数理方程与特殊函教 任倮教师:杨春 Email:yc517922@126.com 友用数学学院
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 1 Email: yc517922@126.com 数理方程与特殊函数 任课教师：杨春 应用数学学院
第四章行波法 行波法是一种只能用于求解无界域内波动方程定解问 题的方法,即求解波动方程柯西问题的方法。 通过讨论,可以得到求解一维波动方程柯西问题的达 朗贝尔公式和高维波动方程柯西问题的泊松公式 主要内容 维无界、半无界域上波动方程求解 高维波动方程柯西问题求解 学时:6学时
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 2 第四章 行波法 行波法是一种只能用于求解无界域内波动方程定解问 题的方法，即求解波动方程柯西问题的方法。 主要内容 通过讨论，可以得到求解一维波动方程柯西问题的达 朗贝尔公式和高维波动方程柯西问题的泊松公式 二、高维波动方程柯西问题求解 学时：6学时 一、一维无界、半无界域上波动方程求解
本次课主要内容 一维无界、半无界域上波动方程求解 ()、无界域上波动方程定解问题求解 (二)、半无界域上波动方程定解问题求解
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 3 本次课主要内容 (一)、无界域上波动方程定解问题求解 (二)、半无界域上波动方程定解问题求解 一维无界、半无界域上波动方程求解
)、无界域上波动方程定解问题求解 1、达朗贝尔公式 无限长细弦的自由横振动的齐次定解问题为: a2x(x∈R,t>0) t=0 t=0 =(x) 1)由第2章第4节的方法,求出泛定方程通解为: l(x,0)=f1(x+a)+f2(x-at)
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 4 (一)、无界域上波动方程定解问题求解 1、达朗贝尔公式 无限长细弦的自由横振动的齐次定解问题为： 2 0 0 ( , 0) ( ) ( ) tt xx t t t u a u x R t u x u x = = = = = (1) 由第2章第4节的方法，求出泛定方程通解为： 1 2 u x t f x at f x at ( , ) ( ) ( ) = + + −
(2)把通解代入初始条件得: f1(x)+f2(x)=(x) lafr'(x)-af(x)=v(x) 于是得: f1(x)+f2(x)=0(x) f(x)-f2(x)=Jv(5)d5+(x)-f(x 由此求得: f(x)=0(x)+「v(5)d5+[(x)=1(x a sxo f(x)=(x)-wv(5)d5-[(x)=f(
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 5 (2) 把通解代入初始条件得： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − = + = af x af x x f x f x x 1 2 1 2 于是得： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 2 1 2 1 0 2 0 1 ( ) ( ) x x f x f x x f x f x d f x f x a + = − = + − 由此求得： ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 0 2 0 2 1 0 2 0 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x x x x f x x d f x f x a f x x d f x f x a = + + − = − − −
原定解问题的解为: x+at (x,1)=[(x+a)+o(x-al)+ 2 2a 上面公式称为达朗贝尔公式 例1、无限长静止弦在点x=x0受到冲击,冲量为I,弦 的密度为p。试求解弦的振动。 分析 弦受冲击而振动,若把冲击时间定为时间起点,则t0 时,弦作自由振动,其方程为: L.三a <x<+00
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 6 ( ) ( ) ( ) + − = + + − + x a t x a t d a u x t x at x at . 2 . 1 2 1 ( , ) 分析： 上面公式称为达朗贝尔公式 例1、无限长静止弦在点x=x0受到冲击，冲量为I ，弦 的密度为 ρ。试求解弦的振动。 原定解问题的解为： 弦受冲击而振动，若把冲击时间定为时间起点，则t>0 时，弦作自由振动，其方程为： 2 ( ) u a u x tt xx = − +
在冲击时,弦未及时发生位移,因此: O 弦在x=x0处受到敲击时,初速度为 +∞(x=xo) t|t=0 O(x≠x0) 由动量定理: pu, dx 所以有:0- 1(x
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 7 弦在x=x0处受到敲击时，初速度为： 在冲击时，弦未及时发生位移，因此： u t=0 = 0 0 0 0 ( ) 0( ) t t x x u x x = + = = 由动量定理： u dx I t + − = 所以有： 0 0 ( ) t t I u x x = = −
解:定解问题为: ta uxx 0,(-∞0<x<+∞ l-0=0.(-∞<x<+∞) 6(x (-∞<x< 可直接代入达朗贝尔公式求解 Px+at (x,) 2a o(5-x0)d5 x-Xo tat 6()d5 2ap Jx-xo-at
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 8 可直接代入达朗贝尔公式求解 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 0, 0, , tt xx t t t u a u x u x I u x x x = = − = − + = − + = − − 解：定解问题为： ( ) 0 0 0 1 ( , ) 2 ( ) 2 x at x at x x at x x at I u x t x d a I d a + − − + − − = − =
引入阶跃函数: 0(-∞0<x<0 H(x) 1(0<x<+∞) H'(x)=(x) 所以定解问题的解可以进一步表达为: x-xo tat (x,) 6()d5 H(S x-Xotat 2ap x-xo-at 2ap x-xo -at 2ap H(x-xo +at )-H(x-xo -at)
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 9 ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( ) ( ) 2 2 2 x x at x x at x x at x x at I I u x t d H a a I H x x at H x x at a − + − + − − − − = = = − + − − − 引入阶跃函数： 0( 0) ( ) 1(0 ) x H x x − = + 则： H x x ( ) ( ) = 所以定解问题的解可以进一步表达为：
2、无限长弦的纯强迫振动定解问题 无限长弦在纯强迫力f(x,t)引起的振动定解问题为: u=a'u+f(x, t(xER,t>0) t=0 0 u t=0 =0 对应的齐次化问题为: W=aWn(x∈R,t>7) W1==0,Wl=f(x)
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 10 2、无限长弦的纯强迫振动定解问题 无限长弦在纯强迫力f(x,t)引起的振动定解问题为： 2 0 0 ( , )( , 0) 0 0 tt xx t t t u a u f x t x R t u u = = = + = = 对应的齐次化问题为： 2 ( , ) 0, ( , ) tt xx t t t W a W x R t W W f x = = = = =