数理方程与特殊函教 假髁教师:杨春 Email:yc517922@126.com 液用数学学院
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 1 Email: yc517922@126.com 数理方程与特殊函数 任课教师：杨春 应用数学学院
本次课主要内容 勒让德多项式 (一)、勒让德方程 (二)、勒让德方程的幂级数解 )、勒让德多项式 (四)、勒让德多项式的罗得利克公式(重点) (五)、勒让德多项式的积分表达式
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 2 本次课主要内容 勒让德多项式 (一)、勒让德方程 (二)、勒让德方程的幂级数解 (三)、勒让德多项式 (四)、勒让德多项式的罗得利克公式(重点) (五)、勒让德多项式的积分表达式
(一)、勒让德方程 考虑球域内拉氏方程定解问题: x+2+u==0(x2+y2+=2<1 2+y+=f(xy,=) 在球坐标系下,定解问题为: 0(,u Sine cu 0 ar) rsin 0 80 90r2sin20 ag A=:=f(0,9)(0≤r<1.0≤0≤x,0≤q≤2z) 采用分离变量求解
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 3 ( ) 2 2 2 2 2 2 1 0, 1 ( , , ) xx yy zz x y z u u u x y z u f x y z + + = + + = + + = 考虑球域内拉氏方程定解问题： 在球坐标系下，定解问题为： (一)、勒让德方程 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 sin 0 sin sin ( , ),(0 1,0 ,0 2 ) r u u u r r r r r r u f r = + + = = 采用分离变量求解
分离变量 令:(,,m)=R(r)Y(O,) 得: 1 d(, dR y)102y sin e R2hrah) y sin 0 a、a丿sin20a02 在上面等式中令等式的值为n(n+1)得: R dR c2+2 n(H+1)R=0…(1) aY 1 aY sin e sin 0 a0 80) sin 8 a +n(n+1)Y=0…(2)
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 4 u r R r Y ( , , ) ( ) ( , ) = 2 2 2 2 2 1 1 1 1 sin sin sin d dR Y Y r R dr dr Y = − + 分离变量 令： 得： 在上面等式中令等式的值为n(n+1) 得： 2 2 2 2 ( 1) 0 (1) d R dR r r n n R dr dr + − + = 2 2 2 1 1 sin ( 1) 0 (2) sin sin Y Y n n Y + + + =
再令:Y(,9)=(Oy( 得: de 1d2① sinΦ+ sin e de de sin 0 doo+n(n+1)o=0 于是得: le d sine? de sIn +n(n+isin 2=1a ( de d Φd02 注意到: d(q+2z)=d(
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.50 0.51 n 5 再令： Y( , ) ( ) ( ) = 得： 于是得： 注意到： + = ( 2 ) ( ) 2 2 2 1 1 sin ( 1) 0 sin sin d d d n n d d d + + + = 2 2 2 1 1 sin sin ( 1)sin d d d n n d d d + + = −
可得上面等式的值必为m2(m=0,1,2,).于是得: >+m①=0.(m=0,12.)…(3 de sine|Φ+|n(n+1) =0…(4) sin e de de sIn 方程(3)的通解为: Φ(q)= Ccos m+ Dsin mo 对于方程(4),可变形为如下形式:
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 6 可得上面等式的值必为m2 (m=0,1,2,….).于是得： 方程(3)的通解为： = + ( ) cos sin C m D m 2 2 1 sin ( 1) 0 (4) sin sin d d m n n d d + + − = 2 2 2 0,( 0,1,2...) (3) d m m d + = = 对于方程(4)，可变形为如下形式：
de +cot 0+n(n+1) =0.(5) d de sint e 对于5在作变换x=cos的 并令o(O)=y 当取m=0时,则可以得到: 2 (1-x2)2,2-2x2+n(m+1)y=0…(6) ax (6)被称为勒让德方程
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 7 对于(5),在作变换： 并令： = ( ) y x = cos 2 2 2 2 cot ( 1) 0 (5) sin d d m n n d d + + + − = 当取m=0时，则可以得到： 2 2 2 (1 ) 2 ( 1) 0 (6) d y dy x x n n y dx dx − − + + = (6)被称为勒让德方程
(二)、勒让德方程的幂级数解 假定方程形式为 2x-+n(n+1)y=0…(6) dx dx 同时假定n为实数(不考虑复数情形) 假定方程有一个级数解形式为: y=x(a0+a1x+a2x2+…akx+…)
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 8 假定方程形式为： 同时假定n为实数(不考虑复数情形) (二)、勒让德方程的幂级数解 2 2 2 (1 ) 2 ( 1) 0 (6) d y dy x x n n y dx dx − − + + = 假定方程有一个级数解形式为： 2 0 1 2 ( ) c k k y x a a x a x a x = + + + + 0 c k k k a x + = =
把假定解代入方程中确定c与a1(k=0,1,2, 代入方程得: ∑[(+6)c+k-)-m(n+1]lx+(c+0)(e+k=1)ax2=0 k=0 适当整理得: c(c-1)aox+c(c+1)a,x ∑([+k+2(c++)]2(a+(++1)-m+)x=0 k=0
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 9 把假定解代入方程中确定c与ak (k=0,1,2,…..) 代入方程得： ( )( ) ( ) ( )( ) 2 0 0 1 1 1 0 k c k c k k k k c k c k n n a x c k c k a x + + − = = − + + − − + + + + − = 适当整理得： ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2 1 0 1 2 0 1 1 . 2 1 1 ( 1) 0 c c c k k k k c c a x c c a x c k c k a c k c k n n a x − − + + = − + + + + + + + − + + + − + =
于是得下列各式: c(-1)ao=0…*c(c+1)a1=0 (+k+2)(c+k+1)a2[(c+6)(+k+1)m+1) 于是得到: 0或1…*c=0或1或a1=0…求 暂取:C=0,由此得: (k-n)(k+n+1) k+2 (k=0,1,2,3, (k+1)(k+2)
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 10 于是得下列各式： 0 c c a ( 1) 0 * − = (c k c k a c k c k n n a + + + + − + + + − + = 2 1 1 ( 1) 0 )( ) k k +2 ( )( ) 于是得到： c = 0 1 * 或 暂取 ： c = 0 ，由此得： 2 ( )( 1) ( 0,1,2,3,....) ( 1)( 2) k k k n k n a a k k k + − + + = = + + 1 c c a ( 1) 0 ** + = 0 1 0 ** 1 c a = = 或- 或