电子科技大学：《数理方程与特殊函数》第四章 行波法（4.2）无界域上二维波动方程求解

数理方程与特殊函教 任倮教师:杨春 Email:yc517922@126.com 友用数学学院

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 1 Email: yc517922@126.com 数理方程与特殊函数 任课教师：杨春 应用数学学院

本次课主要内容 无界域上二维波动方程求解 ()、二维波动方程柯西问题的降维法 (二)、行波法求解定解问题应用举例

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 2 本次课主要内容 (一)、二维波动方程柯西问题的降维法 (二)、行波法求解定解问题应用举例 无界域上二维波动方程求解

()、二维波动方程柯西问题的降维法 二维空间的自由振动的波动方程定解问题为 u (-∞0 aX 4-0=0(x,y) Or liso=y(x, y) 求解方法:把二维看成三维的特殊情形,即把二维 情形的方程、初始条件和波函数看成与Z无关的三维 问题进行处理,从三维泊松公式出发,利用曲面积 分计算,得到二维问题的解

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 3 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 0 0 , , , 0 ( , ) ( , ) t t u u u a x y t t x y u x y u x y t   = =       = + −   +            =    =    二维空间的自由振动的波动方程定解问题为： 求解方法：把二维看成三维的特殊情形，即把二维 情形的方程、初始条件和波函数看成与z无关的三维 问题进行处理，从三维泊松公式出发，利用曲面积 分计算，得到二维问题的解。 (一)、二维波动方程柯西问题的降维法

ds do 球面S的方程为: 5=z+√a2-(5-x)2-(-y

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 4 球面S的方程为： x dS θ at M dσ y z 2 2 2 2    =  − − − − z a t x y ( ) ( )

do=ds cos e dsVa2t2-(2-x)2-(5-y)2 t 所以 at ds= O a2t2-(-x)2-(2-y) 所以U(M)化为圆域上二重积分的二倍,于是得到 二维无界域上自由振动的波动方程的解为

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 5 所以 d dS   = cos 所以U(M,t)化为圆域上二重积分的二倍，于是得到 二维无界域上自由振动的波动方程的解为： 2 2 2 2 a t x y ( ) ( ) dS at − − − −   = 2 2 2 2 ( ) ( ) at dS d a t x y    = − − − −

1| l(x,y,=,t) q(5,) dsan 2za ot 2vat2-(5-x)-(n-v 2丌a (5-x)2-(7-y) 在极坐标系下为: 1 a rat r2r (x+rcos 0, y+rsin 0 l(x、y),二 t) 2Tal at Jo Jo a t-r 1 ra r2xy(x+rcos 0,y+rsin 0) rare 2Tal Jo Jo 上面公式称为二维泊松公式

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 6 2 2 2 2 1 ( , ) ( , , , ) 2 D ( ) ( ) u x y z t d d a t a t x y            =    − − − −      在极坐标系下为： 2 2 2 2 1 ( , ) 2 D ( ) ( ) d d a a t x y           +    − − − −     2 0 0 2 2 2 1 ( cos , sin ) ( , , , ) 2 at x r y r u x y z t rdrd a t a t r          + + =      −   2 0 0 2 2 2 1 ( cos , sin ) 2 at x r y r rdrd a a t r        + + +     −   上面公式称为二维泊松公式

把低维问题用相应的高维问题来处理,称为降维 法。降维法不仅在波动方程问题中使用,在其它 一些定解问题中也可以使用。 例1、用降维法由三维波动方程泊松公式推导出 维波动方程的达朗贝尔公式。 解:三维波动方程初值问题: a2u au a 2+2(-0) at Ox 0y az 4=0=0(xy,=) al=0=(x, 当u不依赖xy时,即得到自由弦振动方程

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 7 把低维问题用相应的高维问题来处理，称为降维 法。降维法不仅在波动方程问题中使用，在其它 一些定解问题中也可以使用。 例1、用降维法由三维波动方程泊松公式推导出 一维波动方程的达朗贝尔公式。 解：三维波动方程初值问题： ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 , , , , 0 ( , , ), ( , , ) t t u u u u a x y z t t x y z u u x y z x y z t = =          = + + −   +              = =   当u不依赖x,y时，即得到自由弦振动方程：

ou o00 t=0 t=0 泊松公式为: (M,)= 100(M) ds+ 4 y(M) dS 4Ta at 当φ,西只与z有关时,可得: (M) ds 2rrr(=+at cos 6 (at )sin dedo 0J0 at

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 8 泊松公式为： 当φ，ψ只与z有关时，可得： ( ) 2 2 2 2 2 0 0 , 0 ( ), ( ) t t u u a z t t z u u z z t = =     = −   +         = =   . . . . 2 1 ( ) ( ) ( , ) 4 M M S S at at M M u M t dS dS a t t t         = +          . . 2 2 0 0 ( ) ( cos ) ( ) sin M S at M dS t z at at d d at          +   

2r/o(=+at cos e)(at)sin ede 0 at 令:2+ at cose= 则当θ:0到π时,:z+at到z-at,于是得: fr(M) ds=artar s-at p(s) 水 同样的方法得 y(M ds=2r-uw(5)d5 水水 S

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 9 令： z at + = cos  则当θ：0到π时，ξ：z+at到z-at,于是得： 2 0 ( cos ) 2 ( ) sin z at at d at       + =  . . ( ) 2 ( ) * M at z at z at S M dS d t      + −  =   同样的方法得： . . ( ) 2 ( ) ** M at z at z at S M dS d t      + −  =  

将*与*代入泊松公式得 x,)=[o(x+a)+(x-a)+ xtar 2 a e.x-at 例2、求解定解问题: Ox ay x,y< A=0=x(x+y) 0 at 解:由二维泊松公式:

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 10 将*与**代入泊松公式得： 例2、求解定解问题：  ( ) ( ) ( )  + − = + + − + x a t x a t d a u x t x at x at . 2 . 1 2 1 ( , )      ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 , , , 0 ( ), 0 t t u u u a x y t t x y u u x x y t = =       = + −   +             = + =   解：由二维泊松公式：