数理方程与特殊函教 任倮教师:杨春 Email:yc517922@126.com 友用数学学院
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 1 Email: yc517922@126.com 数理方程与特殊函数 任课教师：杨春 应用数学学院
本次课主要内容 线性偏微分方程的基本解 (一)、线性偏微分方程基本解的概念与性质 (二)、三类典型方程的基本解 1、稳态场方程的基本解 2、热传导方程的基本解 3、波动方程的基本解
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 2 本次课主要内容 线性偏微分方程的基本解 (一)、线性偏微分方程基本解的概念与性质 (二)、三类典型方程的基本解 1、稳态场方程的基本解 2、热传导方程的基本解 3、波动方程的基本解
(一)、线性偏微分方程基本解的概念与性质 二阶线性偏微方程: Lu=f f=0时,称方程为齐次方程,否则,方程为非齐 次方程。 其中L是关于x1,x2,…,xn的二阶线性偏微分算子 ∑ +2∑b。+c i,j=1 a Cx
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 3 其中L是关于x1 ,x2 ,….,xn的二阶线性偏微分算子 二阶线性偏微方程： f=0时，称方程为齐次方程，否则，方程为非齐 次方程。 (一)、线性偏微分方程基本解的概念与性质 Lu = f 2 , 1 1 2 n n ij i i j i i j i L a b c = = x x x = + +
(1)、定义:方程【L=-(M) 的解U称为方程D==f(M)的基本解 (2)、性质 定理1:若U是方程L=-f(M)的基本解 且u是L=0解,则uU是方程 的基本解。且方程所有基本解均有形式: u+U。 证明:因为: L(u+U)Lu +LU=+LUE-S(M)
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 4 (1)、定义：方程 Lu M = − ( ) 的解U称为方程 Lu f M = − ( ) 的基本解. (2)、性质 定理1：若U是方程 的基本解， 且u是 的解，则u+U是方程 的基本解。且方程所有基本解均有形式： u+U。 Lu f M = − ( ) Lu = 0 证明：因为： L u U Lu LU ( + = + ) = +0 LU = − ( ) M
所以,u+U是基本解。 又由线性偏微分方程解的结构定理得定理的后 结论 定理2:若f(M)是连续函数,U(M)满足方程: LU=-δ(M 则如下卷积 U*f=SSUM-Mo)(ModMo 是方程LU=-f(M)的解
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 5 所以，u+U是基本解。 又由线性偏微分方程解的结构定理得定理的后 一结论。 定理2：若f(M)是连续函数，U(M)满足方程： 则如下卷积 LU M = − ( ) 3 * ( ) ( ) 0 0 0 R U f U M M f M dM = − 是方程 LU f M = − ( ) 的解
证明:首先:LUM-M)=-O(M-M1 其次: L(U*/)=凵(M=MM LU(M-Mo)f(MOdMo 「∫ S(M-Mof(MO)dm f(M 两点说明: ()该定理表明:欲求方程4u=(M的
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 6 证明：首先： 其次： 0 0 LU M M M M ( ) ( ) − = − − ( ) 3 * ( ) ( ) 0 0 0 R L U f L U M M f M dM = − 3 0 0 0 ( ) ( ) R = − LU M M f M dM 3 0 0 0 ( ) ( ) R = − − M M f M dM = − f M( ) 两点说明： (1)、该定理表明：欲求方程：Lu f M = − ( ) 的
特解,只要求出其基本解即可。 (2)、物理解释: 方程:L=-f(M)的解可以理解为由静电 场源f(M激发的电势,定理表明:求连续分布 场,可以通过求点源的场来实现 (二)、三类典型方程的基本解 1、稳态场方程的基本解 (1)、三维泊松方程的基本解 设三维泊松方程的形式为△=-f(M)…M∈R 于是基本解为方程:A=-6(M)的解
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 7 特解，只要求出其基本解即可。 (2)、物理解释： 方程： 的解可以理解为由静电 场源f(M)激发的电势，定理表明：求连续分布 场，可以通过求点源的场来实现。 Lu f M = − ( ) (二)、三类典型方程的基本解 1、稳态场方程的基本解 (1)、三维泊松方程的基本解 设三维泊松方程的形式为： 3 = − u f M M R ( ) 于是基本解为方程： = − u M ( ) 的解
为求出基本解,考虑:△=0的球对称解 拉氏方程的球坐标形式为: 0(,u 10 sin e =0 r、or)r2sin 80) r sin 0 a 若方程具有球对称,当r不为零时有: 0 得解为 +C 若取c C=O 4 则求出 4丌r (≠0)
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 8 拉氏方程的球坐标形式为： 为求出基本解，考虑： = u 0 的球对称解. 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 sin 0 sin sin u u u r r r r r r + + = 若方程具有球对称，当r不为零时有： 2 0 d du r dr dr = 得解为： 1 2 C U C r = + 若取 1 2 1 , 0 4 C C = = 则求出 1 ,( 0) 4 U r r =
通过验证得:AU=-6(M 于是求得三维泊松方程的基本解为: 4x(r≠0) 例1、写出三维泊松方程特解表达式 解:由基本解和定理2得三维泊松方程特解表达 式为: =U*f=川U(M-M)f(M)dM 2)、平面泊松方程的基本解 设平面泊松方程的形式为△=-/(M)…M∈R 于是基本解为方程:△M=-6(M)的解
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 9 通过验证得： 于是求得三维泊松方程的基本解为： = − U M ( ) 1 ,( 0) 4 U r r = 例1、写出三维泊松方程特解表达式 解：由基本解和定理2得三维泊松方程特解表达 式为： 3 * * ( ) ( ) 0 0 0 R u U f U M M f M dM = = − (2)、平面泊松方程的基本解 设平面泊松方程的形式为： 2 = − u f M M R ( ) 于是基本解为方程： = − u M ( ) 的解
为求出基本解,考虑:△=0的柱面对称解 拉氏方程的柱坐标形式为: o\r or 1 au a1 r20 若方程具有柱对称,当r不为零时有: C 0 dr 得解为:U=Chnr+C2 若取C O 27T 则求出=-2zHn(≠0)
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 10 拉氏方程的柱坐标形式为： 为求出基本解，考虑： = u 0 的柱面对称解. 2 2 2 2 2 1 1 0 u u u r r r r r z + + = 若方程具有柱对称，当r不为零时有： 0 d du r dr dr = 得解为： 1 2 U C r C = + ln 若取 1 2 1 , 0 2 C C = − = 则求出 1 ln ,( 0) 2 U r r = −
