电子科技大学：《数理方程与特殊函数》第六章 格林函数法（6.2）狄氏问题格林函数

数理方程与特殊函教 任倮教师:杨春 Email:yc517922@126.com 友用数学学院

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 1 Email: yc517922@126.com 数理方程与特殊函数 任课教师：杨春 应用数学学院

本次课主要内容 狄氏问题格林函数 (-)、狄氏问题与牛曼问题解的唯一性与稳定性 (二)、狄氏问题格林函数 1、三维空间中狄氏问题格林函数 2、平面中的三个格林公式

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 2 本次课主要内容 (一)、狄氏问题与牛曼问题解的唯一性与稳定性 狄氏问题格林函数 1、三维空间中狄氏问题格林函数 (二)、狄氏问题格林函数 2、平面中的三个格林公式

()、狄氏问题与牛曼问题解的唯一性与稳定性 定理1(唯一性定理)拉氏方程的狄氏问题的解是唯一的。 证明:设u与u2是定解问题 0,(x,y2)∈V ls=(x,y,=) 的两个解。则有v=u1-u2也为该定解问题的解,于是得到v在S上 恒等于零,即: 2/S 0 S 由调和函数性质知:在Vs上: l=(a1-B2)=0

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 3 定理1 (唯一性定理) 拉氏方程的狄氏问题的解是唯一的。 1 2 v u u S S = −  ( ) 0 (一)、狄氏问题与牛曼问题解的唯一性与稳定性 证明：设u1与u2是定解问题 0,( , , ) ( , , ) S S u x y z V u x y z    =    =  的两个解。则有v=u1 -u2也为该定解问题的解，于是得到v在S上 恒等于零，即： 由调和函数性质知：在VS上： 1 2 ( ) 0 V V S S v u u = − 

定理2(稳定性定理)拉氏方程的狄氏问题的解是稳定的。 证明:设在边界S上给出两个函数与2,且-f2<8 拉氏方程的狄氏问题对应于f1与2的解设为u1与u2,即: △n1=0,(x,y,z)∈s42=0,(x,y,2)∈Vs Lu,Is=fi 2|S v=l1-12 那么 △v=0,(x,y,2)∈Vs lvIs=f 由调和函数极值原理,v在Ⅴs上的极值只能在S上取得,所以

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 4 1 1 1 0,( , , ) S S u x y z V u f   =    =  定理2 (稳定性定理) 拉氏方程的狄氏问题的解是稳定的。 证明：设在边界S上给出两个函数f1与f2 ,且： 1 2 f f −   拉氏方程的狄氏问题对应于f1与f2的解设为u1与u2，即： 2 2 2 0,( , , ) S S u x y z V u f   =    =  令： 那么： 1 2 v u u = − 1 2 0,( , , ) S S v x y z V v f f   =    = −  由调和函数极值原理，v在VS上的极值只能在S上取得，所以

122E 即证明了稳定性。 定理3拉氏方程的牛曼问题的解,若不管任意常数的差别, 是唯一的。 证明:设u1与u2是同一拉氏方程牛曼问题的两个解,即有: △ 「△ on O 显然,u1-2也为同一拉氏方程牛曼问题的解。 由第一格林公式:

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 5 −   u1 u2 即证明了稳定性。 定理3 拉氏方程的牛曼问题的解，若不管任意常数的差别， 是唯一的。 证明：设u1与u2是同一拉氏方程牛曼问题的两个解，即有：      =    = S  n u u 1 1 0      =    = S  n u u 2 2 0 显然，u1 -u2也为同一拉氏方程牛曼问题的解。 由第一格林公式：

uvy.ds= Vu. VidI+「l 取=v=-2 则:△v=0 Vu.Vv=( 0(4-2)12,/0(1-12)2,/0(1-l2) 又因为: Vp·dS dS=o

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.50 0.51 n 6 S V V u v dS u vdV u vdV   =   +     取 u1 u2 u = v = − 则：  =v 0 1 2 1 2 1 2 222 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u u u u u u u v x y z  −  −  −   = + +    又因为 ： 0 S S v u v dS u dS n   = =   

an-)3+(an=2)2+(a4-2)w=-0 于是得到: (l1-l2)O(l41-l2)O(u1-l2) az =l1-.≡C 定理4拉氏方程的牛曼问题的解,对边界条件不稳定 证明:设f1与1是拉氏方程对应的两个不同的边界条件, 又设u1与u2是对应于两个边界条件的解。由定理3,两个 解相差一个常数,因此,无论边界条件相差如何小,解

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 7 ) ] 0 ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) [( 1 2 2 1 2 2 1 2 2 =   − +   − +   −  dV z u u y u u x u u V z u u y u u x u u   − =   − =  ( − ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 u u u c = −  于是得到： 定理4 拉氏方程的牛曼问题的解，对边界条件不稳定。 证明：设f1与f2是拉氏方程对应的两个不同的边界条件， 又设u1与u2是对应于两个边界条件的解。由定理3，两个 解相差一个常数，因此，无论边界条件相差如何小，解

解的相差可能不会任意小,即解不稳定。 (二)、狄氏问题格林函数 1、三维空间中狄氏问题格林函数 (1)、狄氏问题格林函数的引出 泊松方程狄氏问题为: △=x+l1n+l2=f(x,y,z),(x,y,z)∈Vs s=9(x,y2(连续) (a)、解的积分表达式 设u(xyz)为定解问题的解,令v(xy,z为Ⅴs上调和函数

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 8 解的相差可能不会任意小，即解不稳定。 (二)、狄氏问题格林函数 1、三维空间中狄氏问题格林函数 (1)、狄氏问题格林函数的引出 泊松方程狄氏问题为： ( , , ),( , , ) ( , , ),( xx yy zz S S u u u u f x y z x y z V u x y z   = + + =     =  连续） (a)、解的积分表达式 设u(x,y,z)为定解问题的解，令v(x,y,z)为VS上调和函数

由第二格林公式: v△-l△v)V anan ∫ v△ud 由定解问题得: aC S vf(x,y,=)dV…* an 由第三格林公式,如下定解问题

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 9 由第二格林公式： 由定解问题得： 由第三格林公式，如下定解问题 ( ) S V u v v u dS v u u v dV n n       −  =  −        V = v udV  ( , , ) * S V u v v u dS vf x y z dV n n       −  =      

△=f(M),M∈s uls=P(M), DIS=v(M) 的解为: l(M6) v-p fdI 4ISLr On( 4丌 结合*可得如下等式: v-yp 4兀 an、r 4丌 au av +aDI V anan ∫ S

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 10 的解为： ( ), ( ), ( ) S S S u f M M V u u M v M n   =     = =    0 1 1 1 1 1 ( ) 4 4 S V u M v dS f dV r n r r           = − −                结合*可得如下等式： 0 1 1 1 1 1 ( ) 4 4 S V S V u M v dS f dV r n r r u v v u dS vfdV n n           = − −                  + −  −          