数理方程与特殊函教 任倮教师:杨春 Email:yc517922@126.com 友用数学学院
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 1 Email: yc517922@126.com 数理方程与特殊函数 任课教师：杨春 应用数学学院
第二章定解问题与偏微分方程理论 本次课主要内容 二阶线性偏微分方程理论与δ函数 ()、二阶线性偏微分方程理论 (二)、δ函数
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 2 二阶线性偏微分方程理论 第二章 定解问题与偏微分方程理论 本次课主要内容 与δ函数 (一)、二阶线性偏微分方程理论 (二)、 δ函数
)、二阶线性偏微分方程理论 基本概念 1.线性算子 T为算子,若 T(Cu+c2u2=C1lu1tc2Iu2 称T 为线性算子 2.二阶线性偏微分算子 +2a, +a +6 + axa
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 3 (一)、二阶线性偏微分方程理论 基本概念 1. 线性算子 T为算子，若T(c1u1+c2u2 )=c1Tu1+c2Tu2，称T 为线性算子 2. 二阶线性偏微分算子 c y b x b y a x y a x L a + + + + + = 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2
于是二阶线性偏微分方程 a, x+2a, u+a2 u +6,u,+bu,+cu=f 可以简记为:Lu=f 齐次形式为:L=0
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 4 于是 二阶线性偏微分方程 a u a u a u b u b u cu f xx xy yy x y + + + + + = 1 1 1 2 2 2 1 2 2 可以简记为： Lu = f 齐次形式为： Lu = 0
3边界条件算子H=a+B 4数项级数的一致收敛 定义:对级数∑(x)若对回>0N n=1 当nN时,x∈(ab,有(S(x)S;(x)< 称级数一致收敛于和函数S(x) 主要判定方法有:M判别法,柯西一致收敛 准则,狄里赫列判别法,阿贝尔判别法
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 5 H n = + 3.边界条件算子 主要判定方法有：M判别法，柯西一致收敛 准则，狄里赫列判别法，阿贝尔判别法。 4.函数项级数的一致收敛 定义：对级数 1 ( ) n n u x = 若对 0, N 当n>N时，对任意 x a b ( , ), 有 S(x)-S (x) n 称级数一致收敛于和函数S(x)
叠加原理 原理1: =加S曰∑c-=∑ef 意义:欲求LM=月的解,如果/=∑c i=1 且求出L=A(1s≤n)的解为:(1≤≤n) 则∑cx为方程LM=的解
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 6 原理1： (1 ) Lu f i n i i = 1 1 n n i i i i i i L c u c f = = = 意义：欲求 叠加原理 Lu f = 的解，如果 1 n i i i f c f = = 且求出 (1 ) Lu f i n = i 的解为： (1 ) u i n i 则 1 n i i i c u = 为方程 Lu f = 的解
叠加原理 原理2: L=(=12-曰|∑c=∑e 说明:原理2是原理的有条件推广。条件 是算子L与和号能交换次序
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 7 ( 1,2, ) Lu f i i i = = 1 1 i i i i i i L c u c f = = = 说明：原理2是原理1的有条件推广。条件 是算子L与和号能交换次序。 叠加原理 原理2：
叠加原理 原理3: 设u(M,M满足线性方程线性定解条件) Lu=f(M, Mo) 其中,M表示自变量组,M0为参数组 且积分M)=(MM)4M收敛, 并满足L中出现的偏导数与积分号交换次 序所需要的条件,那么U(M满足方程(或 定解条件)
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 8 其中，M表示自变量组，M0为参数组 . ( ) 0 Lu = f M,M 设u(M,M0 )满足线性方程(线性定解条件) 叠加原理 原理3： 且积分 ( ) , ( 0 0 ) v U M u M M dM = 收敛， 并满足L中出现的偏导数与积分号交换次 序所需要的条件，那么U(M)满足方程(或 定解条件）
叠加原理 U()=/(MM)4 说明:原理3可以理解为:若[M=f,M 那么:U(M)=∫/(MM)Ab U(M)=Ju(M, Mo)dMo
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 9 ( ) , ( 0 0 ) v LU M f M M dM = 叠加原理 说明：原理3可以理解为：若 ( ) 0 Lu = f M,M 那么： ( ) , ( 0 0 ) v LU M f M M dM = ( ) , ( 0 0 ) v U M u M M dM =
叠加原理 原理3的证明 LU(M=L ∫v( M.ModM ∫Ln(M,M)aMo ∫f(M,M)aM 主要假定了L与积分号的次序可交换!
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 10 叠加原理 原理3的证明： ( ) , ( 0 0 ) v LU M L u M M dM = ( , 0 0 ) v = Lu M M dM ( , 0 0 ) v = f M M dM 主要假定了L与积分号的次序可交换！