7b986aaa65124980b8b188fcdaae49el.doc 第1页共 14页 《数学思想与方法》单元辅导4 第十一章数学思想方法与素质散育 学习要求 1.了解我国数学教育取得的成就及存在的问题、国内外数学教育的改革情况： 2.理解数学知识与数学思想方法的关系： 3.理解数学思想方法与素质教育的关系： 4.理解加强数学思想方法教学的重要性。 主要内容指导 一、数学思想方对人的素质教育的作用 1.数学教育不仅对于提高人的科学文化素质有着重要作用，而且对于提高政治素质和 心理健康素质也有着不可忽视的作用。 2.在提高人的素质中发挥重要作用的是在长期数学学习中逐步形成的数学精神和数学 思想方法，而不是具体的数学知识。数学思想方法在数学创造和推动人类文化发展中有着巨 大的作用。因此，在数学教育中我们应该十分重视数学思想方法的教学。 3.数学素质四要素。(1)知识观念。能用数学的观念和态度去观察、解释和表示事务 的数量关系、空间形式和数据信息，以形式良好的数感和量化意识：(2)创造能力。通过解 决日常生活和其他学科的问题，发展提出数学模型、了解数学方法、注意数学应用的创造型 数学能力，并形成忠诚、坚定、自信的意志品格：(3)思维品质。熟悉数学的抽象概括过程， 掌握数学中逻辑推理方法，以形成良好的思维品质和合理的思维习惯：(4)科学语言。作为 一种科学的语言，数学也是人际交流不可缺少的工具，数学素质应包括初步运用这种简捷、 准确的语言。 二、数学思想方法有利于数学教育改革的深入 我国当前的数学教育是比较落后的。从教学内-容上看陈旧，不少课程内容远离数学发 展的前沿，最新数学成果进入课程的周期太长。比如美国最近20年来一直都开设了《流形 上的微积分》，而我国高等学校中开设很少。教材所编写的大部分是数学思维的成果一一概 念、定理、证明，很少反映人们是怎样去想的，即研究数学的思维过程。从教学方法上看很 古板，习惯于“填鸭式”。教师往往仅注重理论的完整证明与各类常规问题的解题类型。学 生经过反复练习，固然能掌握一部分数学知识，但与其同时，机械的重复练习，容易形成思 维上的惰性，从而导致思维“功能的僵化”，使学生在一旦条件、结论发生变化时，不知所 措，一筹莫展。长期以来，在一部分中学中大搞“题海战术”，以此谋求所谓高分。不可否 认，这种做法对培养学生模仿能力、记忆能力上有一定作用，但由于学生的思维是在固定模 式中机械地反复运动，各方面的能力得不到应有的锻炼，思想方法没有得到应有的提高。这 种得不偿失的做法，亟须改变。 改变数学教育比较落后的局面，有待于整个数学教育体制、管理、课程、教学内容与手 段等改革的深入。但是，数学思想方法教育无疑在其中占重要地位。它作为一门课程开设， 使得高等学校数学课程增添了新的血液，促进了课程改革的深入。它与各数学课程结合，使 数学课程增添了活力，促进了教学内容与方法改革的深入。加强数学思想方法的教育，有利 于改变数学教育比较落后的局面，加强学生能力的培养，提高数学教育质量。这些己被许多 事实所证实，各种数学杂志（特别是中学数学方面的）己刊登不少这方面的教学研究文章，总 结了经验，介绍了研究成果。数学思想方法作为数学教育改革重要内容之一，所起的作用愈 来愈重要了。 三、数学思想方法教育的主要途径
7b986aaa65124980b8b188fcdaae49e1.doc 第 1 页 共 14 页 《数学思想与方法》单元辅导 4 第十一章 数学思想方法与素质教育 学习要求 1．了解我国数学教育取得的成就及存在的问题、国内外数学教育的改革情况； 2．理解数学知识与数学思想方法的关系； 3．理解数学思想方法与素质教育的关系； 4．理解加强数学思想方法教学的重要性。 主要内容指导 一、数学思想方对人的素质教育的作用 1．数学教育不仅对于提高人的科学文化素质有着重要作用，而且对于提高政治素质和 心理健康素质也有着不可忽视的作用。 2．在提高人的素质中发挥重要作用的是在长期数学学习中逐步形成的数学精神和数学 思想方法，而不是具体的数学知识。数学思想方法在数学创造和推动人类文化发展中有着巨 大的作用。因此，在数学教育中我们应该十分重视数学思想方法的教学。 3．数学素质四要素。（1）知识观念。能用数学的观念和态度去观察、解释和表示事务 的数量关系、空间形式和数据信息，以形式良好的数感和量化意识；（2）创造能力。通过解 决日常生活和其他学科的问题，发展提出数学模型、了解数学方法、注意数学应用的创造型 数学能力，并形成忠诚、坚定、自信的意志品格；（3）思维品质。熟悉数学的抽象概括过程， 掌握数学中逻辑推理方法，以形成良好的思维品质和合理的思维习惯；（4）科学语言。作为 一种科学的语言，数学也是人际交流不可缺少的工具，数学素质应包括初步运用这种简捷、 准确的语言。 二、数学思想方法有利于数学教育改革的深入 我国当前的数学教育是比较落后的。从教学内-容上看陈旧，不少课程内容远离数学发 展的前沿，最新数学成果进入课程的周期太长。比如美国最近 20 年来一直都开设了《流形 上的微积分》，而我国高等学校中开设很少。教材所编写的大部分是数学思维的成果——概 念、定理、证明，很少反映人们是怎样去想的，即研究数学的思维过程。从教学方法上看很 古板，习惯于“填鸭式”。教师往往仅注重理论的完整证明与各类常规问题的解题类型。学 生经过反复练习，固然能掌握一部分数学知识，但与其同时，机械的重复练习，容易形成思 维上的惰性，从而导致思维“功能的僵化”，使学生在一旦条件、结论发生变化时，不知所 措，一筹莫展。长期以来，在一部分中学中大搞“题海战术”，以此谋求所谓高分。不可否 认，这种做法对培养学生模仿能力、记忆能力上有一定作用，但由于学生的思维是在固定模 式中机械地反复运动，各方面的能力得不到应有的锻炼，思想方法没有得到应有的提高。这 种得不偿失的做法，亟须改变。 改变数学教育比较落后的局面，有待于整个数学教育体制、管理、课程、教学内容与手 段等改革的深入。但是，数学思想方法教育无疑在其中占重要地位。它作为一门课程开设， 使得高等学校数学课程增添了新的血液，促进了课程改革的深入。它与各数学课程结合，使 数学课程增添了活力，促进了教学内容与方法改革的深入。加强数学思想方法的教育，有利 于改变数学教育比较落后的局面，加强学生能力的培养，提高数学教育质量。这些已被许多 事实所证实，各种数学杂志(特别是中学数学方面的)已刊登不少这方面的教学研究文章，总 结了经验，介绍了研究成果。数学思想方法作为数学教育改革重要内容之一，所起的作用愈 来愈重要了。 三、数学思想方法教育的主要途径
7b986aaa65124980b8b188fcdaae49el.doc 第2页共 14页 通过学习，应使学生不仅学到数学知识，而且也学到数学思想方法，从某种意义上来说， 后者更重要。加强数学思想方法教育的目的也正在于，培养出来的学：生毕业队后，不管他 们从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神飞数学的思维方法，研究方法 售推理方法和着眼点，都随时随地发生作用，使他们终生受益。加强数学思想方法教育有多 种途径，主要有：(1)开设优秀数学思想方法课程：(2)在各分支数学课程讲授中重视思想 方法的教育：(3)加强对学生数学思想方法的训练：(4)提高数学教师数学思想方法的素养。 思考题：论述数学思想方法与素质教育的关系？ 第十二章 数学思想方法教学 学习要求 1.了解数学思想方法的频数分布： 2.理解数学思想方法频数分布的启示： 3.掌握学生理解数学思想方法的主要阶段： 4.掌握数学思想方法教学的特点及注意事项。 主要内容指导 一、数学思想方法教学的主要阶段。 数学思想方法教学主要有多次孕育、初步理解、简单应用三个阶段，三个阶段相互依赖、 相互促进不可或缺。对此，可从下列几个方面加以理解： 第一、多次孕育阶段。数学思想方法教学的多次孕育阶段，是根据学生学习数学思想 方法存在潜意识阶段而设计的。因为潜意识的作用是缓慢的、渐进的，所以要反复孕育，而 且对于复杂的、难度较大的思想方法，孕育的次数也相应多些。如，在教学化归方法归时， 我们可以采取： 首先在教“平行四边形面积”时孕育化归方法。要求学生通过把平行四边形化为长方 形，再利用长方形的面积公式来推导出平行四边形的面积公式。如图12-1(1)所示。 在教“三角形面积”时进一步孕育化归方法。要求学生将三角形化为平行四边形，利 用平行四边形的面积公式导出三角形的面积公式。如图12-1(2)所示。 图12-1 第二、初步理解阶段。数学思想方法教学的初步理解阶段，是根据学生学习数学思想
7b986aaa65124980b8b188fcdaae49e1.doc 第 2 页 共 14 页 通过学习，应使学生不仅学到数学知识，而且也学到数学思想方法，从某种意义上来说， 后者更重要。加强数学思想方法教育的目的也正在于，培养出来的学：生毕业队后，不管他 们从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神飞数学的思维方法，研究方法 售推理方法和着眼点,都随时随地发生作用，使他们终生受益。加强数学思想方法教育有多 种途径，主要有：（1）开设优秀数学思想方法课程；（2）在各分支数学课程讲授中重视思想 方法的教育；（3）加强对学生数学思想方法的训练；（4）提高数学教师数学思想方法的素养。 思考题：论述数学思想方法与素质教育的关系？ 第十二章 数学思想方法教学 学习要求 1．了解数学思想方法的频数分布； 2．理解数学思想方法频数分布的启示； 3．掌握学生理解数学思想方法的主要阶段； 4．掌握数学思想方法教学的特点及注意事项。 主要内容指导 一、数学思想方法教学的主要阶段。 数学思想方法教学主要有多次孕育、初步理解、简单应用三个阶段，三个阶段相互依赖、 相互促进不可或缺。对此，可从下列几个方面加以理解： 第一、多次孕育阶段。数学思想方法教学的多次孕育阶段，是根据学生学习数学思想 方法存在潜意识阶段而设计的。因为潜意识的作用是缓慢的、渐进的，所以要反复孕育，而 且对于复杂的、难度较大的思想方法，孕育的次数也相应多些。如，在教学化归方法归时， 我们可以采取： 首先在教“平行四边形面积”时孕育化归方法。要求学生通过把平行四边形化为长方 形，再利用长方形的面积公式来推导出平行四边形的面积公式。如图 12-1(1)所示。 在教“三角形面积”时进一步孕育化归方法。要求学生将三角形化为平行四边形，利 用平行四边形的面积公式导出三角形的面积公式。如图 12-1(2)所示。 第二、初步理解阶段。数学思想方法教学的初步理解阶段，是根据学生学习数学思想
7b986aaa65124980b8b188fcdaae49el.doc 第3页共 14页 方法存在明朗化阶段而设计的。当学生对某种数学思想方法的感性认识和经验已经比较丰富 了，我们就可以从正面地、直接地介绍某种数学思想方法，并要求学生初步掌握该方法解决 问题的要领。如，经过前面多次孕育后，在教学“加法和乘法交换律”时，我们引领学生对 一些特殊的例子进行观察、归纳、提出猜想（交换律）和验证猜想（交换律），使他们亲历了用 归纳猜想方法获取新知识的过程，再让学生初步理解归纳猜想方法就是水到渠成。 第三、简单应用阶段。数学思想方法教学的简单应用阶段，是根据学生学习数学思想 方法存在深化理解阶段而设计的。这个阶段主要是为学生应用己经初步形成的思想方法创造 条件，力求使学生在解决问题的实践过程中逐步深化对数学思想方法的理解。如，当学生初 步理解归纳猜想方法后，引导学生猜想减法和除法是否有交换律，要求学生自己进行归纳猜 想和验证猜想，从而使学生加深了对归纳猜想方法的理解和认识。 二、数学思想方法教学的原则 数学思想方法教学隶属于数学教学范畴，除应该贯彻通常的数学教学原则外，还应该遵 循某些符合自身特点的特殊的教学原则。在实施数学思想方法教学时，应该特别注重以下三 条原则的贯彻。 1.化隐为显原则 数学思想方法是隐含在数学知识的背后，如果不是有意识、有目的地把数学思想方法作 为教学内容，在数学学习时，学生常常只注意到处于表层的数学知识，而注意不到处于深层 的思想方法。因此，进行数学思想方法教学时必须以数学知识为载体，把隐藏在知识背后的 思想方法显示出来，使之明朗化，才能通过知识教学过程达到思想方法教学之目的。 例如，在教“分类”时，教材中只要求学生对事物进行分类，并没有明确地把“分类 法”表述出来，这就需要学生用心体会，才能领悟到，但这不是所有学生都能做到的。实施 数学思想方法教学，就是要求教师按照“化隐为显”的原则，对教材下一番改造制作的功夫， 教师可以进一步要求学生表述他们对分类的理解，以及说一说为什么这样分类？通过交流数 学思考及时引导学生学习分类法。 2.循序渐进原则 数学思想方法的形成难于知识的理解和一般技能的掌握，它需要学生深入理解事物之 间的本质联系。如，学生理解数形结合方法可从小学的画示意图找数量关系着手孕育：在学 习数轴时，要求学生会借助数轴来表示相反数、绝对值、比较有理数的大小：学习百分数时， 教师用条形图来解释百分数的含义。通过多次孕育学生就会逐步形成借助于图形性质解决代 数问题的观念，从而达到对数形结合方法的理解。 3.学生参与原则 数学知识教学与数学思想方法教学有着重要的区别，数学知识教学是数学认识活动结 果的教学，呈静态点型，重在记忆理解：数学思想方法教学是数学活动过程的教学，呈动态 线型，重在领会应用：离开数学活动过程思想方法也就无从谈起，只有组织学生积极参与教 学过程，在老师的启发引导下才能逐步领悟、形成、理解数学思想方法。 思考题：学生理解数学思想方法的有哪几个主要阶段？数学思想方法教学应 注意哪些事项？ 第十三章数学思想方法教学案例
7b986aaa65124980b8b188fcdaae49e1.doc 第 3 页 共 14 页 方法存在明朗化阶段而设计的。当学生对某种数学思想方法的感性认识和经验已经比较丰富 了，我们就可以从正面地、直接地介绍某种数学思想方法，并要求学生初步掌握该方法解决 问题的要领。如，经过前面多次孕育后，在教学“加法和乘法交换律”时，我们引领学生对 一些特殊的例子进行观察、归纳、提出猜想(交换律)和验证猜想(交换律)，使他们亲历了用 归纳猜想方法获取新知识的过程，再让学生初步理解归纳猜想方法就是水到渠成。 第三、简单应用阶段。数学思想方法教学的简单应用阶段，是根据学生学习数学思想 方法存在深化理解阶段而设计的。这个阶段主要是为学生应用已经初步形成的思想方法创造 条件，力求使学生在解决问题的实践过程中逐步深化对数学思想方法的理解。如，当学生初 步理解归纳猜想方法后，引导学生猜想减法和除法是否有交换律，要求学生自己进行归纳猜 想和验证猜想，从而使学生加深了对归纳猜想方法的理解和认识。 二、数学思想方法教学的原则 数学思想方法教学隶属于数学教学范畴，除应该贯彻通常的数学教学原则外，还应该遵 循某些符合自身特点的特殊的教学原则。在实施数学思想方法教学时，应该特别注重以下三 条原则的贯彻。 1．化隐为显原则 数学思想方法是隐含在数学知识的背后，如果不是有意识、有目的地把数学思想方法作 为教学内容，在数学学习时，学生常常只注意到处于表层的数学知识，而注意不到处于深层 的思想方法。因此，进行数学思想方法教学时必须以数学知识为载体，把隐藏在知识背后的 思想方法显示出来，使之明朗化，才能通过知识教学过程达到思想方法教学之目的。 例如，在教“分类”时，教材中只要求学生对事物进行分类，并没有明确地把“分类 法”表述出来，这就需要学生用心体会，才能领悟到，但这不是所有学生都能做到的。实施 数学思想方法教学，就是要求教师按照“化隐为显”的原则，对教材下一番改造制作的功夫， 教师可以进一步要求学生表述他们对分类的理解，以及说一说为什么这样分类？通过交流数 学思考及时引导学生学习分类法。 2．循序渐进原则 数学思想方法的形成难于知识的理解和一般技能的掌握，它需要学生深入理解事物之 间的本质联系。如，学生理解数形结合方法可从小学的画示意图找数量关系着手孕育；在学 习数轴时，要求学生会借助数轴来表示相反数、绝对值、比较有理数的大小；学习百分数时， 教师用条形图来解释百分数的含义。通过多次孕育学生就会逐步形成借助于图形性质解决代 数问题的观念，从而达到对数形结合方法的理解。 3．学生参与原则 数学知识教学与数学思想方法教学有着重要的区别，数学知识教学是数学认识活动结 果的教学，呈静态点型，重在记忆理解；数学思想方法教学是数学活动过程的教学，呈动态 线型，重在领会应用；离开数学活动过程思想方法也就无从谈起，只有组织学生积极参与教 学过程，在老师的启发引导下才能逐步领悟、形成、理解数学思想方法。 思考题：学生理解数学思想方法的有哪几个主要阶段？数学思想方法教学应 注意哪些事项？ 第十三章 数学思想方法教学案例
7b986aaa65124980b8b188fcdaae49el.doc 第4页共 14页 学习要求 1.熟练掌握化归方法、数学模型方法、归纳猜想的教学案例中体现的数学思想方法教 学特点： 2.掌握数学思想方法综合应用的特点。 主要内容指导 一、案例分析举例 第一个案例主要反映数学教师课堂语言的问题，第二个案例主要反映数学教材的问题。 分析这两个案例的目的是为揭示数学教育的主要矛盾做铺垫。 1.“平行四边形的面积”的公开课 教师在新授课之后，为了强化学生对平行四边形面积公式的理解，作为总结，向学生提 出这样一个问题： “谁能说一说，要计算平行四边形的面积，必须知道什么条件？” 学生对这个问题几乎一致的回答是： “必须知道这个平行四边形的底和高。” 这个回答正中教师的下怀，教师露出了满意的笑容并对学生的回答给予了肯定和表扬。 在我国小学数学课堂上，这样问答式的语言非常普遍。教师问题问得好，可以启发学生思维， 使学生形成正确概念：但如果问题问得不好，就可能禁锢学生的思维，甚至导致学生形成错 误概念。 仔细分析这一问一答，按通常的理解，所得到的结论是： 要想求出一个平行四边形的面积，就必须知道这个平行四边形的底和高。 换句话说： 如果不知道平行四边形的底和高，就无法求出这个平行四边形的面积。 这个结论或许会使学生形成这样一个思维定势： 只要遇到求平行四边形面积的问题，就必须先求这个平行四边形的底和高。如果求不出 底和高，自然就求不出平行四边形的面积。 这样一来学生在以后遇到类似下面这样的问题，也就无从下手了： 问题：三角形ABE的面积为24平方厘米，求平行四边形ABCD的面积。 翻阅一些《小学数学教案选》发现，此类问题是普遍存在的，例如： (1)要求出长方形的周长，就必须知道这个长方形的什么？（答：长和宽） (2)圆锥和圆柱的体积在什么条件下存在三分之一的倍数关系？（答：等底等高） (3)要求一个小数的倒数，就必须先把它化为分数。 分析此类语言，主要有三方面问题： (1)绝对化 “平行四边形的面积”一课的教学，是教给学生一个平行四边形中“底、高、面积”三 者相互依赖、相互制约的关系，即：平行四边形的面积等于这个平行四边形底和高的乘积。 而这个关系可以得到的结论是：如果已知一个平行四边形“底、高、面积”三者之中的任意 两个，就可以求出第三个，当然也就包括： 如果己知一个平行四边形的底和高，则可以得到这个平行四边形的面积。 这个结论意味着己知底和高是求出相应平行四边形面积的途径之一，但决不意味着是惟 一途径。事实上，能用公式求出面积的平面图形是很少的，更一般的方法是寻求图形之间的
7b986aaa65124980b8b188fcdaae49e1.doc 第 4 页 共 14 页 学习要求 1．熟练掌握化归方法、数学模型方法、归纳猜想的教学案例中体现的数学思想方法教 学特点； 2．掌握数学思想方法综合应用的特点。 主要内容指导 一、案例分析举例 第一个案例主要反映数学教师课堂语言的问题，第二个案例主要反映数学教材的问题。 分析这两个案例的目的是为揭示数学教育的主要矛盾做铺垫。 1．“平行四边形的面积”的公开课 教师在新授课之后，为了强化学生对平行四边形面积公式的理解，作为总结，向学生提 出这样一个问题： “谁能说一说，要计算平行四边形的面积，必须知道什么条件?” 学生对这个问题几乎一致的回答是： “必须知道这个平行四边形的底和高。” 这个回答正中教师的下怀，教师露出了满意的笑容并对学生的回答给予了肯定和表扬。 在我国小学数学课堂上，这样问答式的语言非常普遍。教师问题问得好，可以启发学生思维， 使学生形成正确概念；但如果问题问得不好，就可能禁锢学生的思维，甚至导致学生形成错 误概念。 仔细分析这一问一答，按通常的理解，所得到的结论是： 要想求出一个平行四边形的面积，就必须知道这个平行四边形的底和高。 换句话说： 如果不知道平行四边形的底和高，就无法求出这个平行四边形的面积。 这个结论或许会使学生形成这样一个思维定势： 只要遇到求平行四边形面积的问题，就必须先求这个平行四边形的底和高。如果求不出 底和高，自然就求不出平行四边形的面积。 这样一来学生在以后遇到类似下面这样的问题，也就无从下手了： 问题：三角形 ABE 的面积为 24 平方厘米，求平行四边形 ABCD 的面积。 翻阅一些《小学数学教案选》发现，此类问题是普遍存在的，例如： （1）要求出长方形的周长，就必须知道这个长方形的什么?(答：长和宽) （2）圆锥和圆柱的体积在什么条件下存在三分之一的倍数关系?(答：等底等高) （3）要求一个小数的倒数，就必须先把它化为分数。 分析此类语言，主要有三方面问题： (1)绝对化 “平行四边形的面积”一课的教学，是教给学生一个平行四边形中“底、高、面积”三 者相互依赖、相互制约的关系，即：平行四边形的面积等于这个平行四边形底和高的乘积。 而这个关系可以得到的结论是：如果已知一个平行四边形“底、高、面积”三者之中的任意 两个，就可以求出第三个，当然也就包括： 如果已知一个平行四边形的底和高，则可以得到这个平行四边形的面积。 这个结论意味着已知底和高是求出相应平行四边形面积的途径之一，但决不意味着是惟 一途径。事实上，能用公式求出面积的平面图形是很少的，更一般的方法是寻求图形之间的
7b986aaa65124980b8b188fcdaae49el.doc 第5页共 14页 关系。 (2)不合逻辑 从逻辑的角度看，一个命题与它的逆否命题是等价的，它的逆命题与它的逆命题与它的 否命题是等价的，但命题与它的逆命题和否命题是不等价的。这就是说，一个真命题的逆命 题和否命题未必是真的。根据平行四边形面积公式，可以知道命题，即： 如果已知一个平行四边形的底和高，则可以得到这个平行四边形的面积是真的。其逆命 题和否命题分别如下： 逆命题：要想求出一个平行四边形的面积，就必须知道这个平行四边形的底和高。 否命题：如果不知道平行四边形的底和高，就无法求出这个平行四边形的面积。 显然教师总结的结论是本节课所得到结论的逆命题和否命题，与原命题并不等价。 (3)违背“函数”的单值性 平行四边形面积公式是： 面积=底×高 其实是一个函数关系.而函数关系所体现的对应关系是一种“允许多对一，不允许一对 多”的关系，就是说确定了底和高，则面积确定：但反过来，确定了面积，并不能确定底和 高。 如果教师在教学平行四边形的面积公式之后，提出如下问题供学生思考，也许会得到更 好的效果。 如果两个平行四边形等底、等高，则可以得到什么结论？（答：这两个平行四边形面积相 等。) 如果两个平行四边形面积相等，则可以得到什么结论？（答：只能说这两个平行四边形的 底和高的乘积相等，但无法确定底和高的对应关系。） 任何教学方法的顺利实施，都依赖于教师在课堂上的教学语言。教师在课堂上的每一句 话都或多或少地对学生产生着影响。因此，教师无论具备了多么先进的教育思想，采用了多 么先进的教学方法，都应该慎重地对待课堂上教学语言的设计，特别是“提问”式和“结论” 式的语言。 2.对一道“判断题”的分析 在某小学五年级单元测验试卷上有这样一道判断题： “长方体的6个面一定是长方形” 标准答案是“错”。通过对几位小学数学教师进行访谈，得到了如下几种解释。 (1)这道题所考查的知识点是“长方体的6个面中允许相对的两个面是正方形”，如果 学生答“对”，说明他没有认识到这一点，所以本题应该答“错”。 (2)正方形是特殊的长方形，但不是真的长方形，如果答“对”，不就没有包括正方形 的情况了吗？所以本题应该答“错”。 (3)“正方形是特殊的长方形”这句话在平面图形中是对的，但在立体图形中是不对的。 所以本题应该答“错”。 这些模棱两可、似是而非的解释令人困惑，如果学生听了这样的讲解，岂不是越听越糊 涂。看来矛盾的焦点在于如何理解“正方形”与“长方形”这两个概念之间的关系。 其实概念之间的关系大致来说有两种：一种是相容关系：另一种是相斥关系。如果两个 概念所包括的对象（外延）有共同的部分，那么这两个概念之间的关系就是相容关系。如果两 个概念所包括的对象（外延）没有共同的部分，这两个概念之间的关系就是相斥关系。 例如，“质数”和“偶数”这两个概念，由于2既是质数又是偶数，这两个概念所指的
7b986aaa65124980b8b188fcdaae49e1.doc 第 5 页 共 14 页 关系。 (2)不合逻辑 从逻辑的角度看，一个命题与它的逆否命题是等价的，它的逆命题与它的逆命题与它的 否命题是等价的，但命题与它的逆命题和否命题是不等价的。这就是说，一个真命题的逆命 题和否命题未必是真的。根据平行四边形面积公式，可以知道命题，即： 如果已知一个平行四边形的底和高，则可以得到这个平行四边形的面积是真的。其逆命 题和否命题分别如下： 逆命题：要想求出一个平行四边形的面积，就必须知道这个平行四边形的底和高。 否命题：如果不知道平行四边形的底和高，就无法求出这个平行四边形的面积。 显然教师总结的结论是本节课所得到结论的逆命题和否命题，与原命题并不等价。 (3)违背“函数”的单值性 平行四边形面积公式是： 面积=底 高 其实是一个函数关系．而函数关系所体现的对应关系是一种“允许多对一，不允许一对 多”的关系，就是说确定了底和高，则面积确定；但反过来，确定了面积，并不能确定底和 高。 如果教师在教学平行四边形的面积公式之后，提出如下问题供学生思考，也许会得到更 好的效果。 如果两个平行四边形等底、等高，则可以得到什么结论?(答：这两个平行四边形面积相 等。) 如果两个平行四边形面积相等，则可以得到什么结论?(答：只能说这两个平行四边形的 底和高的乘积相等，但无法确定底和高的对应关系。) 任何教学方法的顺利实施，都依赖于教师在课堂上的教学语言。教师在课堂上的每一句 话都或多或少地对学生产生着影响。因此，教师无论具备了多么先进的教育思想，采用了多 么先进的教学方法，都应该慎重地对待课堂上教学语言的设计，特别是“提问”式和“结论” 式的语言。 2．对一道“判断题”的分析 在某小学五年级单元测验试卷上有这样一道判断题： “长方体的 6 个面一定是长方形” 标准答案是“错”。通过对几位小学数学教师进行访谈，得到了如下几种解释。 （1）这道题所考查的知识点是“长方体的 6 个面中允许相对的两个面是正方形”，如果 学生答“对”，说明他没有认识到这一点，所以本题应该答“错”。 （2）正方形是特殊的长方形，但不是真的长方形，如果答“对”，不就没有包括正方形 的情况了吗?所以本题应该答“错”。 （3）“正方形是特殊的长方形”这句话在平面图形中是对的，但在立体图形中是不对的。 所以本题应该答“错”。 这些模棱两可、似是而非的解释令人困惑，如果学生听了这样的讲解，岂不是越听越糊 涂。看来矛盾的焦点在于如何理解“正方形”与“长方形”这两个概念之间的关系。 其实概念之间的关系大致来说有两种：一种是相容关系；另一种是相斥关系。如果两个 概念所包括的对象(外延)有共同的部分，那么这两个概念之间的关系就是相容关系。如果两 个概念所包括的对象(外延)没有共同的部分，这两个概念之间的关系就是相斥关系。 例如，“质数”和“偶数”这两个概念，由于 2 既是质数又是偶数，这两个概念所指的
7b986aaa65124980b8b188fcdaae49el.doc 第6页共 14页 对象有公共部分，所以“质数”和“偶数”这两个概念符合相容关系。 再如“奇数”和“偶数”这两个概念，由于奇数中没有偶数，偶数中也没有奇数，所以 这两个概念属于相斥关系。 相容关系中有一种特殊的情况，如果甲概念具有乙概念的全部属性，就意味着甲概念所 包括的全部对象（外延）包含在乙概念所指对象（外延）中，这时称这两个概念之间的关系为属 种关系，其中甲概念就是相对于乙概念的种概念，乙概念就是相对于甲概念的属概念。 下面来分析长方形和正方形这两个概念之间的关系。首先将长方形所具有的属性列举出 来。 ·是四边形： ·对边互相平行且长度相等： ·四个角都是直角： ·两条对角线长度相等且互相平分： ·面积等于相邻两边长度的乘积。 不难发现诸如此类的所有属性正方形都是具备的，就是说长方形所包含的对象（外延） 中应该含有正方形，所以长方形是相对于正方形的属概念，正方形是相对于长方形的种概念。 正是由于正方形具备了长方形的所有属性，所以说“正方形是长方形”这个命题就是正 确的。其实这里蕴含的意思是长方形按照相邻边的相等与不等可以分为以下两类： 第一类4条边长度相等的长方形，即正方形。 第二类长和宽不相等的长方形。 无论是哪一类，都属于长方形这一大类中。类似于此符合属种关系的概念还有：长方形 与平行四边形，梯形与平行四边形，四边形与梯形，长方体与正方体，偶数与4的倍数，数 与分数等。 翻阅小学数学教科书，发现对此问题的叙述也有欠妥之处，这也许是出现误解的原因之 一。在《九年义务教育六年制小学试用课本数学》第十册第5页上，对长方体的面的特征是 这样叙述的：“长方体有6个面，一般都是长方形（也可能有两个相对的面是正方形）。” 其中“一般”和“也可能”的用词搭配，给人一种感觉，就是这里的长方形指的是长和 宽不相等的那一类长方形，无形之中偷换了概念，把叙述中的“长方形”和“正方形”之间 的关系变成了相斥关系，完全违背了两个概念之间的属种（相容）关系，如果把这句话换成下 面的叙述也许会好一些： “长方体有6个面，每个面都是长方形（包括两个相对的面是正方形的情况）。” 概念的教学应该是数学教学的重点，同时也是难点，除了揭示每一个概念的内涵和外延， 还要让学生正确理解概念之间的关系。这对逻辑思维正在形成过程中的学生来说，尤为重要， 教学过程中切不可模棱两可、似是而非，更不能自相矛盾。 二、数学教育的基本矛盾 自古以来，数学教育中就存在两种数学观的对峙。一种是把数学看作解决实际问题的知 识，另一种是把数学看作训练人的心智的工具。古巴比伦、古埃及和中国代表着第一种倾向， 那时的数学基本上是为解决诸如分配、丈量、建筑、交换等实际问题而产生与发展的。几乎 不存在有意识的思维抽象、论证推理。而古希腊的数学走的是另外一条路，古希腊的数学家 常常是集哲学家、思想家于一身，喜欢抽象的概念和演绎推理，追求思维的严密，对实际问 题不感兴趣
7b986aaa65124980b8b188fcdaae49e1.doc 第 6 页 共 14 页 对象有公共部分，所以“质数”和“偶数”这两个概念符合相容关系。 再如“奇数”和“偶数”这两个概念，由于奇数中没有偶数，偶数中也没有奇数，所以 这两个概念属于相斥关系。 相容关系中有一种特殊的情况，如果甲概念具有乙概念的全部属性，就意味着甲概念所 包括的全部对象(外延)包含在乙概念所指对象(外延)中，这时称这两个概念之间的关系为属 种关系，其中甲概念就是相对于乙概念的种概念，乙概念就是相对于甲概念的属概念。 下面来分析长方形和正方形这两个概念之间的关系。首先将长方形所具有的属性列举出 来。 ·是四边形； ·对边互相平行且长度相等； ·四个角都是直角； ·两条对角线长度相等且互相平分； ·面积等于相邻两边长度的乘积． 不难发现诸如此类的所有属性正方形都是具备的，就是说长方形所包含的对象(外延) 中应该含有正方形，所以长方形是相对于正方形的属概念，正方形是相对于长方形的种概念。 正是由于正方形具备了长方形的所有属性，所以说“正方形是长方形”这个命题就是正 确的。其实这里蕴含的意思是长方形按照相邻边的相等与不等可以分为以下两类： 第一类 4 条边长度相等的长方形，即正方形。 第二类长和宽不相等的长方形。 无论是哪一类，都属于长方形这一大类中。类似于此符合属种关系的概念还有：长方形 与平行四边形，梯形与平行四边形，四边形与梯形，长方体与正方体，偶数与 4 的倍数，数 与分数等。 翻阅小学数学教科书，发现对此问题的叙述也有欠妥之处，这也许是出现误解的原因之 一。在《九年义务教育六年制小学试用课本数学》第十册第 5 页上，对长方体的面的特征是 这样叙述的：“长方体有 6 个面，一般都是长方形(也可能有两个相对的面是正方形)。” 其中“一般”和“也可能”的用词搭配，给人一种感觉，就是这里的长方形指的是长和 宽不相等的那一类长方形，无形之中偷换了概念，把叙述中的“长方形”和“正方形”之间 的关系变成了相斥关系，完全违背了两个概念之间的属种(相容)关系，如果把这句话换成下 面的叙述也许会好一些： “长方体有 6 个面，每个面都是长方形(包括两个相对的面是正方形的情况)。” 概念的教学应该是数学教学的重点，同时也是难点，除了揭示每一个概念的内涵和外延， 还要让学生正确理解概念之间的关系。这对逻辑思维正在形成过程中的学生来说，尤为重要， 教学过程中切不可模棱两可、似是而非，更不能自相矛盾。 二、数学教育的基本矛盾 自古以来，数学教育中就存在两种数学观的对峙。一种是把数学看作解决实际问题的知 识，另一种是把数学看作训练人的心智的工具。古巴比伦、古埃及和中国代表着第一种倾向， 那时的数学基本上是为解决诸如分配、丈量、建筑、交换等实际问题而产生与发展的。几乎 不存在有意识的思维抽象、论证推理。而古希腊的数学走的是另外一条路，古希腊的数学家 常常是集哲学家、思想家于一身，喜欢抽象的概念和演绎推理，追求思维的严密，对实际问 题不感兴趣
7b986aaa65124980b8b188fcdaae49el.doc 第7页共 14页 时至今日，古今中外数学教育可以说发生了很大变化，但仍然没有摆脱这两种数学观的 影响。数学教育中的许多纷争其实就源于此。 所谓数学教育无非研究诸如“教什么？”、“教给谁？”、“谁来教？”、“怎么教？”、“怎么学？” 这样一些问题，归纳起来就是数学内容、教师的教、学生的学3个方面。如果把这3点看作 一个等边三角形的三个顶点，问题的关键在于这个三角形的重心在哪里？ 英国教育家培根(F,Bacon,1561~1626)提出的名言“知识就是力量”，捷克教育家夸 美纽斯(J.A.Comenius,1592~1670)在其名著《大教学论》(1632)里提出的“把一切知识 教给一切人”大概都是学科中心论的典型口号。18世纪法国启蒙思想家卢梭 (J.J.Rousseau,1712~1778)在其名著《爱弥尔》(1762)中所倡导的“自然教育论”，以 及20世纪初美国实用主义哲学家杜威(J.Dewey.,1859~1952)所倡导的“教育即生活”应 该属于儿童中心论的典型代表。我国教育家陶行知所倡导的“教、学、做合一”也应属于这 一范畴。 所谓数学教育观其实还是教育观的问题，三角形的3个顶点忽视了任何一个，都会出现 缺憾。数学教育的任务就是不断地向这个三角形的真实重心逼近。 由此看来，数学教育的基本矛盾就在于“数学”与“教育”这两个方面。“新数学运 动”失败的根本原因就在于过分强调“数学”一方，忽视了“教育”一方。前面案例中的问 题反映出作为数学教师仅仅重视“教育”的方法是不够的，还需要对“数学”有足够的认识 与理解。美国的《学校数学的原则与标准》己经显示出协调这一基本矛盾的倾向。 综上所述，如何协调“数学”与“教育”的矛盾就成为数学教育的基本课题。 三、从数学教育到教育数学 数学教育的内容自然应该是数学，数学是实施数学教育的载体。问题是什么样的数学可 以用于数学教育？长期以来，数学教材的编写存在着这样一种认识，认为数学教材编写的主 要矛盾是数学的逻辑体系与学生认知的心理体系之间的矛盾。这种认识的思想基础是认为 用于数学教育的“数学”是一成不变、无须加工的，只需要对其进行所谓“教学法的加工”。 事实果真如此吗？数学教材的编写至少在如下5个方面是所谓“教学法的加工”所无力解决 的。 1.对“好数学”的甄别、改造与创造 用于数学教育的数学基础知识应该是客观世界的空间形式和数量关系的反映。而同样 的空间形式和数量关系往往可以用不同的数学概念、命题、结构、体系来反映。例如，罗马 数字的算术与印度一阿拉伯数字的算术对同样的计算问题可以得出同样的结果，孰优孰劣需 要甄别：计量单位可以是英制，也可以是市制，甚至可以是“自制”：再如，同为空间形式 反映的几何，可以是欧氏几何体系，也可以是非欧几何体系。 不同的反映方式，尽管都是客观世界的正确反映，但反映的优劣可能是不同的，因此产 生的教育效果可以是不同的。对这种“好数学”的甄别、改造乃至创造恐怕不是“教育”能 够解决的。 2.体现数学的发生与发展 任何事物的产生都有其产生的原因。在数学教学中揭示这种原因应该是体现数学发生、 发展的重要手段。作为教育任务的数学都是前辈大师们留下的宝贵财富，前辈大师发现它们 的缘由需要后人努力地理解：另一方面，前辈大师们发现它们的缘由可能与现实教育情境与 教育对象有较大距离，如何在数学教学中自圆其说地展示数学的发生与发展就成为数学教育 的现实问题
7b986aaa65124980b8b188fcdaae49e1.doc 第 7 页 共 14 页 时至今日，古今中外数学教育可以说发生了很大变化，但仍然没有摆脱这两种数学观的 影响。数学教育中的许多纷争其实就源于此。 所谓数学教育无非研究诸如“教什么?”、“教给谁?”、“谁来教?”、“怎么教?”、“怎么学?” 这样一些问题，归纳起来就是数学内容、教师的教、学生的学 3 个方面。如果把这 3 点看作 一个等边三角形的三个顶点，问题的关键在于这个三角形的重心在哪里? 英国教育家培根(F，Bacon，156l～1626)提出的名言“知识就是力量”，捷克教育家夸 美纽斯(J．A．Comenius，1592～1670)在其名著《大教学论》(1632)里提出的“把一切知识 教给一切 人” 大概都 是学科 中心论 的典 型口号 。 18 世纪法 国启 蒙思想 家卢梭 (J．J．Rousseau，1712～1778)在其名著《爱弥尔》(1762)中所倡导的“自然教育论”，以 及 20 世纪初美国实用主义哲学家杜威(J．Dewey，1859～1952)所倡导的“教育即生活”应 该属于儿童中心论的典型代表。我国教育家陶行知所倡导的“教、学、做合一”也应属于这 一范畴。 所谓数学教育观其实还是教育观的问题，三角形的 3 个顶点忽视了任何一个，都会出现 缺憾。数学教育的任务就是不断地向这个三角形的真实重心逼近。 由此看来，数学教育的基本矛盾就在于“数学”与“教育”这两个方面。 “新数学运 动”失败的根本原因就在于过分强调“数学”一方，忽视了“教育”一方。前面案例中的问 题反映出作为数学教师仅仅重视“教育”的方法是不够的，还需要对“数学”有足够的认识 与理解。美国的《学校数学的原则与标准》已经显示出协调这一基本矛盾的倾向。 综上所述，如何协调“数学”与“教育”的矛盾就成为数学教育的基本课题。 三、从数学教育到教育数学 数学教育的内容自然应该是数学，数学是实施数学教育的载体。问题是什么样的数学可 以用于数学教育? 长期以来，数学教材的编写存在着这样一种认识，认为数学教材编写的主 要矛盾是数学的逻辑体系与学生认知的心理体系之间的矛盾。 这种认识的思想基础是认为 用于数学教育的“数学”是一成不变、无须加工的，只需要对其进行所谓“教学法的加工”。 事实果真如此吗? 数学教材的编写至少在如下 5 个方面是所谓“教学法的加工”所无力解决 的。 1．对“好数学”的甄别、改造与创造 用于数学教育的数学基础知识应该是客观世界的空间形式和数量关系的反映。 而同样 的空间形式和数量关系往往可以用不同的数学概念、命题、结构、体系来反映。例如，罗马 数字的算术与印度一阿拉伯数字的算术对同样的计算问题可以得出同样的结果，孰优孰劣需 要甄别；计量单位可以是英制，也可以是市制，甚至可以是“自制”；再如，同为空间形式 反映的几何，可以是欧氏几何体系，也可以是非欧几何体系。 不同的反映方式，尽管都是客观世界的正确反映，但反映的优劣可能是不同的，因此产 生的教育效果可以是不同的。对这种“好数学”的甄别、改造乃至创造恐怕不是“教育”能 够解决的。 2．体现数学的发生与发展 任何事物的产生都有其产生的原因。在数学教学中揭示这种原因应该是体现数学发生、 发展的重要手段。作为教育任务的数学都是前辈大师们留下的宝贵财富，前辈大师发现它们 的缘由需要后人努力地理解；另一方面，前辈大师们发现它们的缘由可能与现实教育情境与 教育对象有较大距离，如何在数学教学中自圆其说地展示数学的发生与发展就成为数学教育 的现实问题
7b986aaa65124980b8b188fcdaae49el.doc 第8页共 14页 以质数概念为例，如果一定要在学生所熟悉的日常生活中找到直接的模型，恐怕是不可 行的。实际上初等数论的许多概念起源于古希腊人对世界人生的企盼与愿望，在现实世界中 很难给出自圆其说的解释。如果把质数的产生解释为人们认识大数的思维追求可能更为恰 当，因为辩证唯物主义的认识论告诉我们应该用“化繁为简”的方法认识事物，而质数其实 就是能够表示并制约所有自然数的最微小元素。有了这种认识，诸如因数、质因数、分解质 因数、整除等概念的发生过程就成为自然而然的事情了。 3.体现数学的思想与方法 在数学教学中体现数学的思想与方法，这几乎是所有国家数学教育的共识，问题是何谓 数学的思想与方法？在教学中如何体现？事实上，数学的思想与方法，归根到底应该是辩证 唯物主义思想和方法在数学中的具体体现。 因此，从哲学的角度审视用于教育的数学应该是在数学教学中体现数学思想、方法的有 效途径。 以“化归”为例，普遍的认识认为“化归”是数学中基本的思想方法，当偏重于指导思 想时，称之为化归的思想。当偏重于解决问题的方式、途径、工具、策略时，称之为化归的 方法。其实“化归”充其量是实现数学对象、模式(Panern),之间进行转化的一种方法。因为 在“为什么化归？”、“向什么方向化归？”等问题上，归根到底要依赖于事物之间的普遍联系 以及矛盾的对立统一等辩证唯物主义思想的指导。 4.正确处理表述的科学性与学生可接受性之间的关系 表述的科学性应该是数学教学的灵魂，无论什么样的教学法加工也不能违背数学的科学 性。有时为了照顾到学生的可接受性，不得不牺牲数学表述的“严谨”。但是，不严谨不等 于不科学。例如，“不完全归纳”从逻辑上说是不严谨的，但不完全归纳是科学的思考方法， 在数学教学中是允许使用的。在处理表述的科学性与学生可接受性之间关系的问题上，需要 严格区分表述的“不严谨”和表述的“不科学”。事实上，表述的“科学”还是“不科学” 与学生的“可接受”还是“不可接受”并无直接的关系，评判准则还是由数学本身所决定， 切不可以“学生可接受”为由而容忍违背科学性的表述。前面案例中的问题就属于表述不科 学，在数学教学中是不允许出现的 5.在生活实践中挖掘数学材料 在学生熟悉的生活实践中挖掘数学材料作为教学内容，使学生在学习中受到数学的亲 切。这件工作貌似容易，其实并不简单。要求研究者要熟悉作为教育的数学，同时要了解相 应年龄段学生的生活、兴趣以及心理状况。 扑克牌应该是多数学生熟悉的娱乐工具，同时也是挖掘数学学习材料的无穷资源。例 如，利用扑克牌所做的“24点”游戏不仅可以在娱乐中训练计算能力，同时也可以作为理 解原理、概念的工具。例如，利用“Q(12),Q(12),10,8”和“A,A,A,A 这4张牌计算24”，学生可以学习到以下内容： (1)由“我算不出来”可以猜想“算法不存在”，但不能肯定不存在。这里不仅包含有 “可能性”与“必然性”的关系，同时也渗透有“猜想”与“证明”的思想。 (2)由算法的不惟一性，可以认识达到一个目标的途径是多样的，渗透了“优化”的 思想。 (3)针对“Q(12),Q(12),10,8”的一种算法是：“10个Q减去8个Q等于2个Q, 即24”，不仅对巩固“乘法的意义”有所裨益，而且自然地呈现了乘法对减法的分配律。 (4)在对A,A,A,A算法不存在的原因的思考与说明中，可以使学生在逻辑思维以及
7b986aaa65124980b8b188fcdaae49e1.doc 第 8 页 共 14 页 以质数概念为例，如果一定要在学生所熟悉的日常生活中找到直接的模型，恐怕是不可 行的。实际上初等数论的许多概念起源于古希腊人对世界人生的企盼与愿望，在现实世界中 很难给出自圆其说的解释。如果把质数的产生解释为人们认识大数的思维追求可能更为恰 当，因为辩证唯物主义的认识论告诉我们应该用“化繁为简”的方法认识事物，而质数其实 就是能够表示并制约所有自然数的最微小元素。有了这种认识，诸如因数、质因数、分解质 因数、整除等概念的发生过程就成为自然而然的事情了。 3．体现数学的思想与方法 在数学教学中体现数学的思想与方法，这几乎是所有国家数学教育的共识，问题是何谓 数学的思想与方法? 在教学中如何体现? 事实上，数学的思想与方法，归根到底应该是辩证 唯物主义思想和方法在数学中的具体体现。 因此，从哲学的角度审视用于教育的数学应该是在数学教学中体现数学思想、方法的有 效途径。 以“化归”为例，普遍的认识认为“化归”是数学中基本的思想方法，当偏重于指导思 想时，称之为化归的思想。当偏重于解决问题的方式、途径、工具、策略时，称之为化归的 方法。其实“化归”充其量是实现数学对象、模式(Panern)之间进行转化的一种方法。因为 在“为什么化归?”、“向什么方向化归?”等问题上，归根到底要依赖于事物之间的普遍联系 以及矛盾的对立统一等辩证唯物主义思想的指导。 4．正确处理表述的科学性与学生可接受性之间的关系 表述的科学性应该是数学教学的灵魂，无论什么样的教学法加工也不能违背数学的科学 性。有时为了照顾到学生的可接受性，不得不牺牲数学表述的“严谨”。但是，不严谨不等 于不科学。例如，“不完全归纳”从逻辑上说是不严谨的，但不完全归纳是科学的思考方法， 在数学教学中是允许使用的。在处理表述的科学性与学生可接受性之间关系的问题上，需要 严格区分表述的“不严谨”和表述的“不科学”。事实上，表述的“科学”还是“不科学” 与学生的“可接受”还是“不可接受”并无直接的关系，评判准则还是由数学本身所决定， 切不可以“学生可接受”为由而容忍违背科学性的表述。前面案例中的问题就属于表述不科 学，在数学教学中是不允许出现的 5．在生活实践中挖掘数学材料 在学生熟悉的生活实践中挖掘数学材料作为教学内容，使学生在学习中受到数学的亲 切。这件工作貌似容易，其实并不简单。要求研究者要熟悉作为教育的数学，同时要了解相 应年龄段学生的生活、兴趣以及心理状况。 扑克牌应该是多数学生熟悉的娱乐工具，同时也是挖掘数学学习材料的无穷资源。 例 如，利用扑克牌所做的“24 点”游戏不仅可以在娱乐中训练计算能力，同时也可以作为理 解原理、概念的工具。例如，利用“Q(12)， Q(12)， 10， 8”和“A， A， A， A 这 4 张牌计算 24”，学生可以学习到以下内容： （1）由“我算不出来”可以猜想“算法不存在”，但不能肯定不存在。这里不仅包含有 “可能性”与“必然性”的关系，同时也渗透有“猜想”与“证明”的思想。 （2）由算法的不惟一性，可以认识达到一个目标的途径是多样的，渗透了“优化”的 思想。 （3）针对“Q(12)，Q(12)，10，8”的一种算法是：“10 个 Q 减去 8 个 Q 等于 2 个 Q， 即 24”，不仅对巩固“乘法的意义”有所裨益，而且自然地呈现了乘法对减法的分配律。 （4）在对 A，A，A，A 算法不存在的原因的思考与说明中，可以使学生在逻辑思维以及
7b986aaa65124980b8b188fcdaae49el.doc 第9页共 14页 数学表达和合作交流方面得到训练。 (5)计算24不一定使用扑克牌，生活中遇到的数（如汽车牌号）都可以计算，因此拓宽 了学生学习的时空。 以上五个方面应该是数学教学中的关键问题，当然不能说与“教育”没有关系，但显然 对这些问题的研究更偏重于对数学本身的理解，因此重心应该位于数学的范畴，而不应该属 于教育学、心理学的范畴。 针对这些问题的研究较之数学家们在数学发展前沿的研究亦有区别，因为研究的对象毕 竞是用于教育的数学，是对己有数学的加工、整理、改造乃至再创造。因此，我国数学家张 景中院士把研究这样问题的学科称为“教育牧学”，教育数学其实应该成为弥补“数学”与 “教育”之间鸿沟的学科。 思考题：如何设计一份圆面积计算公式的教学教案？举例说明完全归纳法与 不完全归纳法的区别？数学教育存在的问题是什么？ 《数学思想与方法》下篇习题解答 第十一章数学思想方法与素质教育 1、简述数学知识与数学思想方法在数学教材中的关系。 答数学知识与数学思想方法是贯穿在数学教材里的两条线。数学知识是一条明线，直 接用文字明明白白地写在教材里，反映着知识间的纵向联系；数学思想方法则是一条暗线， 反映着知识间的横向联系，常常隐藏在基础知识的背后，需要人们加以分析、提炼才能使之 显露出来。 2、简述《国家数学课程标准》的几个主要特点。 答2001年6月教育部推行了试用的九年义务教育阶段《国家数学课程标准》（实验稿）， 充分体现了数学课程改革与发展的内涵、特点和具体目标，并呈现下列八个特点： 第一、把“现实数学”作为数学课程的一项内容。即为学生准备的数学应该是与现实世 界密切联系的数学，且能够在实际中得到应用的数学。 第二、把“数学化”作为数学课程的一个目标。学生学习数学化的过程是将学生的现实 数学进一步提高、抽象的过程。 第三、把“再创造”作为数学教育的一条原则。把“已完成的数学”当成是“未完成的 数学”来教，给学生提供“再创造”的机会。 第四、把“问题解决”作为数学教学的一种模式。《数学课程标准》在“学段目标”中 的“解决问题”方面的具体阐述，实际上提出了“问题解决”的教学模式，即：情境一问题 一探索一结论一反思。 第五、把“数学思想方法”作为课程体系的一条主线。要求学生掌握基本的数学思想方 法。 第六、把“数学活动”作为数学课程的一个方面。强调学生的数学活动，注重“向学生
7b986aaa65124980b8b188fcdaae49e1.doc 第 9 页 共 14 页 数学表达和合作交流方面得到训练。 （5）计算 24 不一定使用扑克牌，生活中遇到的数(如汽车牌号)都可以计算，因此拓宽 了学生学习的时空。 以上五个方面应该是数学教学中的关键问题，当然不能说与“教育”没有关系，但显然 对这些问题的研究更偏重于对数学本身的理解，因此重心应该位于数学的范畴，而不应该属 于教育学、心理学的范畴。 针对这些问题的研究较之数学家们在数学发展前沿的研究亦有区别，因为研究的对象毕 竟是用于教育的数学，是对已有数学的加工、整理、改造乃至再创造。因此，我国数学家张 景中院士把研究这样问题的学科称为“教育牧学”，教育数学其实应该成为弥补“数学”与 “教育”之间鸿沟的学科。 思考题：如何设计一份圆面积计算公式的教学教案？举例说明完全归纳法与 不完全归纳法的区别？数学教育存在的问题是什么？ 《数学思想与方法》下篇习题解答 第十一章 数学思想方法与素质教育 1、简述数学知识与数学思想方法在数学教材中的关系。 答 数学知识与数学思想方法是贯穿在数学教材里的两条线。数学知识是一条明线，直 接用文字明明白白地写在教材里，反映着知识间的纵向联系；数学思想方法则是一条暗线， 反映着知识间的横向联系，常常隐藏在基础知识的背后，需要人们加以分析、提炼才能使之 显露出来。 2、简述《国家数学课程标准》的几个主要特点。 答 2001 年 6 月教育部推行了试用的九年义务教育阶段《国家数学课程标准》(实验稿)， 充分体现了数学课程改革与发展的内涵、特点和具体目标，并呈现下列八个特点： 第一、把“现实数学”作为数学课程的一项内容。即为学生准备的数学应该是与现实世 界密切联系的数学，且能够在实际中得到应用的数学。 第二、把“数学化”作为数学课程的一个目标。学生学习数学化的过程是将学生的现实 数学进一步提高、抽象的过程。 第三、把“再创造”作为数学教育的一条原则。把“已完成的数学”当成是“未完成的 数学”来教，给学生提供“再创造”的机会。 第四、把“问题解决”作为数学教学的一种模式。《数学课程标准》在“学段目标”中 的“解决问题”方面的具体阐述，实际上提出了“问题解决”的教学模式，即：情境—问题 —探索—结论—反思。 第五、把“数学思想方法”作为课程体系的一条主线。要求学生掌握基本的数学思想方 法。 第六、把“数学活动”作为数学课程的一个方面。强调学生的数学活动，注重“向学生
7b986aaa65124980b8b188fcdaae49el.doc 第10页 共14页 提供充分从事数学活动的机会”，帮助他们“获得广泛的数学活动的经验”。 第七、把“合作交流”看成学生学习数学的一种方式。要让学生在解决问题的过程中 “学会与他人合作”，并能“与他人交流思维的过程和结果”。 第八、把“现代信息技术”作为学生学习数学的一种工具。 3、简述提高小学数学课堂教学效益应注意的几个问题？ 答题要点：(1)激发学生学习数学的内在动机。在教学过程中，教师要重视数学思想方 法的教学，使学生认识到数学的价值。 (2)教师要研究学生，研究教材、用好教材。教师要认真研究教材、研究学生，对进入 教材的现代数学观念要由浅入深、从感性到理性的形式逐步加以渗透。脱离学生实际的强调 一次将概念讲深讲透，深挖洞做难题、怪题是不可取。用好教材，就是充分挖掘教材的教育 资源，利用教材提供的范例开展合作学习。 (3)认真研究练习题的数量问题。教师要研究习题、精选习题，力求用较少的数学问题 对学生进行思维训练达到收效最佳的作用。这样的问题应该设计得使学生参与的练习实践显 多样化。题目可以是常规的，也可以是非常规的，在题中可以出现多余信息或缺少信息，或 有多种答案等多种情况。让学生在练习中学会分析信息，利用信息去解决问题。 (4)正确区分问题、习题、考题。充分挖掘数学问题的教育价值，规避习题、考题的负 面效果。 4、试述小学数学加强数学思想方法教学的重要性。 答数学思想方法是联系知识与能力的纽带，是数学科学的灵魂，它对发展学生的数 学能力，提高学生的思维品质都具有十分重要的作用。具体表现在： (1)掌握数学思想方法能更好地理解数学知识。 (2)数学思想方法对数学问题的解决有着重要的作用。 3)加强数学思想方法的教学是以学生发展为本的必然要求。 第十二章数学思想方法教学 1、简述学生理解数学思想方法的几个主要阶段。 答：学生理解数学思想方法要经历潜意识阶段、明朗化阶段、深化理解三个阶段。 2、简述数学思想方法教学的主要阶段。 答：数学思想方法教学主要有多次孕育、初步理解、简单应用三个阶段。 3、简述数学思想方法教学应注意哪些事项？ 答：数学思想方法教学应注意以下事项： (1)把数学思想方法的教学纳入教学目标： (2)重视数学知识发生、发展的过程，认真设计数学思想方法教学的目标： (3)做好数学思想方法教学的铺垫工作和巩固工作： (4)不同数学思想方法应有不同的教学要求： (⑤)注意不同数学思想方法的综合应用。 4、分析下列材料所蕴含的数学思想方法。 材料：问题(1)将完全相同的直角三角形如下图排列： B
7b986aaa65124980b8b188fcdaae49e1.doc 第 10 页 共 14 页 提供充分从事数学活动的机会”，帮助他们“获得广泛的数学活动的经验”。 第七、把“合作交流”看成学生学习数学的一种方式。要让学生在解决问题的过程中 “学会与他人合作”，并能“与他人交流思维的过程和结果”。 第八、把“现代信息技术”作为学生学习数学的一种工具。 3、简述提高小学数学课堂教学效益应注意的几个问题？ 答题要点：(1)激发学生学习数学的内在动机。在教学过程中，教师要重视数学思想方 法的教学，使学生认识到数学的价值。 (2)教师要研究学生，研究教材、用好教材。教师要认真研究教材、研究学生，对进入 教材的现代数学观念要由浅入深、从感性到理性的形式逐步加以渗透。脱离学生实际的强调 一次将概念讲深讲透，深挖洞做难题、怪题是不可取。用好教材，就是充分挖掘教材的教育 资源，利用教材提供的范例开展合作学习。 (3)认真研究练习题的数量问题。教师要研究习题、精选习题，力求用较少的数学问题 对学生进行思维训练达到收效最佳的作用。这样的问题应该设计得使学生参与的练习实践显 多样化。题目可以是常规的，也可以是非常规的，在题中可以出现多余信息或缺少信息，或 有多种答案等多种情况。让学生在练习中学会分析信息，利用信息去解决问题。 (4)正确区分问题、习题、考题。充分挖掘数学问题的教育价值，规避习题、考题的负 面效果。 4、试述小学数学加强数学思想方法教学的重要性。 答 数学思想方法是联系知识与能力的纽带，是数学科学的灵魂，它对发展学生的数 学能力，提高学生的思维品质都具有十分重要的作用。具体表现在： (1)掌握数学思想方法能更好地理解数学知识。 (2)数学思想方法对数学问题的解决有着重要的作用。 (3)加强数学思想方法的教学是以学生发展为本的必然要求。 第十二章 数学思想方法教学 1、简述学生理解数学思想方法的几个主要阶段。 答：学生理解数学思想方法要经历潜意识阶段、明朗化阶段、深化理解三个阶段。 2、简述数学思想方法教学的主要阶段。 答：数学思想方法教学主要有多次孕育、初步理解、简单应用三个阶段。 3、简述数学思想方法教学应注意哪些事项？ 答：数学思想方法教学应注意以下事项： (1)把数学思想方法的教学纳入教学目标； (2)重视数学知识发生、发展的过程，认真设计数学思想方法教学的目标； (3)做好数学思想方法教学的铺垫工作和巩固工作； (4)不同数学思想方法应有不同的教学要求； (5)注意不同数学思想方法的综合应用。 4、分析下列材料所蕴含的数学思想方法。 材料：问题(1)将完全相同的直角三角形如下图排列：