数理方程与特殊函教 任倮教师:杨春 Email:yc517922@126.com 友用数学学院
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 1 Email: yc517922@126.com 数理方程与特殊函数 任课教师：杨春 应用数学学院
本次课主要内容 非齐次方程定解问题求解 )、定解问题的分解 (二)、齐次化原理在求解中的应用 (三)、固有函数值方法求解定解问题
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 2 非齐次方程定解问题求解 本次课主要内容 (一)、定解问题的分解 (二)、齐次化原理在求解中的应用 (三)、固有函数值方法求解定解问题
()、定解问题的分解 先讨论如下定解问题求解: u =aur+f(t,x)(t>0,0<x<l) l(t20)=(t,L)=0 l(0,x)=0(x),1(0,x)=v(x) 分析:定解问题可以看成两端固定弦的强迫振动 问题。振动是由强迫力与初始扰动引起的合成振 动,于是,可设问题的解为: u(x, t)=v(x, t)+W(x,t
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 3 = = = = = + (0, ) ( ), (0, ) ( ) ( ,0) ( , ) 0 ( , )( 0,0 ) 2 u x x u x x u t u t L u a u f t x t x L t t t xx 先讨论如下定解问题求解： 分析：定解问题可以看成两端固定弦的强迫振动 问题。振动是由强迫力与初始扰动引起的合成振 动，于是，可设问题的解为： u x t V x t W x t ( , ) ( , ) ( , ) = + (一)、定解问题的分解
其中,V(x,t)表示初始状态引起的弦振动位移,而W(x, 表示强迫振动引起的弦振动位移。 于是所给的定解问题分解成两个简单的定解问题 v(2,0)=v(t2L)=0 v(0,x)=9(x),v2(0,x)=v(x) W=aw+f(t, x) W(t,0)=W(t2D)=0 * W(0,x)=0,W(0,x)=0
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 4 于是所给的定解问题分解成两个简单的定解问题 2 ( ,0) ( , ) 0 * (0, ) ( ), (0, ) ( ) tt xx t v a v v t v t L v x x v x x = = = = = 2 ( , ) ( ,0) ( , ) 0 ** (0, ) 0, (0, ) 0 tt xx t W a W f t x W t W t L W x W x = + = = = = 其中，V(x,t)表示初始状态引起的弦振动位移，而W(x,t) 表示强迫振动引起的弦振动位移
对于一般常系数二阶偏微分方程定解问题: L,u+L2u=f(t,x),(t>0,x1<x<x2) a,a2,B,B, a,u,(t,x,)-B,u(t,x)=0 a2l2(t2x2)+B2(t,x2)=0 非负常数 (0,x)=0(x),(0,x)=v(x) +B2≠0(i=12) =a2+a2+a2L=b2+b2。+b at ax ax 分别是关于和x的二阶常系数偏微分算子
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 5 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 ( , ),( 0, ) ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) 0 (0, ) ( ), (0, ) ( ) t x x x t L u L u f t x t x x x a u t x u t x a u t x u t x u x x u x x + = − = + = = = 1 2 1 2 , , , 对于一般常系数二阶偏微分方程定解问题： 0( 1,2) 2 2 i + i i = 非负常数 2 t 1 2 3 2 L a a a t t = + + 2 x 1 2 3 2 L b b b x x = + + 分别是关于t和x的二阶常系数偏微分算子
令:m(x1)=V(x,1)+W(x,D 原定解问题可作如下分解: L1V+LV=0,(t>0,x10,x,<x<x2) a1W2(t2x)+BW(,x)=0 a,W(t,x)+B,W(t,x,)=0 W(0,x)=0,W(0,x)=0
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 6 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 0,( 0, ) ( , ) ( , ) 0 (1) ( , ) ( , ) 0 (0, ) ( ), (0, ) ( ) t x x x t LV L V t x x x a V t x V t x a V t x V t x V x x V x x + = + = + = = = 令： u x t V x t W x t ( , ) ( , ) ( , ) = + 与 原定解问题可作如下分解 ： 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 ( , ),( 0, ) ( , ) ( , ) 0 (2) ( , ) ( , ) 0 (0, ) 0, (0, ) 0 t x x x t LW L W f x t t x x x a W t x W t x a W t x W t x W x W x + = + = + = = =
对于(1),可考虑分离变量求解,因此,主要讨论(2) 的求解 (二)、齐次化原理在求解中的应用 对于(2),注意到方程是非齐次方程,边界条件 是齐次边界条件,初值条件为0初值条件,正好和 二阶线性偏微分方程理论中的齐次化原理条件相对 应,所以,可以考虑用齐次化原理求解
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 7 对于(1),可考虑分离变量求解，因此，主要讨论(2) 的求解 (二)、齐次化原理在求解中的应用 对于(2),注意到方程是非齐次方程，边界条件 是齐次边界条件，初值条件为0初值条件，正好和 二阶线性偏微分方程理论中的齐次化原理条件相对 应，所以，可以考虑用齐次化原理求解
齐次化原理回顾 齐次化原理 如果WM满足方程(M∈Rm at f(r, M) 那么非齐次柯西问题 ar? Lu+f( M)(MER,t>0) 的解为: =0 0 at u=w(t, M; r)dr 0
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 8 齐次化原理1 齐次化原理回顾 ( ) 2 3 2 ,( , ) 0, , t t L M R t t f M t = = = = = ( ) = = = + = 0, = 0 , ,( , 0) 0 0 3 2 2 t t t u u Lu f t M M R t t u ( ) . .0 , ; t u W t M d = 如果 W M t ( , ; ) 满足方程： 那么非齐次柯西问题 的解为：
齐次化原理2 如果W(M,t)满足方程: L,(M∈R3,t>z t=T f(r, M). 那么非齐次柯西问题 Lu+f(t,M)(M∈R3,t>0) t 的解为: t=0 0 u=Sw(t M: a)dr
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 9 齐次化原理2 ( ) = = + = 0 , ,( , 0) 0 3 t u Lu f t M M R t t u ( ) ( ) = = = , , , , , 3 f M L M R t t t ( ) . .0 , ; t u W t M d = 如果 W M t ( , ; ) 满足方程： 那么非齐次柯西问题 的解为：
例1解定解问题 x a +4 ht 00 L 0 t=0 0 解:考虑相应齐次方程的定解问题 aw a-w 0r>0 at x=0 f=T L
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 10 例1 解定解问题： ( ) 2 2 2 0 0 1 , 0 , 0 0 0 ht x x L t u u x a A e x L t t x L u u u − = = = = + − = = = 解：考虑相应齐次方程的定解问题 ( ) = − = = = − = = = h t x x L e L x W A W W x L t x W a t W 1 0 , 0 , 0 0 2 2 2