数理方程与特殊函教 任倮教师:杨春 Email:yc517922@126.com 友用数学学院
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 1 Email: yc517922@126.com 数理方程与特殊函数 任课教师：杨春 应用数学学院
本次课主要内容 格林函数、贝塞尔函数、勒让得多项式习题课 (一)、 Green函数问题 (二)、贝塞尔函数问题 (三)、勒让得多项式问题
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 2 本次课主要内容 格林函数、贝塞尔函数、勒让得多项式习题课 (一)、Green函数问题 (二)、贝塞尔函数问题 (三)、勒让得多项式问题
(一)、 Green函数问题 1、三个格林公式 第一格林公式:设u(x,y,),V(x,y,a在SUS上有一阶连 续偏导数,它们在ⅴ中有二阶偏导,则 LVp·dS=V.Vw+‖uvc 第二格林公式:设u(x,y,z),V(x,y,z)在SUS上有一阶连续 偏导数,它们在Ⅴ中有二阶偏导,则: 再(=w)S=(2+
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 3 (一)、Green函数问题 1、三个格林公式 第一格林公式：设u (x, y, z) ,V (x, y, z)在SŲSV上有一阶连 续偏导数，它们在V中有二阶偏导，则： S V V u v dS u vdV u vdV = + 第二格林公式：设u (x, y, z) ,V (x, y, z)在SŲSV上有一阶连续 偏导数，它们在V中有二阶偏导，则： ( ) ( ) S V u v v u dS u v v u dV − = −
第三格林公式: 设M,M是ⅴ中的点,v(M)=1/rMm,u(x,yz)满足第一格 林公式条件,则有: l(M0)= △uc 4z3m。On MMo ds A/ v(MMo S
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 4 设M0，M是V中的点，v(M)=1/rMM0, u(x,y,z)满足第一格 林公式条件，则有： 0 0 0 0 1 1 1 1 1 ( ) 4 4 S V MM MM MM u u M u dS u dV r n n r r = − − 第三格林公式： M0 M S V x y z
要求:(1)掌握三个公式的推导 (2)稳态场方程洛平问题的解。 例1、写出稳态场方程洛平问题的解。 解:(1)泊松方程洛平问题为: △=lx+l2y+l2=f(x,y,=),(x,y,=)∈Is n|s=(x,y2=),(连续) ans=y(x,y,=)(连续) /(M)-0(M 4兀 、r 丌
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 5 例1、写出稳态场方程洛平问题的解。 要求:(1)掌握三个公式的推导； (2)稳态场方程洛平问题的解。 解:(1)泊松方程洛平问题为： ( , , ),( , , ) ( , , ),( ( , , ),( xx yy zz S S S u u u u f x y z x y z V u x y z u x y z n = + + = = = 连续） 连续） 0 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 S V u M M M dS f M dV r n r r = − −
拉普拉斯方程洛平问题为 O, lls=9(x,y,=)2(连续 |s=v(x,y,=),(连续) ( )=M3(~乡(M)-9(M) ds 例2、求拉普拉斯方程洛平问题的解 △z=O,(x,1,z)∈l O
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 6 拉普拉斯方程洛平问题为： 0,( , , ) ( , , ),( ( , , ),( xx yy zz S S S u u u u x y z V u x y z u x y z n = + + = = = 连续） 连续） 0 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 4 S u M M M dS r n r = − 例2、求拉普拉斯方程洛平问题的解 0,( , , ) S S 1, 0 u x y z V u u n = = =
解:由第三格林公式: S 4I S On\ rMMo 例3、求拉普拉斯方程洛平问题的解 △a=-6(x,y,z)(x,y,z)∈ ls=(x,y,=) /s=0 解:由第三格林公式: 0|1 (M) d(,y, z)dv 4丌 an r MM ④S+4πr MM
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 7 解：由第三格林公式： 0 0 1 1 ( ) 4 S MM u M dS n r = − ( , , ),( , , ) S S ( , , ), 0 u x y z x y z V u u x y z n = − = = 例3、求拉普拉斯方程洛平问题的解 解：由第三格林公式： 0 0 0 1 1 1 1 ( ) ( , , ) 4 4 S V MM MM u M dS x y z dV n r r = − +
2、调和函数 要求:(1)掌握概念和性质的证明; (2)性质的应用(极值原理) 例4、求证泊松方程狄氏问题的解是唯一的、稳定的。 证明:泊松方程狄氏问题为: △=f(M),M∈ uIs=o(m) (a)解的唯一性证明: 设定解问题有两个解u1与u2,则:
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 8 2、调和函数 要求:(1)掌握概念和性质的证明； (2 ) 性质的应用(极值原理) ( ), ( ) S u f M M V u M = = 例4、求证泊松方程狄氏问题的解是唯一的、稳定的。 证明：泊松方程狄氏问题为： (a ) 解的唯一性证明： 设定解问题有两个解u1与u2 ,则：
△a1=f(M)M∈VAm2=f(M),M∈V u,Is=P(M) s=0(M) 令:U=1-u2则: △U=0.M∈ 由极值原理有:U=0,即≡ (b)解的稳定性证明 设在S上给定了函数,9*使得-9≤且: △1=f(M),M∈V△a f(M),M∈V 41s=∞(MO S=P(M)
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 9 令:U=u1 -u2 ,则： 1 1 ( ), ( ) S u f M M V u M = = 2 2 ( ), ( ) S u f M M V u M = = 0, 0 S U M V U = = 由极值原理有： U 0 ，即 u u 1 2 (b ) 解的稳定性证明： 设在S上给定了函数 , * 使得： 且： 1 1 ( ), ( ) S u f M M V u M = = 2 2 ( ), *( ) S u f M M V u M = = − *
令:U=u1-2,则: △U=0.M∈ -9 由极值原理有:k<E即证明了稳定性。 3、泊松方程狄氏问题格林函数 要求:(1)掌握狄氏问题格林函数概念和性质 (2)泊松方程、拉氏方程狄氏问题解的积分表达式 (3)特殊区域上狄氏问题格林函数和对应的解的积分表达式 例5、什么是泊松方程狄氏问题格林函数?物理意义是什 么?
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 10 令:U=u1 -u2 ,则： 0, * S U M V U = = − 由极值原理有： U 即证明了稳定性。 3、泊松方程狄氏问题格林函数 要求:(1)掌握狄氏问题格林函数概念和性质 (2)泊松方程、拉氏方程狄氏问题解的积分表达式 (3) 特殊区域上狄氏问题格林函数和对应的解的积分表达式 例5、什么是泊松方程狄氏问题格林函数？物理意义是什 么？