数理方程与特殊函教 任倮教师:杨春 Email:yc517922@126.com 友用数学学院
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 1 Email: yc517922@126.com 数理方程与特殊函数 任课教师：杨春 应用数学学院
本次课主要内容 非齐次边界条件定解问题求解 )、边界条件齐次化方法 (二)、分离变量法总结
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 2 非齐次边界条件定解问题求解 本次课主要内容 (一)、边界条件齐次化方法 (二)、分离变量法总结
)、边界条件齐次化方法 般方法 讨论如下定解问题边界条件齐次化: 02u n2an2+f(x(00) l=0=(x),2 y(x) at t=0 采用未知函数代换法:(xD)=(x1)+W(x1) 选择适当的W(x,),使关于Ⅴ(x,t)定解问题边界条件是 齐次的
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 3 (一)、边界条件齐次化方法 1、一般方法 = = = = + = = = = = ( ), ( ) ( ), ( ) ( , ),(0 , 0) 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 x t u u x u u t u u t f x t x L t x u a t u t t x x L 讨论如下定解问题边界条件齐次化： 采用未知函数代换法： u(x,t) = V(x,t) +W(x,t) 选择适当的W(x,t)，使关于V(x,t)定解问题边界条件是 齐次的
具体过程: (1)、作代换: l(x2,)=V(x,)+W(x,t) (2)、将代换式代入定解问题中得: Vh +w=av+aw+f(x, t), (00) + (1)V-2+W|=a W V1+W10=0(x)|=0+10=v(x)
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 4 具体过程： (1)、作代换： (2)、将代换式代入定解问题中得： u(x,t) = V(x,t) +W(x,t) 2 2 0 0 1 2 0 0 0 0 ( , ),(0 , 0) ( ), ( ) ( ), ( ) tt tt xx xx x x x L x L t t t t V W a V a W f x t x L t V W u t V W u t V W V W x x t t = = = = = = = = + = + + + = + = + = + =
3)、选择W(x,t),使关于(x,t)定解问题边界条件齐次! 由(2)、只要W(x,t)满足如下条件即可 W|x0=(O) W(x,t)如何选取? W(x,t的选取方式很多!下面采用多项式函数待定法 选择W(x,t) 令:W(x,1)=4(1)x+B(1) 由可得:4(0)=[2(0)-u1()小B(0)=1
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 5 (3)、选择W(x,t)，使关于V(x,t)定解问题边界条件齐次！ 由(2)、只要W(x,t)满足如下条件即可： 0 1 2 W u t W u t x x L = = = = ( ), ( ) * W(x,t)如何选取？ W(x,t)的选取方式很多！下面采用多项式函数待定法 选择W(x,t) 令： W (x,t) = A(t)x + B(t) 由*可得： ( ) ( ), ( ) ( ) 1 ( ) 2 1 1 u t u t B t u t L A t = − =
于是得W(x,t的一种选择式为: W(x,1)=7[()-()] x+1(t 将下式 t=+t1+ 代入原定解问题中 av at a+f1(x,t),(00) 水水 x=0 x==0 |=o=91(x) 0=v1(x)
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 6 2 1 1 1 W x t u t u t x u t ( , ) ( ) ( ) ( ) L = − + − = + + x L u u u V u 2 1 1 于是得W(x,t)的一种选择式为： 将下式 代入原定解问题中： 2 2 2 2 2 1 0 0 1 0 1 ( , ),(0 , 0) 0 ** ( ), ( ) x x L t t V V a f x t x L t t x V V V V x x t = = = = = + = = = =
其中: f1(x,1)=f(x,1)-”(0)×<2(1)-n() 0(x)=0(x)-4()+2(0)-41(0) v(x)=v(x)-n(0)+ l2(0)-l1(0) (*)属于齐次边界条件下的非齐次方程定解问题,可 用函数分解法进一步求解! 注:上面定解问题边界条件是第一类的,如果是其它 情形,只需恰当设置待定多项式的形式,也可以求出 需要的W(x,t,具体过程如下:
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 7 − = − + − = − + − = − + x L u u x x u x L u u x x u x L u t u t f x t f x t u t (0) (0) ( ) ( ) (0) (0) (0) ( ) ( ) (0) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 其中： (**)属于齐次边界条件下的非齐次方程定解问题，可 用函数分解法进一步求解！ 注：上面定解问题边界条件是第一类的，如果是其它 情形，只需恰当设置待定多项式的形式，也可以求出 需要的W(x,t),具体过程如下：
1)、若边界条件为: l41=0=()1|-=2( 作代换:l(x,t)=(x,1)+W(x,t) 得W(x,t需要满足的条件为: wlxo=u,(D), WlkL=u,(0) 可令:(x,1)=A()x+B( W(x,t)=1()+l2()x
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 8 (1)、若边界条件为： 作代换： u(x,t) = V(x,t) +W(x,t) 0 1 2 ( ), ( ) u u t u u t x x x L = = = = 得W(x,t)需要满足的条件为： 0 1 2 ( ), ( ) W u t W u t x x x L = = = = 可令： W (x,t) = A(t)x + B(t) 1 2 W x t u t u t x ( , ) ( ) ( ) = +
(2)、若边界条件为: x=0=1(t), =L-l 作代换:l(x,t)=(x,1)+W(x,t) 得W(x,t需要满足的条件为: Wx|-0=4(O,W|=a=() 可令:(x,1)=A()x+B( W(x,D)=l41(1)x+2()-12()L
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 9 (2)、若边界条件为： 作代换： u(x,t) = V(x,t) +W(x,t) 0 1 2 ( ), ( ) u u t u u t x x x L = = = = 得W(x,t)需要满足的条件为： 0 1 2 ( ), ( ) W u t W u t x x x L = = = = 可令： W (x,t) = A(t)x + B(t) 1 2 2 W x t u t x u t u t L ( , ) ( ) ( ) ( ) = + −
(3)、若边界条件为: xx=0 xxl=u 作代换:l(x,t)=(x,1)+W(x,t) 得W(x,t需要满足的条件为: W1|0=()w=n(O 可令:W(x,)=A(1)x2+B()x uo(t W(x2t)=v41(1)x+-2 2L
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 10 (3)、若边界条件为： 作代换： u(x,t) = V(x,t) +W(x,t) 0 1 2 ( ), ( ) u u t u u t x x x x L = = = = 得W(x,t)需要满足的条件为： 0 1 2 ( ), ( ) W u t W u t x x x x L = = = = 可令： 2 W x t A t x B t x ( , ) ( ) ( ) = +2 1 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( ) 2 u t u t W x t u t x x L − = +