第八章一阶电路分析 由一阶微分方程描述的电路称为一阶电路。本章主要 讨论由直流电源驱动的含一个动态元件的线性一阶电路。 含一个电感或一个电容加上一些电阻元件和独立电源组成 的线性一阶电路，可以将连接到电容或电感的线性电阻单 口网络用戴维宁一诺顿等效电路来代替（如图8一1和8一2 所示) 天又 (b) (a) (b) 图8一1 图8-2
第八章 一阶电路分析 由一阶微分方程描述的电路称为一阶电路。本章主要 讨论由直流电源驱动的含一个动态元件的线性一阶电路。 含一个电感或一个电容加上一些电阻元件和独立电源组成 的线性一阶电路，可以将连接到电容或电感的线性电阻单 口网络用戴维宁－诺顿等效电路来代替（如图8－1和8－2 所示）。 图8－1 图8－2
Ψ N (a (b) (a) (b) 我们的重点是讨论一个电压源与电阻及电容串联，或 一个电流源与电阻及电感并联的一阶电路。 与电阻电路的电压电流仅仅由独立电源所产生不同， 动态电路的完全响应则由独立电源和动态元件的储能共同 产生
我们的重点是讨论一个电压源与电阻及电容串联，或 一个电流源与电阻及电感并联的一阶电路。 与电阻电路的电压电流仅仅由独立电源所产生不同， 动态电路的完全响应则由独立电源和动态元件的储能共同 产生
仅由动态元件初始条件引起的响应称为零输入响应。 仅由独立电源引起的响应称为零状态响应。 动态电路分析的基本方法是建立微分方程，然后用数 学方法求解微分方程，得到电压电流响应的表达式
仅由动态元件初始条件引起的响应称为零输入响应。 仅由独立电源引起的响应称为零状态响应。 动态电路分析的基本方法是建立微分方程，然后用数 学方法求解微分方程，得到电压电流响应的表达式
§8一1零输入响应 一、RC电路的零输入响应 图83(a)所示电路中的开关原来连接在1端，电压源0 通过电阻R对电容充电，假设在开关转换以前，电容电压 已经达到0。在0时开关迅速由1端转换到2端。已经充电 的电容脱离电压源而与电阻R并联，如图)所示。 (a) (b) 图8-3
§8－1 零输入响应 图8-3(a)所示电路中的开关原来连接在1端，电压源U0 通过电阻Ro对电容充电，假设在开关转换以前，电容电压 已经达到U0。在t=0时开关迅速由1端转换到2端。已经充电 的电容脱离电压源而与电阻R并联，如图(b)所示。 图8-3 一、RC电路的零输入响应
(a) (b) 我们先定性分析>0后电容电压的变化过程。当开关倒 向2端的瞬间，电容电压不能跃变，即 uc(0+)=c(0_)=Uo 由于电容与电阻并联，这使得电阻电压与电容电压相 同，即 uk(0+)=uc(0+)=U 电阻的电流为 R(0+)= Uo R
我们先定性分析t>0后电容电压的变化过程。当开关倒 向2端的瞬间，电容电压不能跃变，即 C C 0 u (0 ) u (0 ) U 由于电容与电阻并联，这使得电阻电压与电容电压相 同，即 R C 0 u (0 ) u (0 ) U 电阻的电流为 R U i 0 R (0 )
该电流在电阻中引起的功率和能量为 p(t)=Ri(t) W.(FR最（传）5 电容中的能量为 (-C( 随着时间的增长，电阻消耗的能量需要电容来提供， 这造成电容电压的下降。一直到电容上电压变为零和电容 放出全部存储的能量为止。也就是电容电压从初始值 40)=U逐渐减小到零的变化过程。这一过程变化的快慢 取决于电阻消耗能量的速率
该电流在电阻中引起的功率和能量为 t p t Ri t W t R i d 0 2 R R 2 R ( ) ( ) ( )＝ ( ) 电容中的能量为 随着时间的增长，电阻消耗的能量需要电容来提供， 这造成电容电压的下降。一直到电容上电压变为零和电容 放出全部存储的能量为止。也就是电容电压从初始值 uC (0+ )=U0逐渐减小到零的变化过程。这一过程变化的快慢 取决于电阻消耗能量的速率。 ( ) 2 1 ( ) 2 C C W t Cu t
(a) (b) 为建立图b)所示电路的一阶微分方程，由KVL得到 -R+4c=0 由KCL和电阻、电容的VCR方程得到 4=R=-R=-RC dt 代入上式得到以下方程 RC+=0 (t≥0) (8-1) dt
为建立图(b)所示电路的一阶微分方程，由KVL得到 uR uC 0 由KCL和电阻、电容的VCR方程得到 t u u Ri Ri RC d d C R R C 代入上式得到以下方程 0 ( 0) (8 1) d d C C u t t u RC
(a) (b) 这是一个常系数线性一阶齐次微分方程。其通解为 uc(t)=Kes 代入式(8一1)中，得到特征方程 RCs+1=0 (8-2) 其解为 S=一 (8-3) RC 称为电路的固有频率
这是一个常系数线性一阶齐次微分方程。其通解为 st u (t) Ke C 代入式(8－1)中，得到特征方程 RCs1 0 (8 2) 其解为 (8 3) 1 RC s － 称为电路的固有频率
于是电容电压变为 uc(t)=Ke RC t≥0 式中K是一个常量，由初始条件确定。当0时上式变 为 uc(0.)=Ke RC =K 根据初始条件 uc(0,)=uc(0_)=Uo 求得 K=U
于是电容电压变为 ( ) e t 0 C RC t u t K 式中K是一个常量，由初始条件确定。当t=0+时上式变 为 u K K RC t (0 ) e C 根据初始条件 C C 0 u (0 ) u (0 ) U 求得 K U0
(a) (b) 图8-3 最后得到图8一3b)电路的零输入响应为 uc(t)=Ue rc (t20) (8-4a) 0=c0=e安 (t>0)(8-4b) dt k0=-=费女 (t>0)(8-4c)
( ) ( ) e ( 0) (8 4c) e ( 0) (8 4b) d d ( ) ( ) e ( 0) (8 4a) 0 R C C 0 C C 0 t R U i t i t t R U t u i t C u t U t RC t RC t RC t 最后得到图8－3(b)电路的零输入响应为 图8-3