第三章网孔分析法和结点分析法 第一章介绍的2b法，支路电流法和支路电压法可以解 决任何线性电阻电路的分析问题。缺点是需要联立求解 的方程数目太多，给“笔”算求解带来困难。 在第二章讨论了简单电阻电路分析，不用求解联立方 程，就可以求得电路中的某些电压电流。 本章介绍利用独立电流或独立电压作变量来建立电 路方程的分析方法，可以减少联立求解方程的数目，适 合于求解稍微复杂一点的线性电阻电路，是“笔”算求 解线性电阻电路最常用的分析方法
第三章 网孔分析法和结点分析法 第一章介绍的2b法，支路电流法和支路电压法可以解 决任何线性电阻电路的分析问题。缺点是需要联立求解 的方程数目太多，给“笔”算求解带来困难。 在第二章讨论了简单电阻电路分析，不用求解联立方 程，就可以求得电路中的某些电压电流。 本章介绍利用独立电流或独立电压作变量来建立电 路方程的分析方法，可以减少联立求解方程的数目，适 合于求解稍微复杂一点的线性电阻电路，是“笔”算求 解线性电阻电路最常用的分析方法
§3-1网孔分析法 在支路电流法一节中已述及，由独立电压源和线性电 阻构成的电路，可用b个支路电流变量来建立电路方程。在 个支路电流中，只有一部分电流是独立电流变量，另一部 分电流则可由这些独立电流来确定。若用独立电流变量来 建立电路方程，则可进一步减少电路方程数。 对于具有条支路和个结点的平面连通电路来说，它 的(b-+1)个网孔电流就是一组独立电流变量。用网孔电流 作变量建立的电路方程，称为网孔方程。求解网孔方程得 到网孔电流后，用KCL方程可求出全部支路电流，再用 VCR方程可求出全部支路电压
§3－1网孔分析法 在支路电流法一节中已述及，由独立电压源和线性电 阻构成的电路，可用b个支路电流变量来建立电路方程。在 b个支路电流中，只有一部分电流是独立电流变量，另一部 分电流则可由这些独立电流来确定。若用独立电流变量来 建立电路方程，则可进一步减少电路方程数。 对于具有b条支路和n个结点的平面连通电路来说，它 的(b-n+1)个网孔电流就是一组独立电流变量。用网孔电流 作变量建立的电路方程，称为网孔方程。求解网孔方程得 到网孔电流后，用 KCL方程可求出全部支路电流，再用 VCR方程可求出全部支路电压
一、网孔电流 若将电压源和电阻串联作为一条支路时，该电路共有6 条支路和4个结点。对①、②、③结点写出KCL方程。 ② R2 i1+i3-i4=0→i4=1+i3 -i-i+is=0->is=i +i, i2-i3-i6=0→i6=i2-i3 支路电流14、i和，可以用另外三个支路电流1、和1的 线性组合来表示
一、网孔电流 0 0 0 2 3 6 1 2 5 1 3 4 − − = − − + = + − = i i i i i i i i i = − = + = + − − = → − − + = → + − = → 6 2 3 5 1 2 4 1 3 2 3 6 1 2 5 1 3 4 0 0 0 i i i i i i i i i i i i i i i i i i 若将电压源和电阻串联作为一条支路时，该电路共有6 条支路和4个结点。对①、②、③结点写出KCL方程。 支路电流i 4、i 5和i 6可以用另外三个支路电流i 1、i 2和i 3的 线性组合来表示
R2 i2 1+i3-i4=0→i4=i1+3 -i-i2+i5=0→i5=i+2 i2-i3-i6=0→i6=i2-i3 Ws3 电流、i和，是非独立电流，它们由独立电流、和 的线性组合确定。这种线性组合的关系，可以设想为电流、 i,和沿每个网孔边界闭合流动而形成，如图中箭头所示。 这种在网孔内闭合流动的电流，称为网孔电流。对于具有b 条支路和n个结点的平面连通电路来说，共有(b-+1)个网孔 电流，它是一组能确定全部支路电流的独立电流变量
电流i 4、i 5和i 6是非独立电流，它们由独立电流i 1、i 2和i 3 的线性组合确定。这种线性组合的关系，可以设想为电流i 1、 i 2和i 3沿每个网孔边界闭合流动而形成，如图中箭头所示。 这种在网孔内闭合流动的电流，称为网孔电流。对于具有b 条支路和n个结点的平面连通电路来说，共有(b-n+1)个网孔 电流，它是一组能确定全部支路电流的独立电流变量。 = − = + = + − − = → − − + = → + − = → 6 2 3 5 1 2 4 1 3 2 3 6 1 2 5 1 3 4 0 0 0 i i i i i i i i i i i i i i i i i i
二、网孔方程 以图示网孔电流方向为绕行方向，写出三个网孔的KVL 方程分别为： R i+Rsis Rais ust R2i2+Ri5+R。i6=us2 R33-R。i6+R4i4=-us3 将以下各式代入上式，消去4、 i和i,后可以得到： i4=,+i3is=i,ti26=i2-3 (R+R+Rs)in+Rsiz+Ris=ust Rsi+(R2+Rs+Ro)iz-Roi3=us 网孔方程 Ri1-Ri2+(R3+R4+R6)3=-s3
二、网孔方程 − + = − + + = + + = 3 3 6 6 4 4 S3 2 2 5 5 6 6 S2 1 1 5 5 4 4 S1 R i R i R i u R i R i R i u R i R i R i u 将以下各式代入上式，消去i 4、 i 5和i 6后可以得到： 4 1 3 5 1 2 6 2 3 i = i + i i = i + i i = i − i 网孔方程 − − + + = − + + + − = + + + + = 3 3 6 2 3 4 1 3 S3 2 2 5 1 2 6 2 3 S2 1 1 5 1 2 4 1 3 S1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R i R i i R i i u R i R i i R i i u R i 1 R 4 i 5 i 1 R 5 2 i i 4 3 u S1 (R + R + R )i + R i + R i = u 5 1 2 5 6 2 6 3 S2 R i + (R + R + R )i − R i = u 4 1 6 2 3 4 6 3 S3 R i − R i + (R + R + R )i = −u 以图示网孔电流方向为绕行方向，写出三个网孔的KVL 方程分别为：
将网孔方程写成一般形式： R1i1+R12i2+R133=s1 R2Ii1+R22i2+R233=4s22 R31i1+R32i2+R3i3=4s33 其中R1,R22和R33称为网孔自电阻，它们分别是各网孔 内全部电阻的总和。例如R11=R+R十，R22=R2十R+R6 R33=R3+R4+R6
将网孔方程写成一般形式： + + = + + = + + = 3 1 1 3 2 2 3 3 3 S33 2 1 1 2 2 2 2 3 3 S2 2 1 1 1 1 2 2 1 3 3 S1 1 R i R i R i u R i R i R i u R i R i R i u 其中R11, R22和R33称为网孔自电阻，它们分别是各网孔 内全部电阻的总和。例如R11 = R1+ R4+ R5 , R22 = R2 + R5+ R6 , R33 = R3+ R4+ R6
R(k为称为网孔k与网孔的互电阻，它们是两网孔公 共电阻的正值或负值。当两网孔电流以相同方向流过公共 电阻时取正号，例如R12=R21=R,R13=R31=R4。当两网孔 电流以相反方向流过公共电阻时取负号，例如R23=R32-R6。 4s、4s24s3分别为各网孔中全部电压源电压升的 代数和。绕行方向由-极到+极的电压源取正号；反之则 取负号。例如us11=us14s22us2us33-ws3
Rkj(kj)称为网孔k与网孔j的互电阻，它们是两网孔公 共电阻的正值或负值。当两网孔电流以相同方向流过公共 电阻时取正号，例如R12 = R21 = R5 , R13 = R31 = R4。当两网孔 电流以相反方向流过公共电阻时取负号，例如R23 = R32 =-R6。 uS11、uS22、uS33分别为各网孔中全部电压源电压升的 代数和。绕行方向由 - 极到 + 极的电压源取正号；反之则 取负号。例如uS11 =uS1,uS22 =uS2,uS33 =-uS3
由独立电压源和线性电阻构成电路的网孔方程很有规 律。可理解为各网孔电流在某网孔全部电阻上产生电压降 的代数和，等于该网孔全部电压源电压升的代数和。根据 以上总结的规律和对电路图的观察，就能直接列出网孔方 程。 R1i1+R12i2+R133=4s R2i1+R222+R2343=us22 (3-5) R311+R32i2+R33i3=us33
由独立电压源和线性电阻构成电路的网孔方程很有规 律。可理解为各网孔电流在某网孔全部电阻上产生电压降 的代数和，等于该网孔全部电压源电压升的代数和。根据 以上总结的规律和对电路图的观察，就能直接列出网孔方 程。 (3 - 5) 3 1 1 3 2 2 3 3 3 S33 2 1 1 2 2 2 2 3 3 S2 2 1 1 1 1 2 2 1 3 3 S1 1 + + = + + = + + = R i R i R i u R i R i R i u R i R i R i u
从以上分析可见，由独立电压源和线性电阻构成电路的网孔 方程很有规律。可理解为各网孔电流在某网孔全部电阻上产生 电压降的代数和，等于该网孔全部电压源电压升的代数和。根 据以上总结的规律和对电路图的观察，就能直接列出网孔方程。 由独立电压源和线性电阻构成具有个网孔的平面电路，其网孔 方程的一般形式为 Rui+Ri2iz++Rimim usu R211+R222+…+R2mm=ls22 (3-5) Rmii+Rm2iz++Rmmim =4smm
从以上分析可见,由独立电压源和线性电阻构成电路的网孔 方程很有规律。可理解为各网孔电流在某网孔全部电阻上产生 电压降的代数和，等于该网孔全部电压源电压升的代数和。根 据以上总结的规律和对电路图的观察，就能直接列出网孔方程。 由独立电压源和线性电阻构成具有个网孔的平面电路，其网孔 方程的一般形式为 (3 5) m1 1 m2 2 mm m Smm 2 1 1 2 2 2 2m m S2 2 1 1 1 1 2 2 1 m m S1 1 − + + + = + + + = + + + = R i R i R i u R i R i R i u R i R i R i u
三、网孔分析法计算举例 网孔分析法的计算步骤如下： 1·在电路图上标明网孔电流及其参考方向。若全部网 孔电流均选为顺时针（或逆时针）方向，则网孔方程的全部 互电阻项均取负号。 2.用观察电路图的方法直接列出各网孔方程。 3.求解网孔方程，得到各网孔电流。 4.假设支路电流的参考方向。根据支路电流与网孔电 流的线性组合关系，求得各支路电流。 5.用VCR方程，求得各支路电压
三、网孔分析法计算举例 网孔分析法的计算步骤如下： 1．在电路图上标明网孔电流及其参考方向。若全部网 孔电流均选为顺时针(或逆时针)方向，则网孔方程的全部 互电阻项均取负号。 2．用观察电路图的方法直接列出各网孔方程。 3．求解网孔方程，得到各网孔电流。 4．假设支路电流的参考方向。根据支路电流与网孔电 流的线性组合关系，求得各支路电流。 5．用VCR方程，求得各支路电压