数理方程与特殊函教 任倮教师:杨春 Email:yc517922@126.com 友用数学学院
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 1 Email: yc517922@126.com 数理方程与特殊函数 任课教师：杨春 应用数学学院
第五章积分变换 主要内容 ()、傅立叶变换的定义与性质 (二)、傅立叶变换的应用 (三)、拉普拉斯变换的定义与性质 (四)、拉普拉斯变换的应用 授课时数:8学时
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 2 (一)、傅立叶变换的定义与性质 (二)、傅立叶变换的应用 第五章 积分变换 (三)、拉普拉斯变换的定义与性质 (四)、拉普拉斯变换的应用 主要内容 授课时数：8学时
本次课主要内容 傅立叶变换的定义与性质 )、傅立叶变换的定义 (二)、傅立叶变换的基本性质 (三)、n维傅立叶变换
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 3 本次课主要内容 (一)、傅立叶变换的定义 (二)、傅立叶变换的基本性质 (三)、n维傅立叶变换 傅立叶变换的定义与性质
()、傅立叶变换的定义 1、周期函数的傅立叶展开 展开定理:设氏(x)是以2L为周期的函数,在[LL]上连续 且只有有限个第一类间断点和有限个极值点,则在连续点 处有: f(x)=20+∑ n7 a cOS +6 sin L L 其中: L n75 a f(scolds L L (n=0,1,2,…) f(ssin ds
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 4 1、周期函数的傅立叶展开 = = + + 0 0 cos sin 2 ( ) n n n L n x b L n x a a f x ,( 0,1,2, ) ( )sin 1 ( ) cos 1 . . . . = = = − − n d L n f L b d L n f L a L L n L L n (一)、傅立叶变换的定义 展开定理：设f(x)是以2L为周期的函数，在[-L,L]上连续 且只有有限个第一类间断点和有限个极值点，则在连续点 处有： 其中：
在非连续点处: f(x+0)+f(x-0)]=+ ∑ a cOS +b sin 2 L 2、非周期函数的傅立叶变换 非周期函数的傅立叶变换是周期函数傅立叶级数展开的 极限情形 设f(x)在(-0+0)内有定义,f(x)是非周期函数。又 设f(x)在有限区间[LL]上分段光滑。由展开定理:f(x)在 [LL]上的傅立叶级数为: (x)=2+∑ 1元x 1兀x a cOS +6. sin
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 5 在非连续点处： 0 0 1 ( 0) ( 0) cos sin 2 2 n n n a n x n x f x f x a b L L = + + − = + + 2、非周期函数的傅立叶变换 非周期函数的傅立叶变换是周期函数傅立叶级数展开的 极限情形. 设f(x) 在(-∞,+∞)内有定义，f(x)是非周期函数。又 设f(x)在有限区间[-L,L]上分段光滑。由展开定理：f(x)在 [-L,L]上的傅立叶级数为： 0 0 ( ) cos sin (1) 2 n n n a n x n x f x a b L L = = + +
L n元 a- 其中: f(scolds L (n=0,1,2,…)…(2) L nTc L f( -ds L 把(2)代入(1)得: f(x)1 L L ∫,f(5d5+∑ f(s)cos n7(5-x) d2…(3) 2LJ-L LJ-L L 当L→时,得(x)在(-∞+)内的展开式。 为讨论该极限,假定: + f(5)d5<+o…(
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 6 其中： 把(2)代入(1)得： 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( )cos (3) 2 L L L L n n x f x f d f d L L L − − = − = + . . . . 1 ( )cos ,( 0,1,2, ) (2) 1 ( )sin L n L L n L n a f d L L n n b f d L L − − = = = 当 L → 时，得f(x)在(-∞,+∞)内的展开式。 为讨论该极限，假定： f d ( ) (4) + − +
于是f(x)在(-0n+0)内的展开式为: (x)=m∑(os n7(2-x) L 令△L=2于是(5)为 (x)=lim 2AL /(5)cos x(E S)d5 t o daf f(s)cos a(5-x)dE
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 7 于是f(x)在(-∞,+∞)内的展开式为： 1 1 ( ) ( ) lim ( )cos (5) L L L n n x f x f d L L →+ − = − = 令 L 于是(5)为： L = 0 1 1 ( ) ( ) lim ( )cos L n n x f x L f d L + → − = − = 0 1 d f x d ( )cos ( ) + + − = −
由于f(5)cos(2-x)d5 是关于A的偶函数,所以: + +∞O f(x) da f(s)cos n(s-x)ds 2丌 00 +00 2丌 00 2丌 A(1)= ∫ f(s)cos nsds 2丌 (6) B()=2-f(5)sin asdg
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 8 由于 是关于λ的偶函数，所以： f x d ( )cos ( ) + − − 1 ( ) ( )cos ( ) 2 f x d f x d + + − − = − 1 1 ( )cos cos ( )sin sin 2 2 f d x f d x d + + + − − − = + 令： 1 ( ) ( )cos 2 (6) 1 ( ) ( )sin 2 A f d B f d + − + − = =
于是得: (x)=m)wx+)su⑦ 称(7)为非周期函数f(x)的傅立叶积分,而(6)为函数f(x) 的傅立叶变换。 又因为: +∞ d|f()sin(x-5)d5=0…(8 2丌 00 由(7)+(8)得 (x)≈1 +∞O dal f(selds 2 00
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 9 于是得： f x A x B x d ( ) ( )cos ( )sin (7) + − = + 称(7)为非周期函数f(x)的傅立叶积分，而(6)为函数f(x) 的傅立叶变换。 由(7)+(8)得： 1 ( )sin ( ) 0 (8) 2 d f x d + + − − − = 又因为： 1 ( ) ( ) 2 i x f x d f e d + + − − =
若令:f(x)=f(x)kx…(9) +∞O 则:(3)=2万J0(x“x(0 称(9为函数f(x)的复数形式的傅立叶变换,(10)为傅 立叶变换的逆变换。 算子形式: 傅立叶变换;Ff(x)=f() 傅立叶逆变换F[(4)=f(x)
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 10 若令： 则： 称(9)为函数f(x)的复数形式的傅立叶变换，(10)为傅 立叶变换的逆变换。 ( ) ( ) (9) i x f f x e dx + − − = 1 ( ) ( ) (10) 2 i x f x f e d + − = 算子形式： 傅立叶变换： F f x f [ ( )] ( ) = 傅立叶逆变换： 1 F f f x [ ( )] ( ) − =