电子科技大学：《数理方程与特殊函数》第三章 分离变量法（3.1）高维定解问题分离变量求解

数理方程与特殊函教 任倮教师:杨春 Email:yc517922@126.com 友用数学学院

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 1 Email: yc517922@126.com 数理方程与特殊函数 任课教师：杨春 应用数学学院

本次课主要内容 高维定解问题分离变量求解 )、二维圆域定解问题分离变量求解 (二)、高维混合问题分离变量求解

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 2 高维定解问题分离变量求解 本次课主要内容 (一)、二维圆域定解问题分离变量求解 (二)、高维混合问题分离变量求解

()、二维圆域定解问题分离变量求解 主要讨论圆域内拉普拉斯方程求解 一个半径为po的薄圆盘,上下两面绝热,圆周边 缘温度分布为已知,求达到稳恒状态时圆盘内的温度 分布。 分析:(1)这是一个稳态问题,所以温度分布满足拉普 拉斯方程 △,14=A2Oy a210.(x2+y

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 3 一个半径为ρ0 的薄圆盘，上下两面绝热，圆周边 缘温度分布为已知，求达到稳恒状态时圆盘内的温度 分布。 (一)、二维圆域定解问题分离变量求解 主要讨论圆域内拉普拉斯方程求解 分析:(1)这是一个稳态问题，所以温度分布满足拉普 拉斯方程： 2 2 2 2 2 2 0 2 2 0,( ) u u u x y x y     = + = +   

边界条件为: 2=f(,y 引进极坐标变换: x= pcos (0≤p<+∞,0≤≤2m) V=sine 方程与边界条件变换为 1 ou O…(1 P=Po f(O)…(2)

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 4 边界条件为： 0 2 2 2 1 1 ( ) 0 (1) ( ) (2) u u u f         =       + =      =  2 2 2 0 ( , ) x y u f x y + = = 引进极坐标变换： cos ,(0 ,0 2 ) sin x y         =    +    = 方程与边界条件变换为：

(2)圆盘中心温度有限,于是有: (0,0)<+∞…(3) (3)(p,0)与(p,0+2m)是圆盘上同一点,于是有: (,b)=u(0,6+2)…(4) 解:定解问题为: △ul= ou、1u=0,(p<P)…(1) 尸Cp (P ap p-80 l(020)=f(()……(2) (O,6)=l(0,6+2x)…(3) (O,O)<+∞…(4)

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 5 (2) 圆盘中心温度有限，于是有： u(0, ) (3)   + (3) (ρ,θ)与(ρ,θ+2π)是圆盘上同一点，于是有： u u ( , ) ( , 2 ) (4)      = + 解：定解问题为： 2 2 2 0 0 1 1 ( ) 0,( ) (1) ( , ) ( ) (2) ( , ) ( , 2 ) (3) (0, ) (4) u u u u f u u u                       = + =         =  = +    +

1、分离变量 l(p,6)=R()()…(5) (5代入(1)得: R"Φ+RΦ+R”=0 整理后可令比值为λ: PR+pR R

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 6 u R ( , ) ( ) ( ) (5)     =  1、分离变量： 0 1 1 2 R + R + R =   2 R R R       +  = − =  (5)代入(1)得： 整理后可令比值为λ：

得两个常微分方程如下: Φ"+Ad=0…(6 p2R+pR-AR=0…(7) 如何构造固有值问题? 、求解固有值问题 ①"+A=0 Φ(+2z)=Φ(

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 7 2 0 (6) R R R 0 (7)      +  =    + − = 得两个常微分方程如下： 如何构造固有值问题？ 2、求解固有值问题  ( ) ( )    + =   +  =     2 0

(1)λ0时,令λ=B2得: pO)=ap cos B0+bB sin B0 结合周期条件,β只能取正整数。于是得固有值: 2=n2(n=1.2 固有函数为: (O)=a1cosn+ b sin ne…(n=12…)

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 8 (1) λ0时，令λ=β2 得：  ( ) = a  cos   + b  sin   结合周期条件，β只能取正整数。于是得固有值： 2  = = n n （ 1,2, ) 固有函数为： ( ) cos sin ( 1,2 )  = + = n n n    a n b n n  

3、求方程(7)的解 方程(7)是二阶欧拉方程,结合有限条件有: p2R"+pR-R=0…(7) (R(O)<+2(8) 1)、对应于=0,(7)的解为 Ro=C+DIn p 由(8)得:D=0,于是有: Ro(p)

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 9 3、求方程(7)的解 方程(7)是二阶欧拉方程，结合有限条件有： 2 0 (7) (0) (8) R R R R       + − =    + (1)、对应于λ0= 0，(7)的解为： 0 R C D ( ) ln   = + 由(8)得：D=0,于是有： 0 R C ( ) (9)  =

(2)、对应于λn=n2(n=1,2…) 作变换:p=e,(7)变为: D(D-DR+DR-n'R=o d R 即: R (7)的解为:R()=Cn,p"+DP 由68)得:Dn=0,于是有 R,2()=C

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 10 (2)、对应于λn= n2(n=1,2….) 2 D D R DR n R ( 1) 0 − + − = 作变换：ρ=e t ,(7)变为： 2 2 n R dt = 2 d R 即： (7)的解为： ( ) n n R C D n n n    − = + 由(8)得：Dn=0,于是有： ( ) n R C n n   =