数理方程与特殊函教 假髁教师:杨春 Email:yc517922@126.com 液用数学学院
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 1 Email: yc517922@126.com 数理方程与特殊函数 任课教师：杨春 应用数学学院
本次课主要内容 勒让德多项式及其应用 ()、勒让德多项式的母函数 (二)、勒让德多项式的递推公式 )、勒让德多项式正交性与展开定理 (四)、勒让德多项式的应用
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 2 本次课主要内容 勒让德多项式及其应用 (一)、勒让德多项式的母函数 (二)、勒让德多项式的递推公式 (三)、勒让德多项式正交性与展开定理 (四)、勒让德多项式的应用
()、回顾 1、n阶勒让德方程: (1-x2)y -2xy+(n+1)y 0 n为实数或复数 、n阶勒让德方程的通解 1)、当m为一般实数时,通解可表达为y=n+y2 n(n+ y 2+m(7-2)(n+1)n+3)+… (n-1)(n+2)3,(n-1)(n-3)n+2)m+4 x x-+ x+ 5!
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 3 (一)、回顾 2 (1 ) 2 ( 1) 0 − − + + = x y xy n n y 1、n阶勒让德方程: n为实数或复数. 2、n阶勒让德方程的通解 (1)、当n为一般实数时，通解可表达为： y y y = +1 2 2 4 1 0 ( 1) ( 2)( 1)( 3) 1 2! 4! n n n n n n y a x x + − + + = − + + 3 5 2 1 ( 1)( 2) ( 1)( 3)( 2)( 4) .... 3! 5! n n n n n n y a x x x − + − − + + = − + +
(2)当n是整数时,方程的通解为 CIPO+CoN( 其中 n P(x)=∑(-1) 2n-2m) 21 m= 0 2m(n-m)(n-2m) Qn(x)称为第二类勒让得函数,在-1,上无界。 3、勒让德多项式的罗得利克公式 1 d P,(x)
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 4 其中： (2) 当n是整数时，方程的通解为： 1 2 ( ) ( ) y C P x C Q x = + n n 2 2 0 (2 2 )! ( ) ( 1) 2 !( )!( 2 )! n m n m n n m n m P x x m n m n m − = − = − − − Qn (x)称为第二类勒让得函数，在[-1,1]上无界。 3、勒让德多项式的罗得利克公式 1 2 ( ) ( 1) 2 ! n n n n n d P x x n dx = −
勤让德多项式的积分表达式 2 72 P(z)=2ni2(5-2)+d5 P,(x) x+√x2-1 cos p doo,x≠1,-1 P(cos 0) [cos0+isin cosp]d,0<0<7 ()、勒让德多项式的母函数 可以证明: G(x, z) 2 ∑P(x)2z",|=|<1 2xz+z n=0
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 5 4、勒让德多项式的积分表达式 2 1 ! ( 1) ( ) 2 2 ( ) n n C n n n P z d i z + − = − 2 0 1 ( ) 1cos , 1, 1 n P x x x d x n = + − − 0 1 (cos ) cos sin cos ,0 n P i d n = + (一)、勒让德多项式的母函数 可以证明： 2 0 1 ( , ) ( ) , 1 1 2 n n n G x z P x z z xz z + = = = − +
称 G(x, z) ,|z<1,x≤1 2xz+z 为勒让德多项式的母函数 例1、证明: P()=1,P2(-1)=(-1) 证明:在母函数 +∞O ∑P(x)2z",|=|<1,|x≤1 2xz+z 中取x=1时有: ∑P(1)z
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 6 为勒让德多项式的母函数 称 2 1 ( , ) , 1, 1 1 2 G x z z x xz z = − + 例1、证明： (1) 1, ( 1) ( 1)n P P n n = − = − 证明：在母函数 2 0 1 ( ) , 1, 1 1 2 n n n P x z z x xz z + = = − + 中取x=1时有： 0 1 (1) 1 n n n P z z + = = −
∞O ∑ n=0 所以:P()= 取x=-1时有: 1+z ∑P(-1)z 1+z ∑(-1) 所以:P2(-1)=(-1)1 例2、证明: Pn1(0)=0,P2(O)=(-1) (2n) 2n !22n!
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.50 0.51 n 7 0 1 1 n n z z += = − 所以 ： Pn (1) 1 = 取x= - 1时有： 0 1 ( 1) 1 n n n P z z += = − + 0 1 ( 1) 1 n n n z z += = − + ( 1) 1 ( ) n 所以： Pn − = − 2 1 2 2 (2 )! (0) 0, (0) ( 1) !2 ! n n n n n P P n n − = = − 例 2 、证明 ：
证明:在母函数中取x=0得: +∞ 1+z =∑P(O 由于: ∞O (2n)!_2, 1+z ∑ 22"(n!)2 所以 Pn21(0)=0,P2n(O)=(-1) (2n) 2n
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 8 证明：在母函数中取x=0得： 2 0 1 (0) 1 n n n P z z + = = + 由于： 2 2 2 0 1 (2 )! ( 1) 1 2 ( !)2 n n n n n z z n + = = − + 所以 2 1 2 2 (2 )! (0) 0, (0) ( 1) !2 ! n n n n n P P n n − = = −
例3、证明:P(-x)=(-1P2(x) 证明:在母函数中用-x代x,同时用-代z得 23+2=()(x) 所以得:P(-x)=(-1)”P(x) 注:对于n阶勒让得多项式Pa(x),n为奇数时是奇函数, n为偶数时为偶函数。 (二)、勒让德多项式的递推公式(重点) 1.(2n+1)xP2(x)-mP1(x)=(mn+1)P1(x)
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 9 ( ) ( 1) ( ) n 例3、证明： P x P x n n − = − 证明：在母函数中用-x代x，同时用-z代z得： 2 0 1 ( 1) ( ) 1 2 n n n n P x z xz z + = = − − − + 所以得： ( ) ( 1) ( ) n P x P x n n − = − 注：对于n阶勒让得多项式Pn (x)，n为奇数时是奇函数， n为偶数时为偶函数。 (二)、勒让德多项式的递推公式(重点) 1,(2 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) n xP x nP x n P x + − = + n n n − + 1 1
P(x)=xP(x)-nP(x) 3,nB21(x)+xP1(x)=P(x) 个公式中,n=1,2,3 先证明公式1:由母函数 (1-2x+2)2=∑(x)2 =0 两端对球求导数得: (x-z)(1-2xz+ ∑nP(x)z =1
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 10 2, ( ) ( ) ( ) P x xP x nP x n n n −1 = − 3, ( ) ( ) ( ) nP x xP x P x n n n − − 1 1 + = 三个公式中，n=1,2,3….. 先证明公式1：由母函数 ( ) 1 2 2 0 1 2 ( ) n n n xz z P x z + − = − + = 两端对z求导数得： ( ) 3 2 1 2 1 ( ) 1 2 ( ) n n n x z xz z nP x z + − − = − − + =