电子科技大学：《数理方程与特殊函数》第六章 格林函数法（6.1）格林公式及调和函数性质

数理方程与特殊函教 任倮教师:杨春 Email:yc517922@126.com 友用数学学院

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 1 Email: yc517922@126.com 数理方程与特殊函数 任课教师：杨春 应用数学学院

第六章格林函数法 本章介绍利用格林函数法求解拉普拉斯方程与泊松方 程的三类边值问题。 主要内容 ()、格林公式及调和函数性质 (二)、泊松方程狄氏问题格林函数法 (三)、几种特殊区域上狄氏问题格林函数 (四)、三类典型方程的基本解 授课时数:8学时

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 2 本章介绍利用格林函数法求解拉普拉斯方程与泊松方 程的三类边值问题。 主要内容 第六章 格林函数法 (一)、格林公式及调和函数性质 (二)、泊松方程狄氏问题格林函数法 (三)、几种特殊区域上狄氏问题格林函数 (四)、三类典型方程的基本解 授课时数：8学时

本次课主要内容 格林公式及调和函数性质 ()、拉普拉斯方程与泊松方程三类边值问题 (二)、三个格林公式 (三)、调和函数的概念与性质

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 3 本次课主要内容 (一)、拉普拉斯方程与泊松方程三类边值问题 (二)、三个格林公式 格林公式及调和函数性质 (三)、调和函数的概念与性质

()、拉普拉斯方程与泊松方程三类边值问题 l、 Dirichlet问题(第一类边值问题) Laplace方程 Au=uxx+u+u=0,(x,y,sEVS l=(xy,=)(连续) Poisson方程: Au=ux+u+u=f(x,y, 2),(x,y,z)EVS s=9(x,y(连续)

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 4 Laplace方程 : 0,( , , ) ( , , ),( xx yy zz S S u u u u x y z V u x y z   = + + =     =  连续） Poisson方程 : 1、Dirichlet问题（第一类边值问题） (一)、拉普拉斯方程与泊松方程三类边值问题 ( , , ),( , , ) ( , , ),( xx yy zz S S u u u u f x y z x y z V u x y z   = + + =     =  连续）

2、 Neuman问题(第二类边值问题) Laplace方程 △=lx+l2y+l=2=0,(x,y,=)∈s an =(x,y,z),(连续) Poisson方程: Au=ux+uw+u=f(x,y, 2),(x,y,zEVS s=q(x,y,=)(连续 on

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 5 Laplace方程 : 0,( , , ) ( , , ),( xx yy zz S S u u u u x y z V u x y z n   = + + =     =  连续） Poisson方程 : ( , , ),( , , ) ( , , ),( xx yy zz S S u u u u f x y z x y z V u x y z n   = + + =     =  连续） 2、Neumann问题（第二类边值问题）

3、 Robin问题(第三类边值问题) Lap lace方程: △=lx+l1+l2=0,(x,y,2)∈s l=(x,y,=)(连续) O s=v(x,y,=)(连续 Poisson方程 △=lx+yp+= f(x2y,z)2(x2y,z)∈ als=(x,y,z)、(连续) s=v(x,y,=)(连续) an

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 6 Lap lace方程 : 0,( , , ) ( , , ),( ( , , ),( xx yy zz S S S u u u u x y z V u x y z u x y z n     = + + =    =    =  连续） 连续） Poisson方程 : 3、Robin问题（第三类边值问题） ( , , ),( , , ) ( , , ),( ( , , ),( xx yy zz S S S u u u u f x y z x y z V u x y z u x y z n     = + + =    =    =  连续） 连续）

(二)、三个格林公式 借助于三个格林公式,可以得到拉氏方程与泊松方程 的狄氏问题与洛平问题的解的积分表达式。三个格林公 式可以借助于高斯公式导出。 高斯公式 设空间区域V是由分片光滑的闭曲面S所围成,函数 PQ,R在V上具有一阶连续偏导数,则: OP OO OR Pdydz +OdEdx+ rdxdi OX 或 aP OO OR dv= ax ay az $f[P cos(n, x)+@cos(n, v)+Rcos(n, )]ds

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 7 cos , cos , cos , ( ) ( ) ( ) V S PQR dV P n x Q n y R n z dS x y z      + + = + +              借助于三个格林公式，可以得到拉氏方程与泊松方程 的狄氏问题与洛平问题的解的积分表达式。三个格林公 式可以借助于高斯公式导出。 (二)、三个格林公式 高斯公式： 设空间区域V是由分片光滑的闭曲面S所围成，函数 P,Q,R在V上具有一阶连续偏导数，则： 或 V S P Q R dV Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z        + + = + +       

1、第一格林公式 设u(xyz),V(x,yz)在SS上有一阶连续偏导数,它们在 V中有二阶偏导,则: 证明: LVv·dS=aVv. nds o) coS a+coS B+ecosy dS OX

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 8 设u(x,y,z),V(x,y,z)在SŲSV上有一阶连续偏导数，它们在 V中有二阶偏导，则： S V V u v dS u vdV u vdV   =   +     1、第一格林公式 证明： 0 S S u v dS u v n dS   =     cos cos cos S v v v u dS x y z         = + +        

再n dydz+u-dEdx +u-dxdy 02 由高斯公式: u-dydz+u-didx +u dxdy u ax"ax)ay、a)a、"az 了v+2w

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 9 S v v v u dydz u dzdx u dxdy x y z    = + +     由高斯公式： S v v v u dydz u dzdx u dxdy x y z    + +     V v v v u u u dV x x y y z z               = + +                        V V =   +  u vdV u vdV  

2、第二格林公式 设u(xyz),V(x,yz)在SS上有一阶连续偏导数,它们在 V中有二阶偏导,则: Vv-yVi)·d S=△-1△n) 证明:由第一格林公式得: 再7心=vVw+w(2) 用(1)-(2)得第二格林公式

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 10 设u(x,y,z),V(x,y,z)在SŲSV上有一阶连续偏导数，它们在 V中有二阶偏导，则： ( ) ( ) S V u v v u dS u v v u dV  −   =  −    2、第二格林公式 证明：由第一格林公式得： (1) S V V u v dS u vdV u vdV   =   +     (2) S V V v u dS u vdV v udV   =   +     用(1)-(2)得第二格林公式