数理方程与特殊函教 任倮教师:杨春 Email:yc517922@126.com 友用数学学院
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 1 Email: yc517922@126.com 数理方程与特殊函数 任课教师：杨春 应用数学学院
本次课主要内容 行波法与积分变换法习题课 )、行波法 (二)、积分变换法
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 2 本次课主要内容 (一)、行波法 (二)、积分变换法 行波法与积分变换法习题课
()行波法 1、要点回顾 (1)行波法的适用范围是什么? 答:波动方程的初值问题。 (2)行波法求解波动方程定解闷题的要 领是什么? 答:引入变量替换,将方程化为变量可积的形式,从而求 出其通解;用定解条件确定通解中的任意函数(或常数) 从而求出其特解
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 3 (一)、行波法 1、要点回顾 (1)行波法的适用范围是什么？ 答：波动方程的初值问题。 (2)行波法求解波动方程定解问题的要 领是什么？ 答：引入变量替换，将方程化为变量可积的形式，从而求 出其通解；用定解条件确定通解中的任意函数(或常数)， 从而求出其特解
(3)无限长猞的自由振动问题的达朗贝 尔公式是什么?公式的物理意义是什么 答:(a)公式为: 1(x0)=(x+a)+0(x-a)+∫v(k (b)物理意义:弦上的任意扰动总是以行波形式分别向弦 的两个方向传播出去,传播速度正好是弦振动方程中的系 数a (4)如何求解无限长弦的純猴迫振动问 题和一般强迫振动问题?
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 4 (3)无限长弦的自由振动问题的达朗贝 尔公式是什么？公式的物理意义是什么？ 答：(a) 公式为： (b) 物理意义：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向弦 的两个方向传播出去，传播速度正好是弦振动方程中的系 数a。 ( ) ( ) ( ) + − = + + − + x a t x a t d a u x t x at x at . 2 . 1 2 1 ( , ) (4)如何求解无限长弦的纯强迫振动问 题和一般强迫振动问题？
答(a)纯强迫振动定解问题为: u=au+f(x, t(eR, t>0 t=0 0 tt=0 0 求解方法:齐次化原理 (b)-般强迫振动定解问题为: u=aux+f(x, t(xER, t>0 4-0=(x) t|t=0 y(x)
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 5 答(a)纯强迫振动定解问题为： 求解方法：齐次化原理 2 0 0 ( , )( , 0) 0 0 tt xx t t t u a u f x t x R t u u = = = + = = (b)一般强迫振动定解问题为： 2 0 0 ( , )( , 0) ( ) ( ) tt xx t t t u a u f x t x R t u x u x = = = + = =
求解方法:利用函数分解方法对定解问题进行拆分 (5)三维自由振动的泊松公式是什么 公式的物理意义是什么? 答:(a)公式为: u(M, t)= a 4(M)ds l+ fy(m 4Ta at 33 4TaJy t (b)物理意义:1)空间任意一点M在任意时刻0的状态完 全由以该点为心,at为半径的球面上的初始扰动决定; 2)当初始扰动限制在空间某局部范围内时,扰动有清晰 的“前锋”与“阵尾”,即惠更斯原理成立
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 6 求解方法：利用函数分解方法对定解问题进行拆分 答：(a)公式为： (5)三维自由振动的泊松公式是什么？ 公式的物理意义是什么？ 2 2 1 ( ) 1 ( ) ( , ) 4 4 M M at at S S M M u M t dS dS a t t a t = + (b) 物理意义：1)空间任意一点M在任意时刻t>0的状态完 全由以该点为心，at为半径的球面上的初始扰动决定； 2) 当初始扰动限制在空间某局部范围内时，扰动有清晰 的“前锋”与“阵尾”，即惠更斯原理成立
(5)二维齐次波动方程柯西闷题的泊松 公式是什么?公式的物理意义是什么? 答:(a)公式为: u(x, y,t) 1 a ra r2r p(x+rcos 0, y+rsin 0) rare 2Tal at Jo Jo at r2xy(x+rcos 0, y+rsin 0)drdo 2Ta Jo Jo √at-r (b)物理意义:1)空间任意一点M在任意时刻0的状态完 全由以该点为心,at为半径的圆盘域上的初始扰动决定; 2)局部初始扰动对二维空间上任意一点的扰动有持续后效 波的传播有清晰的前锋而无后锋,惠更斯原理不成立
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 7 答：(a)公式为： (5)二维齐次波动方程柯西问题的泊松 公式是什么？公式的物理意义是什么？ (b) 物理意义：1)空间任意一点M在任意时刻t>0的状态完 全由以该点为心，at为半径的圆盘域上的初始扰动决定； 2)局部初始扰动对二维空间上任意一点的扰动有持续后效， 波的传播有清晰的前锋而无后锋，惠更斯原理不成立。 2 0 0 2 2 2 1 ( cos , sin ) ( , , ) 2 at x r y r u x y t rdrd a t a t r + + = − 2 0 0 2 2 2 1 ( cos , sin ) 2 at x r y r rdrd a a t r + + + −
2、典型题型 (1)剎用行波法求解 例1、求下面柯西问题的解: +2 0 =3x 2/=0≈0 解:特征方程为: ()2-2dhy-3(hx)2=0 特征线方程为:3x-y=C1,x+y=C2
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 8 2、典型题型 (1)利用行波法求解 例1、求下面柯西问题的解： = = = − + = 3 , = 0 2 3 0 0 2 0 2 2 2 2 2 y y y u u x y u x y u x u 解：特征方程为： ( ) 2 3( ) 0 2 2 dy − dxdy − dx = 1 2 特征线方程为： 3x − y = C , x + y = C
e=3x 17=x+y 02u 变换原方程化成标准型: =0 05m 通解为: u=f2(5)+(m)=f(3x-y)+f(x+y) 代入条件得: f1(3x)+f2(x)=3x2 f(3x)+f2(x)=0
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 9 = + = − x y x y 3 令： 变换原方程化成标准型： 0 2 = u 2 2 1 2 u f f f x y f x y = + = − + + ( ) ( ) (3 ) ( ) 通解为 : 代入条件得： − + = + = (3 ) ( ) 0 (3 ) ( ) 3 1 2 2 1 2 f x f x f x f x x
f1(x) 4 3 f2(x)=-x2+C (x,y)=(3x-y)2+-(x+y)2=3x2+y 例2、求波动方程的古沙问题 u =au(at 0).1) x=m0=0(x)…(2) 1|x+a-o=y(x((0)=v(0)=0)…(3)
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 10 = + = − f x x C f x x C 2 2 2 1 4 3 ( ) 4 1 ( ) 2 2 2 2 ( ) 3 4 3 (3 ) 4 1 u(x, y) = x − y + x + y = x + y 例2、求波动方程的古沙问题 2 0 0 ( , 0) (1) ( ) (2) ( ),( (0) (0) 0) (3) tt xx x at t x at u a u at x at t u x u x − = + = = − = = = =