数理方程与特殊函教 任倮教师:杨春 Email:yc517922@126.com 友用数学学院
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 1 Email: yc517922@126.com 数理方程与特殊函数 任课教师：杨春 应用数学学院
第二章定解问题与偏微分方程理论 本次课主要内容 热传导、稳态场方程及其定解条件 ()、热传导方程 (二)、稳态场方程 (三)、影响物理系统的其它条件
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 2 热传导、稳态场方程及其定解条件 (一)、热传导方程 第二章 定解问题与偏微分方程理论 本次课主要内容 (二)、稳态场方程 (三)、影响物理系统的其它条件
常用物理规律(二) 1、热传导定律 do=-hun (x, t)dsat 定义热流密度: q kun (x, t) dsat
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 3 常用物理规律(二) 1、热传导定律 定义热流密度： ( , ) dQ ku x t dSdt = − n ( , ) n dQ q ku x t dSdt = = −
常用物理规律(二) 2、牛顿冷却定律 单位时间内流过单位面积放出的热量为 q=k(uls-=uo 3、热量守恒定律 吸=CmT
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 4 常用物理规律(二) 2、牛顿冷却定律 0 ( ) q k u u = −S 单位时间内流过单位面积放出的热量为： 3、热量守恒定律 Q cm T 吸 =
常用物理规律(二) 4、高斯定律 求ES1 5、焦耳楞次定律 O=/<Rt
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 5 常用物理规律(二) 4、高斯定律 5、焦耳楞次定律 1 S E dS dV = 2 Q I Rt =
()、热传导方程 (1)、细杆的热传导问题 截面积为A的均匀细杆,侧面绝热,沿 杆长方向有温差,求杄内温度的变化规律。 u(x, t d
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 6 (一)、热传导方程 截面积为A的均匀细杆，侧面绝热，沿 杆长方向有温差，求杆内温度的变化规律。 (1)、细杆的热传导问题 x x+dx L u(x,t) x n
在吐t时间内流入微元的热量为: Ou 1 adt Adt on OD 在t时间内放出微元的热量为: d2=-k Adt ku(x+dx, tAdt 在dt时间内微元吸收的净热量为 do=de -,=kAdtlu(+dx, t-u,(x, t)]
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 7 在dt时间内流入微元的热量为： 1 u u dQ k Adt k Adt n x = − = − 在dt时间内放出微元的热量为： 2 ( , ) x u dQ k Adt ku x dx t Adt n = − = − + 在dt时间内微元吸收的净热量为： 1 2 [ ( , ) ( , )] dQ dQ dQ kAdt u x dx t u x t = − = + − x x
由比热公式 如Q=cm△7=cP4d(x,t+d)-(x, CpAu, drdt 由热量守恒定律得: kAu, dxdt=cpAu, dxdt DX 维齐次热传导方程
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 8 2 u a u t xx = xx t kAu dxdt c Au dxdt = 由比热公式： dQ cm T c Adx u x t dt u x t = = + − [ ( , ) ( , )] t = c Au dxdt 由热量守恒定律得： 一维齐次热传导方程
(2)、三维空间中的热传导问题 设均匀且各向同性的导热体,置于温度比它高的 热场中,求物体中温度u(x,y,z所分布的规律。 导热体 热场
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 9 设均匀且各向同性的导热体,置于温度比它高的 热场中,求物体中温度u(x，y，z)所分布的规律。 (2)、三维空间中的热传导问题 导热体 热场
分析: 先要给出在t,t2时间里流入导热体的热量, 然后再给出在该时间中导热体温度升高所需要的 热量。 (1)、[t1,时间里流入导热体的热量Q1计算 n ds 流入dS的热量微元为:01=-k∠s
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 10 分析： (1)、[t1 ,t2 ]时间里流入导热体的热量Q1计算 先要给出在[t1 ,t2 ]时间里流入导热体的热量， 然后再给出在该时间中导热体温度升高所需要的 热量。 dS n 流入dS的热量微元为： 1 u dQ k dSdt n = −