数理方程与特殊函教 任倮教师:杨春 Email:yc517922@126.com 友用数学学院
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 1 Email: yc517922@126.com 数理方程与特殊函数 任课教师：杨春 应用数学学院
本次课主要内容 习题课 )、定解问题的建立 (二)、方程的化简 (三)、8函数 (四)、分离变量方法
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 2 本次课主要内容 (一)、定解问题的建立 (二)、方程的化简 习题课 (三)、δ函数 (四)、分离变量方法
()、定解问题的建立 写出定解问题,需要建立偏微分方程 写出边界条件(包括衔接条件,自然条件) 和初始条件。 建立偏徼分方程的主要方法是微元法 (1).明确物理过程与研究对象(待研究物理量); (2进行微元分析; 分析微元和相邻部分的相互作用,根据 物理定律用算式表达这种作用
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 3 (一)、定解问题的建立 写出定解问题，需要建立偏微分方程、 写出边界条件(包括衔接条件，自然条件） 和初始条件。 建立偏微分方程的主要方法是微元法 (1).明确物理过程与研究对象(待研究物理量); (2).进行微元分析； 分析微元和相邻部分的相互作用，根据 物理定律用算式表达这种作用
(3)化简、整理算式。 如何写出三类边界条件? (1)、明确环境影响通过的所有边界 (2)、分析边界所处的物理状况; 3)、利用物理规律写出表达边界状况的表 达式
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 4 如何写出三类边界条件？ (1)、明确环境影响通过的所有边界； (2)、分析边界所处的物理状况； (3)、利用物理规律写出表达边界状况的表 达式。 (3).化简、整理算式
例1一根半径为r密度为p,比热为c,热传导系数 为k的匀质杆。如果同截面上的温度相同,其侧面与 温度为u1的介质发生热交换,且热交换系数为k1求 杆上温度满足的方程 X+dx 解:物理量为杆上温度u(x,t取微元x,x+dx 在d时间里,微元段获得的热量为: ku,(x+dx, t)S-u,(x,d)s]dt
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 5 例1 一根半径为r,密度为ρ，比热为c，热传导系数 为k的匀质杆。如果同截面上的温度相同，其侧面与 温度为u1的介质发生热交换，且热交换系数为k1.求 杆上温度满足的方程 解：物理量为杆上温度u(x,t),取微元[x,x+dx] x+dx x x 在dt时间里，微元段获得的热量为： k u x dx t S u x t S dt x x ( , ) ( , ) + −
该热量一部分Q用于微元段升温,另一部分Q2从侧面流出 2=cpSdru, dtO=K(u-u)2Trdxdt 所以,微元段满足的方程为: hu,(x+dx, t)S-u,(x,t)S]dt cpSdiu, dt +k(u-u1)2Trdxdt 所以,方程为: k 2k1 LL.+ u C cor
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 6 该热量一部分Q1用于微元段升温，另一部分Q2从侧面流出 Q c Sdxu dt 1 = t 2 1 1 Q k u u rdxdt = − ( )2 所以，微元段满足的方程为： k u x dx t S u x t S dt x x ( , ) ( , ) + − 1 1 = + − c Sdxu dt k u u rdxdt t ( )2 1 1 2 ( ) xx t k k u u u u c c r = + − 所以，方程为：
(二)、方程的化简 1、写出特征方程:(么)一2() 2、计算=a12 1122 3、作变换 (1)△>0 ∫4=(x,y) 7=2(x,y)
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 7 1、写出特征方程： 2、计算 2 11 12 22 2 0 dy dy a a a dx dx − + = 2 12 11 22 = − a a a 3、作变换 (1)、 0 1 2 ( , ) ( , ) x y x y = = (二)、方程的化简
(2)、△<0 P(x, y)+p(x, yi=c ∫4=(x,y) 1n=∞2(x,y)
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.50 0.51 n 8 (2) 、 0 12 ( , ) ( , ) x y x y = = 1 2 ( , ) ( , ) x y x y i c =
(3)、△=0 p(x,y)=c ∫4=9(x,y) 1n=x(或y)
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.50 0.51 n 9 (3) 、 = 0 ( , ) ( ) x y x y = = 或 ( , ) x y c =
4、求出变换方程: 12 12 22 22 其中:/ 77x y L5 -C5, b,=Ln-n, c=c,f=f
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 10 4、求出变换方程： 11 12 11 12 21 22 21 22 a a a a Q QT a a a a = 1 2 b L c b L c c c f f = − = − = = , , , 其中： x y x y Q =