第十一章正弦稳态的功率三相电路 本章先讨论正弦稳态单口网络的瞬时功率、平 均功率和功率因数。再讨论正弦稳态单口网络向 可变负载传输最大功率的问题以及非正弦稳态平 均功率的计算。最后介绍三相电路的基本概念
第十一章 正弦稳态的功率 三相电路 本章先讨论正弦稳态单口网络的瞬时功率、平 均功率和功率因数。再讨论正弦稳态单口网络向 可变负载传输最大功率的问题以及非正弦稳态平 均功率的计算。最后介绍三相电路的基本概念
§11-1瞬时功率和平均功率 、瞬时功率和平均功率 图示单口网络，在端口电压和电流采用关联参考方向 的条件下，它吸收的功率为 N p(t)=u(t)i(t) 11-1)
§11－1 瞬时功率和平均功率 p(t) = u(t)i(t) (11−1) 一、瞬时功率和平均功率 图示单口网络，在端口电压和电流采用关联参考方向 的条件下，它吸收的功率为
在单口网络工作于正弦稳态的情况下。端口电压和电 流是相同频率的正弦电压和电流，即 u(t)=U cos(at+)=2U cos(at+w) i(t)=Im cos(@t+;)=2I cos(@t+;) 其瞬时功率为 p(t)=u(t)i(t)=U cos(at+w)Im cos(@t+wi) =1 UIIcos((g。-y,)+cos(2ot+w.+w,训 =UI coso+UI cos(2at+2w-) (11-2) 2cosx.cosy=cos(x-y)+cos(x+y)
在单口网络工作于正弦稳态的情况下。端口电压和电 流是相同频率的正弦电压和电流，即 ( ) cos( ) 2 cos( ) ( ) cos( ) 2 cos( ) m i i m u u = + = + = + = + i t I t I t u t U t U t 其瞬时功率为 2cos x cos y = cos(x − y)+ cos(x + y) cos cos(2 2 ) (11 2) [cos( ) cos(2 )] 2 1 ( ) ( ) ( ) cos( ) cos( ) u m m u i u i m u m i = + + − − = − + + + = = + + U I U I t U I t p t u t i t U t I t
p(t)=oI cosp+Ul cos(2at+2w-) 其中p少必是电压与电流的相位差，瞬时功率的波形 如图所示 UIcos 0 图11-2正弦稳态单口网络的瞬时功率和平均功率
( ) cos cos(2 2 ) p t = UI +UI t + u − 其中=u -i是电压与电流的相位差,瞬时功率的波形 如图所示 图11-2正弦稳态单口网络的瞬时功率和平均功率
周期性变化的瞬时功率在一个周期内的平均值，称为 平均功率，用P表示，其定义是 P= -SUIcosp-UTcos(2@+v.+w UI coso (11-3) 由此式看出正弦稳态的平均功率不仅与电压电流有效 值乘积U有关，还与电压电流的相位差y有关，式中 的因子cos称为功率因数。平均功率是一个重要的概念 得到广泛使用，我们通常说某个家用电器消耗多少瓦的功 率，就是指它的平均功率，简称为功率
周期性变化的瞬时功率在一个周期内的平均值，称为 平均功率，用P表示，其定义是 cos (11 3) [ cos cos(2 )]d 1 ( )d 1 0 0 = − = − + + = U I U I U I t t T p t t T P T u i T 由此式看出正弦稳态的平均功率不仅与电压电流有效 值乘积UI有关，还与电压电流的相位差=u -i有关，式中 的因子cos称为功率因数。平均功率是一个重要的概念， 得到广泛使用，我们通常说某个家用电器消耗多少瓦的功 率，就是指它的平均功率，简称为功率
下面我们讨论单口网络的几种特殊情况。 1.单▣网络是一个电阻，或其等效阻抗为一个电阻。 此时单口网络电压与电流相位相同，即Ψ必0， c0s1,式(11-2)变为 p(t)=UI cosp+UI cos(2at+2v-p) p(t)=UI+UI cos(2@t+2w)
( ) cos cos(2 2 ) p t = UI +UI t + u − ( ) cos(2 t 2 ) = UI +UI + u p t 下面我们讨论单口网络的几种特殊情况。 1. 单口网络是一个电阻，或其等效阻抗为一个电阻。 此时单口网络电压与电流相位相同，即=u -i=0, cos=1，式(11－2)变为
其波形如下图所示。 UI 0 图113电阻的瞬时功率和平均功率 瞬时功率()在任何时刻均大于或等于零，电阻始终吸 收功率和消耗能量。此时平均功率的表达式为 P=UI=IR= U' (11-4) R
其波形如下图所示。 (11 4) 2 2 = = = − R U P UI I R 瞬时功率p(t)在任何时刻均大于或等于零，电阻始终吸 收功率和消耗能量。此时平均功率的表达式为 图11-3 电阻的瞬时功率和平均功率
p(t)=UIcoso+UIcos(2at+2w-p)(11-2) 2.单口网络是一个电感或电容，或等效为一个电抗。 此时单口网络电压与电流相位为正交关系，即p必 y±90°，c0s0-0,式(11-2)变为 PL(t)=UI cos(2at+2w-90) =UI sin(2ot+2w) Pc(t)=UI cos(2at+2w+90) =UI sin(2at +2w-180)
( ) cos cos(2 2 ) (11- 2) p t = UI +UI t + u − sin(2 2 180 ) ( ) cos(2 2 90 ) sin(2 2 ) ( ) cos(2 2 90 ) u C u u L u = + − = + + = + = + − UI t p t UI t UI t p t UI t 2. 单口网络是一个电感或电容，或等效为一个电抗。 此时单口网络电压与电流相位为正交关系，即 =u - i =90, cos=0，式(11－2)变为
其波形如图(a和(b)所示。其特点是在一段时间吸收功 率获得能量；另外一段时间释放出它所获得的全部能量。 (a) (b) 图11-4电感和电容的瞬时功率和平均功率 此时平均功率的表达式(11-3)变为 P=UIc0s(±90)=0 (11-5) 这说明在正弦稳态电路中，任何电感或电容吸收的平 均功率为零
此时平均功率的表达式(11-3)变为 = cos(90 ) = 0 (11− 5) P UI 这说明在正弦稳态电路中，任何电感或电容吸收的平 均功率为零。 图11-4 电感和电容的瞬时功率和平均功率 其波形如图(a)和(b)所示。其特点是在一段时间吸收功 率获得能量；另外一段时间释放出它所获得的全部能量
3.由LC元件构成的单口网络，其相量模型等效为一 个电阻与电抗的串联或一个电导与电纳的并联。当等效电 阻和等效电导为正时，其电压电流的相位差0在-0°到+90° 之间变化，功率因数cos在0到1之间变化。 此时瞬时功率()随时间作周期性变化，所吸收的平均 功率为 P=UIcoso=I'Re(Z)=U-Re(Y) (11-6) 式中的R(Z是单口网络等效阻抗的电阻分量，它消耗 的平均功率，就是单口网络吸收的平均功率， 与此相似，式中的Rε()是单▣网络等效导纳的电导分 量，它消耗的平均功率，就是单口网络吸收的平均功率
3.由RLC元件构成的单口网络，其相量模型等效为一 个电阻与电抗的串联或一个电导与电纳的并联。当等效电 阻和等效电导为正时，其电压电流的相位差在-90到+90 之间变化，功率因数cos在0到1之间变化。 此时瞬时功率p(t)随时间作周期性变化，所吸收的平均 功率为 cos Re( ) Re( ) (11 6) 2 2 P = UI = I Z = U Y − 式中的Re(Z)是单口网络等效阻抗的电阻分量，它消耗 的平均功率，就是单口网络吸收的平均功率。 与此相似，式中的Re(Y)是单口网络等效导纳的电导分 量，它消耗的平均功率，就是单口网络吸收的平均功率