两点间的相位差△p=p0一P0=2x△x以，即可确定未知点 的初相90：
15-8图15-8为平面简谐波在t=0时的波形图，设此简谐波的频率为 250H,且此时图中质点P的运动方向向上.求：(1)该波的波动方程；(2)在距 原点O为7.5m处质点的运动方程与t=0时该点的振动速度. 分析(1)从波形曲线图获取波的特征量 从而写出波动方程是建立波动方程的又一途径. wm 具体步骤为：1.从波形图得出波长入、振辆A和 波速！=入y:2,根据点P的运动趋势来判断被 的传播方向，从而可确定原点处质点的运动趋 /10.0m 向，并利用旋转矢量法确定其初相0.(2)在波 动方程确定后，即可得到被线上距原点。为 处的运动方程y=y(t),及该质点的振动速度 图15-8 v=dyldt. 解(1)从图15-8中得知，波的振幅A=0.10m,波长A=20.0m,则波 速u=y=5.0×103ms1.根据t=0时点P向上运动，可知波沿Ox轴负向 传播，并判定此时位于原点处的质点将沿Oy轴负方向运动.利用旋转矢量法可 得其初相0=3.故波动方程为 y=Acos[w(t+x/u)+po】 =(0.10m)cos[(500xs1)(t+.xj5000m·s1)+x/3] (2)距原点O为x=7.5m处质点的运动方程为 y=(0.10m)c0s[(500xs)t+13x12] t=0时该点的振动速度为 v=(dy/dt):=0=-(50mm·s)sin13m/1240.6m·s1
15-9平面简谐波以波速=0.50ms1治Ox轴负方向传播，在t=2s 时的波形如图15-9(a)所示.求原点的运动方程. 分析上题已经指出，从波形图中可知振拓A、波长入和频率y.由于图 15-9(a)是t=2s时刻的波形曲线，因此确定t=0时原点处质点的初相就成为 本题求翻的难点，求三0时的初相有多种方法，面介绍被形平移法，被的传播 可以形象地描述为波形的传播.由于波是沿Ox轴负向传播的，所以可将t=23 时的波形沿Ox轴正向平移△x=ut=(0.50mg1)×2s=1.0m,即得到t=0 时的波形图15一9(b),再根据此时点O的状态，用旋转失量法确定其初相位。 解由图15-9(a)得知波长入=2.0m,振幅A=0.5m.角频率w (a) (b) (c3 图15-9 2ru/入=0.5πs1. 按分析中所述，从图15-9(b)可知：=0时，原点处的质点位于平衡位置 并由旋转矢量图15-9(c)得到0=π2，则所求运动方程为 y=(0.50m)cos[(0.5rsl)t+0.5x
15-10一平面简谐波，波长为12m,沿Ox轴负向传播.图15-10(a)所 示为x=1.0m处质点的振动曲线，求此波的波动方程 -5 1=0 (a) (b) 图15-10 分析该题可利用振动曲线来获取波动的特征量，从而建立波动方程.求解 的关键是如何根据图15-10()写出它所对应的运动方程.较简便的方法是旋 转矢量法（参见题14~10）， 解由图15-10(a)可知质点振动的振幅A=0.40m,t=0时位于x= 1.0m处的质点在A2处并向Oy轴正向移动.据此作出相应的旋转矢量图 15-10(b),从图中可知0=-/3.又由图15-10(a)可知，t=5s时，质点第- 次回到平衡位置，由图15-10(b)可看出wt=5π/6，因而得角频率w=x6s1. 由上述特征量可写出x=1.0m处质点的运动方程为 y=(0.40mos[(看s-3] 采用题15-7中的方法，将波速u=A/T=aM/2x=1.0ms1及x=1.0m 代入波动方程的一般形式y=Acos[u(t+x/u）+p0]中，并与上述x=1.0m 处的运动方程作比较，可得g=~π2，则波动方程为 y=0.40mos(s(:+1.0ms）-2]
