第十四章动态电路的频域分析 动态电路的基本分析方法是建立电路的微分方程 并求解微分方程得到电压电流，对于高阶动态电路而言 建立和求解微分方程都十分困难。对于单一频率正弦激 励的线性时不变电路，为避免建立和求解微分方程，常 常采用相量法。相量法是将正弦电压电流用相应的相量 电压电流表示，将电路的微分方程变换为复数代数方程 来求解，得到相量形式的电压电流后，再反变换为正弦 电压电流
第十四章 动态电路的频域分析 动态电路的基本分析方法是建立电路的微分方程， 并求解微分方程得到电压电流，对于高阶动态电路而言， 建立和求解微分方程都十分困难。对于单一频率正弦激 励的线性时不变电路，为避免建立和求解微分方程，常 常采用相量法。相量法是将正弦电压电流用相应的相量 电压电流表示，将电路的微分方程变换为复数代数方程 来求解，得到相量形式的电压电流后，再反变换为正弦 电压电流
在进行正弦稳态分析时，为了避免建立微分方程 我们将电路的时域模型变换为相量模型，再根据相量形 式的KCL、KVL和VCR直接建立复数的代数方程来求 解。具体分析步骤如图14-1所示： 电路时域模型 变换 电路相量模型 KCL KVL VCR 电路微分方程 变换 复数代数方程 求解 正弦电压电流 反变换 相量电压电流 图14-1
在进行正弦稳态分析时，为了避免建立微分方程， 我们将电路的时域模型变换为相量模型，再根据相量形 式的KCL、KVL和VCR直接建立复数的代数方程来求 解。具体分析步骤如图14－1所示： 图14－1
能不能找到一种类似的变换方法来求解一般线性时 不变电路的全响应，而不必列出微分方程和确定初始条 件呢？回答是肯定的，我们可以采用拉普拉斯变换，用 类似的方法来分析任意信号激励下，线性时不变动态电 路的完全响应，其具体分析步骤如图14-2所示 电路时域模型 拉氏变换 电路频域模型 KCL KVL VCR 电路微分方程 拉氏变换 频域代数方程 求解 时域电压电流 拉氏反变换 频域电压电流 图14-1
能不能找到一种类似的变换方法来求解一般线性时 不变电路的全响应，而不必列出微分方程和确定初始条 件呢？回答是肯定的，我们可以采用拉普拉斯变换，用 类似的方法来分析任意信号激励下，线性时不变动态电 路的完全响应，其具体分析步骤如图14－2所示： 图14－1
电路时域模型 拉氏变换 电路频域模型 KCL KVL VCR 电路微分方程 拉氏变换 频域代数方程 求解 时域电压电流 拉氏反变换 频域电压电流 图14-1 采用频域分析方法还可以得到线性时不变电路的很多 基本性质。本章先介绍拉普拉斯变换和动态电路的频域 分析方法，然后介绍一种采用频域分析法的动态网络分 析程序，供读者学习电路课程时使用
图14－1 采用频域分析方法还可以得到线性时不变电路的很多 基本性质。本章先介绍拉普拉斯变换和动态电路的频域 分析方法，然后介绍一种采用频域分析法的动态网络分 析程序，供读者学习电路课程时使用
§14-1拉普拉斯变换 时间函数f)的拉普拉斯变换记为L【f其定义为 Llf=∫rfe“d 其中S=σ称物复频率。积分的上下限是固定的，积分 的结果与无关，只取决于参数5，它是复频率的函数， 即 L f(t]=F(s) 在电路分析中，将时域的电压4()和电流()的拉普 拉斯变换记为U(s)和(s)
§14－l 拉普拉斯变换 − − = 0 [ f (t)] f (t)e dt s t L 时间函数f(t)的拉普拉斯变换记为 L [ f ，其定义为 (t)] L [ f (t)] = F(s) 其中 称为复频率。积分的上下限是固定的，积分 的结果与t无关，只取决于参数s，它是复频率的函数， 即 s = + j 在电路分析中，将时域的电压u(t)和电流i(t)的拉普 拉斯变换记为U(s)和I(s)
例如，单位阶跃函数()的拉普拉斯变换为 L【f(t=Jnε(t)ed =∫e" S 下面给出常用函数的拉普拉斯变换
例如，单位阶跃函数ε(t)的拉普拉斯变换为 s s t f t t t s t s t s t 1 e 1 e d [ ( )] ( )e d 0 0 0 = = − = = − − − + − L 下面给出常用函数的拉普拉斯变换
g F(s)=∫。f)e"a 1 8(t) 1/s 1 s+a 0 sin(@t) 2+2 S cos(wt) s2+0 t" n! n+1 K K 2|Kle“cos(ot+∠K) s+a-j@ s+a+j@
j j 2 | | e cos( ) ! cos( ) sin( ) 1 e ( ) 1/ ( ) 1 ( ) ( ) ( )e d 1 2 2 2 2 0 + + + + − + + + + = − + − − − s K s K K t K s n t s s t s t s t s t f t F s f t t t n n t s t
下面给出拉普拉斯变换的性质 性质 关系式 线性性质 L a(t)+azf(t)]=aF(s)+a2F(s) 微分规则 L影=sFs)-了0) 积分规则 L0f5)a5]=。F(s) 其中 L Lf(t)]=F(s) L(t=F(s) L(=F2(s)
下面给出拉普拉斯变换的性质 [ ( ) ( )] ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 L a f t + a f t = a F s + a F s ] ( ) (0 ) d d [ = − − sF s f t f L ( ) 1 [ ( ) ] 0- F s s f d t = L 性质 关系式 线性性质 微分规则 积分规则 其中 [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) 1 1 2 2 f t F s f t F s f t F s = = = L L L
§14-2动态电路的频域分析 若将时域的电压(t)和电流()的拉普拉斯变换记为 U(s)和(s),则时域形式的基尔霍夫电流定律和电压定律 分别表示为 ∑i()=0 对每个结点 ∑4(t)=0 对每一回路 频域形式的基尔霍夫电流定律和电压定律分别表示为 ∑I(s)=0 对每个结点 ∑Us)=0 对每一回路
§14－2 动态电路的频域分析 若将时域的电压u(t)和电流i(t)的拉普拉斯变换记为 U(s)和I(s)，则时域形式的基尔霍夫电流定律和电压定律 分别表示为 频域形式的基尔霍夫电流定律和电压定律分别表示为 = = 对每一回路 对每个 ( ) 0 ( ) 0 u t i t 结 点 = = 对每一回路 对每个 ( ) 0 ( ) 0 U s I s 结 点
对于R、L、C元件电压电流的关系式如下所示： 时域关系 频域关系 uk (t)Rig(t) UR(s)=RIR(S) ,0=7∫045a5+0) =+0) U(s)=sL1(s)-Li(0_) 0=255+a0)Uw=1+r0） Ic(s)=sCUc(s)-Cuc(0_) 其中(0_)人表丞电感电流和电容电压的初始值
对于R、L、C元件电压电流的关系式如下所示： ( ) ( ) (0 ) (0 ) 1 ( ) 1 ( )d (0 ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) (0 ) (0 ) 1 ( ) 1 ( )d (0 ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C C C C C C C t 0 C C L L L L L L L t 0 L L R R R R - - − − − − − − = − = + = + = − = + = + = = I s sCU s C u u s I s sC i u U s C u t U s sLI s Li i s U s sL u i I s L i t u t R i t U s R I s 时域关系 频域关系 其中 (0 ) 表示电感电流和电容电压的初始值。 (0 ) L − uC − i