数理方程与特殊函教 假髁教师:杨春 Email:yc517922@126.com 液用数学学院
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 1 Email: yc517922@126.com 数理方程与特殊函数 任课教师：杨春 应用数学学院
本次课主要内容 贝塞尔函数及其性质 (一)、贝塞尔方程 (二)、贝塞尔方程的求解与贝塞尔函数 (三)、贝塞尔函数的母函数及递推公式
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 2 本次课主要内容 贝塞尔函数及其性质 (一)、贝塞尔方程 (二)、贝塞尔方程的求解与贝塞尔函数 (三)、贝塞尔函数的母函数及递推公式
(一)、贝塞尔方程 例设有半径为R的薄圆盘,其侧面绝缘,若圆盘边界上的 温度恒保持为零度,且初始温度为已知。求圆盘内的瞬时温 度分布规律 定解问题为: ou=a、Ox (x2+y2<R t 1=0=卯(x,y 0 采用分离变量法求解
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 3 例 设有半径为R的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的 温度恒保持为零度，且初始温度为已知。求圆盘内的瞬时温 度分布规律 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 , , 0 t x y R u u u a x y R t x y u x y u = + = = + + = = (一)、贝塞尔方程 定解问题为： 采用分离变量法求解
(1)、时空变量分离 令:v(x,y,1)=V(x,y)7(t) 得:7()+a27()=0…() a2v aV +2+=0…(2 ax a 对(2),采用极坐标并考虑边界条件得 a2v 1 av 1 a2V +=0,(p<R dp pap p08 =P=0 (2)、空间变量分离
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 4 u(x, y,t) = V(x, y)T(t) 2 T t a T t ( ) ( ) 0 (1) + = (1)、时空变量分离 令： 得： 2 2 2 2 0 (2) V V V x y + + = (2)、空间变量分离 对(2)，采用极坐标并考虑边界条件得： 2 2 2 2 2 1 1 0,( ) (3) 0 R V V V V R V = + + + = =
(P,0)=P(p)⊙(e 得"()+1⊙()=0…(4) pP(p)+pP(p)+(42-)P(P)=0…(5) (3)、求固有值问题 ∫e"(O)+(O)=0 Q()=(2x+) 固有值为: ,(n=0,1,2
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 5 V(, ) = P()( ) 2 2 P P P ( ) ( ) ( ) ( ) 0 (5) + + − = 令： 得： + = ( ) ( ) 0 (4) (3)、求固有值问题 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 + = = + 固有值为： 2 ,( 0,1,2.....) n = = n n
固有函数为: ⊙0(0)=0(为常数) 2 ⊙n(6)= a cosn6+ b sin n6,(n=1,2,…) 另一个固有值问题为: p2P"(p)+pP(p)+(Ap2-n2)P(p)=0 (6) (R)=0.P(0)<+0 为使该分离变量求解能进行下去,需要求解(6)中 常微分方程。在分离变量求解中常常遇到这种方 程 再看一个例子
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 6 ( ) cos sin ,( 1,2, ) ( ) 2 ( ) 0 0 = + = = a n b n n a n n n 为常数 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 (6) ( ) 0, (0) P P n P P R P + + − = = + 固有函数为： 另一个固有值问题为： 为使该分离变量求解能进行下去，需要求解(6)中 常微分方程。在分离变量求解中常常遇到这种方 程。 再看一个例子：
在圆柱内传播的电磁波问题。设沿方向均匀的电磁波 在底半径为1的圆柱域内传播,在侧面沿法向方向导数 为零,从静止状态开始传播,初速为1-ρ2。求其传播 规律(假设对极角0对称) 定解问题为: ln=a2(um2+u2)2(t>00<p<1) 0 0 (1)、分离变量 =R()O
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 7 在圆柱内传播的电磁波问题。设沿方向均匀的电磁波 在底半径为1的圆柱域内传播，在侧面沿法向方向导数 为零，从静止状态开始传播，初速为1-ρ2 。求其传播 规律（假设对极角θ对称） 2 1 0 2 0 0 1 ( ),( 0,0 1) 0, 0, 1 tt t t t u a u u t u u u u = = = = = + = + = = − 定解问题为： (1)、分离变量 u = R()T(t)
T"(t)+Aa2T(t)=0 pR+pR'+pR=0 (2)、求固有值问题 PR"+PR+pR=o R 0.R p=0 <+O ()中方程与(6)中方程形式相同! 对(5中方程,作变换:=√P并记: F(r=P
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 8 ( ) ( ) 0 2 T t + a T t = 2 2 R R R + + = 0 2 2 1 0 0 (7) 0, R R R R R = = + + = = + (2)、求固有值问题 (7)中方程与(6)中方程形式相同！ 对(5)中方程，作变换： r = 并记： ( ) r F r P =
得到 rF()+rF()+(r2-n2)F(r)=0…(8) 定义1:形如(8)的常微分方程称为n阶贝塞尔方程, n是实数或复数 二)、贝塞尔方程的求解与贝塞尔函数 假定方程形式为 +xx+(x2-n2)y=0 同时假定n≥0
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 9 2 2 2 r F r rF r r n F r ( ) ( ) ( ) ( ) 0 (8) + + − = 得到： 定义1：形如(8)的常微分方程称为n阶贝塞尔方程， n是实数或复数. (二)、贝塞尔方程的求解与贝塞尔函数 假定方程形式为： ( ) 0 2 2 2 2 2 + + x − n y = dx dy x dx d y x 同时假定： n 0
假定方程有一个级数解形式为 y=x(a+a1x+a2x2+…ax+…,a0≠0 k ax 把假定解代入方程中确定c与a1(k=0,1,2,) 代入方程得 ∑(e+kXc+k=1)+(a+)+ n川a1x 0 k=0 化简后得: C+1 C-n laox +c+ n lax+ ∑{(e+k) -n la+ak-2/rcx k=2
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 10 假定方程有一个级数解形式为 2 0 1 2 0 ( ), 0 c k k y x a a x a x a x a = + + + + 0 c k k k a x + = = 把假定解代入方程中确定c与ak (k=0,1,2,…..) 代入方程得： ( )( ) ( ) ( ) = + + + − + + + − = 0 2 2 . 1 . 0 k c k k c k c k c k x n a x 化简后得： ( ). ( 1) . .( ) . . 0 2 2 1 2 2 1 2 2 0 2 2 − + + − + + − + = = + − + k c k k k c c c n a x c n a x c k n a a x