数理方程与特殊函教 任倮教师:杨春 Email:yc517922@126.com 友用数学学院
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 1 Email: yc517922@126.com 数理方程与特殊函数 任课教师：杨春 应用数学学院
第二章定解问题与偏微分方程理论 本次课主要内容 波动方程及其定解条件 ()、物理规律与波动方程的建立 )、定解条件
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 2 波动方程及其定解条件 (一)、物理规律与波动方程的建立 第二章 定解问题与偏微分方程理论 本次课主要内容 (二)、定解条件
第二章定解问题与偏微分方程理论 波动方程及其定解条件 ()、物理规律与波动方程 1、什么叫物理规律? 某物理量在空间和时间中的变化规律 它反映同一类物理现象的共同规律 若物理量仅随时间变化,其数学表达式为 常微分方程;若与时空均有关,则为偏微分 方程
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 3 一、波动方程及其定解条件 (一)、物理规律与波动方程 第二章 定解问题与偏微分方程理论 1、什么叫物理规律？ 某物理量在空间和时间中的变化规律。 它反映同一类物理现象的共同规律。 若物理量仅随时间变化，其数学表达式为 常微分方程；若与时空均有关，则为偏微分 方程
常用物理规律( 1、牛顿第二定律 F=m1-J,2 2、虎克定律 f=k p=yi X
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 4 常用物理规律(一) 1、牛顿第二定律 2、虎克定律 2 2 d s dv F m m dt dt = = f kx = − P Yu = x
对虎克定律的说明 P=Yu 公式中P称为协强或应力。它表示弹性物 体单位截面所受作用力,P=FS。 公式中u1表示伸长率,称为协变。 Y表示杨氏弹性模量,等于协强比协变 杨氏弹性模量由材料决定!
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 5 对虎克定律的说明： P Yu = x 公式中P称为协强或应力。它表示弹性物 体单位截面所受作用力，P=F/S。 公式中ux表示伸长率，称为协变。 Y表示杨氏弹性模量，等于协强比协变。 杨氏弹性模量由材料决定！
常用物理规律( 3、克希荷夫定律 (1).节点电流定律 l,=0 (2).回路电压定律 ∑1R=∑5
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 6 常用物理规律(一) 3、克希荷夫定律 I k = 0 (1).节点电流定律 (2).回路电压定律 k k k I R =
2、波动方程 如何建立偏微分方程? (1).明确物理过程与研究对象(待研究物理量); (2进行微元分析; 分析微元和相邻部分的相互作用,根据 物理定律用算式表达这种作用。 (3)化简、整理算式
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 7 2、波动方程 如何建立偏微分方程？ (1).明确物理过程与研究对象(待研究物理量); (2).进行微元分析； 分析微元和相邻部分的相互作用，根据 物理定律用算式表达这种作用。 (3).化简、整理算式
例1、均匀细弦微小横振动问题 根均匀柔软的细弦线,一端固定在坐标原点 另一端沿x轴拉紧固定在κ轴上的L处,受到扰 动,开始沿x轴(平衡位置)上下作微小横振 动(细弦线上各点运动方向垂直于x轴)。试 建立细弦线上任意点位移函数u(x,所满足的 规律
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 8 例1、均匀细弦微小横振动问题 一根均匀柔软的细弦线，一端固定在坐标原点， 另一端沿x轴拉紧固定在x轴上的L处，受到扰 动，开始沿x轴（平衡位置）上下作微小横振 动（细弦线上各点运动方向垂直于x轴）。试 建立细弦线上任意点位移函数u(x，t)所满足的 规律
分析: (1)研究对象:u(x,D (2).微元分析:在时刻t取弦微元s,其对应区 间为:[x,x+x; 分析微元和相邻部分的相互作用,根据 物理定律用算式表达这种作用
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 9 分析： (1). 研究对象：u(x,t) (2). 微元分析:在时刻t, 取弦微元ds,其对应区 间为：[x,x+dx]; 分析微元和相邻部分的相互作用，根据 物理定律用算式表达这种作用
L 设细弦线各点线密 度为p,细弦线质点 d 之间相互作用力为 张力r(x,D pgds x dx 水平合力为零→>T2Cosa2-T1 cos a1=0 T,≈T≈T 铅直合力:F=ma T( sin a,-sin a,)=pds ut T( tan a-tan a2)=pe ods wtt
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 10 设细弦线各点线密 度为ρ，细弦线质点 之间相互作用力为 张力T(x，t) 水平合力为零 => T2 cos 2－T1 cos 1 = 0 T2≈T1≈T 铅直合力: F=m a T( sin 1－sin 2 ) = ρds utt => T( tan 1－tan 2 ) = ρds utt u x T1 T2 O x dx ρgds ds