数理方程与特殊函教 任倮教师:杨春 Email:yc517922@126.com 友用数学学院
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 1 Email: yc517922@126.com 数理方程与特殊函数 任课教师：杨春 应用数学学院
本次课主要内容 几种特殊区域上狄氏问题格林函数 ()、平面狄氏问题格林函数 (二)、狄氏问题格林函数的求法
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 2 本次课主要内容 (一)、平面狄氏问题格林函数 几种特殊区域上狄氏问题格林函数 (二)、狄氏问题格林函数的求法
()、平面狄氏问题格林函数 1、平面狄氏问题格林函数的引出 平面泊松方程狄氏问题为: △=x+l1y=f(x,y),(x,y)∈D s=9(x,连续) (1)、解的积分表达式 设u(xy)为定解问题对应的洛平问题的解,令v(x2y)为Ds上调 和函数
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 3 (一)、平面狄氏问题格林函数 1、平面狄氏问题格林函数的引出 平面泊松方程狄氏问题为： ( , ),( , ) ( , )( xx yy S S u u u f x y x y D u x y = + = = 连续） (1)、解的积分表达式 设u(x,y)为定解问题对应的洛平问题的解，令v(x,y)为DS上调 和函数
由第二格林公式: 9(N-)6+v(x L 由第三格林公式,如下定解问题 △a=f(x,y),(x2y)∈D 的解为 us=o(x,D),o2=y(x, y) / (M)=手2xn MMo 1√们 ∠S On 2T n-f(x,y)dσ…** 2It 3 r
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 4 由第二格林公式： 由第三格林公式，如下定解问题 ( ) ( , ) * L D u v v u dS vf x y d − + ( , ),( , ) ( , ), ( , ) S L u f x y x y D u u x y x y n = = = 0 0 0 1 1 1 1 ( ) ln ln 2 2 1 1 ln ( , ) ** 2 L MM MM D u M dS r n r f x y d r = − − 的解为：
将*与*相加可得如下等式: u(Mo)= ∮ n In ds 2n r MMo an 2T / MM In -=vIf(x, y)de 水水水 2T r 在*中 G(M,M0)=1n-(x,y) 2丌tMo 当G(MM)满足
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 5 将*与**相加可得如下等式： 0 0 0 1 1 1 1 ( ) ln ln 2 2 1 1 ln ( , ) *** 2 L MM MM D u M v v dS r n r v f x y d r = − − − − − 在***中，令： 0 0 1 1 ( , ) ln ( , ) 2 MM G M M v x y r = − 当G(M,M0 )满足
△G(M,M0)=-(M-M0) M.M∈D G(M,M0)=0 时,得平面泊松方程狄氏问题的解的积分表达式,即: 定理:平面泊松方程狄氏问题的解为: n(M)=手9 OG s-Gf(x 推论:平面拉氏方程狄氏解为: OG u(Mo) ds
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 6 0 0 0 0 ( , ) ( ) , ( , ) 0 S L G M M M M M M D G M M = − − = 时，得平面泊松方程狄氏问题的解的积分表达式，即： 定理：平面泊松方程狄氏问题的解为： 0 ( ) ( , ) L D G u M dS Gf x y d n = − − 推论：平面拉氏方程狄氏解为： 0 ( ) L G u M dS n = −
(2)、平面狄氏格林函数的定义与性质 定义:若G(MM)满足 △G(M,M0)=-(M-M) G(M,M0)=0 则称G(MM为定义在Ds上的平面狄氏格林函数。 物理意义:首先,对于方程△GM,M)=-80M)来说, 其物理意义是:平面中M点处有一电量为e(真空中的介 电常数)的正点电荷,在M处产生的电势为GM,M),其大 小为G(M,M)=1/2π1nr; 其次,狄氏格林函数定解问题可以理解为:接地导 电圈内M处有正点电荷E和它在边界上产生的感应电荷 在圈内M处产生的电势的叠加为G(MM,其大小为 GMM, Mo=1/4Inr +v(x, y)
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 7 定义：若G(M,M0 )满足： 0 0 0 0 ( , ) ( ) , ( , ) 0 S L G M M M M M M D G M M = − − = 则称G(M,M0 )为定义在DS上的平面狄氏格林函数。 物理意义：首先，对于方程ΔG(M,M0 )=-δ(M-M0)来说， 其物理意义是：平面中M0点处有一电量为ε(真空中的介 电常数）的正点电荷，在M处产生的电势为G(M,M0),其大 小为G(M,M0)=1/2πlnr； (2)、平面狄氏格林函数的定义与性质 其次，狄氏格林函数定解问题可以理解为：接地导 电圈内M0处有正点电荷ε和它在边界上产生的感应电荷 在圈内M处产生的电势的叠加为G(M,M0 ),其大小为 G(M,M0 )= 1/4πlnr +v(x,y)
平面狄氏格林函数的性质 性质1: G(M,M0)1m1 v(M) 2元 其中: MMO (x-x)2+(y-y)2,△v=O 性质2 Green函数具有对称性,即: G(M1;M2)=G(M2;M1)
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 8 性质1： 平面狄氏格林函数的性质 其中： 0 0 1 1 ( , ) ln ( ) 2 MM G M M v M r = − 0 2 2 0 0 r x x y y v MM = − + − = ( ) ( ) , 0 性质2 Green函数具有对称性，即： ( ; ) ( ; ) G M1 M2 = G M2 M1
(二)、特殊区域上狄氏问题格林函数的求法 1、三维空间中特殊区域上狄氏格林函数的求法 方法:镜像法 求三维空间中区域V上狄氏格林函数,可考虑一接地导 体壳S,在V内M处放置电量为0的正点电荷,由格 林函数物理意义:G(M,M等于V内电荷ε0与感应电荷 在M处产生的电势的叠加。这可以通过如下方法求: 在Ⅴ外找一个M关于S的像点,在该点放置一负电荷 使它与0在S上产生的电势叠加为零,则它们在M处的 电势叠加等于G(M,M (1)、球形域内狄氏问题格林函数 △G(M,M0)=-6(M-M0) G(M,M)=0 (x2+y2+z2≤R2,M∈V)
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 9 1、三维空间中特殊区域上狄氏格林函数的求法 (二)、特殊区域上狄氏问题格林函数的求法 方法：镜像法 求三维空间中区域VS上狄氏格林函数,可考虑一接地导 体壳S，在VS内M0处放置电量为ε0的正点电荷，由格 林函数物理意义：G(M,M0 )等于V内电荷ε0与感应电荷 在M处产生的电势的叠加。这可以通过如下方法求： 在V外找一个M0关于S的像点，在该点放置一负电荷， 使它与ε0在S上产生的电势叠加为零，则它们在M处的 电势叠加等于G(M,M0 ). (1)、球形域内狄氏问题格林函数 0 0 2 2 2 2 0 0 ( , ) ( ) ( , ) ( , ) 0 S G M M M M x y z R M V G M M = − − + + =
分析:问题等价于接地球内M处电量为E0的正点电荷 在M处产生的电势。由镜像法:可设想在OM的延长 线上M处,求一电量为-q的点电荷,使=和-q在S上的 电势叠加为0,则它们在M处的电势叠加就为格林函数 G(M, Mo) M M OM=F, OM=TO, OM,=/i,y=(OM, OM
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 10 分析：问题等价于接地球内M0处电量为ε0的正点电荷 在M处产生的电势。由镜像法：可设想在OM0的延长 线上M1处，求一电量为-q的点电荷，使ε0和-q在S上的 电势叠加为0，则它们在M处的电势叠加就为格林函数 G(M,M0 ) · M0 · M· M1 x y z O 0 0 1 1 0 OM r OM r OM r OM OM = = = = , , , ( , )