数理方程与特殊函教 任倮教师:杨春 Email:yc517922@126.com 友用数学学院
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 1 Email: yc517922@126.com 数理方程与特殊函数 任课教师：杨春 应用数学学院
第三章分离变量法 分离变量法是求解各种各样偏微分方程定解问题的典 型方法之一。包括各类典型方程的初值、边值与混合问题 。要求熟练掌握。 初值问题(柯西问题):无边界条件的定解问题。 边值问题:无初值条件的定解问题。 混合问题:有初值条件和边界条件的定解问题
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 2 分离变量法是求解各种各样偏微分方程定解问题的典 型方法之一。包括各类典型方程的初值、边值与混合问题 。要求熟练掌握。 初值问题(柯西问题)：无边界条件的定解问题。 边值问题：无初值条件的定解问题。 混合问题：有初值条件和边界条件的定解问题。 第三章 分离变量法
本章主要内容 1、一维波动与热传导定解问题分离变量求解 2、高维定解问题分离变量求解 3、非齐次定解问题的求解 学时:8学时
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 3 本章主要内容 1、一维波动与热传导定解问题分离变量求解 2、高维定解问题分离变量求解 3、非齐次定解问题的求解 学时：8学时
本次课主要内容 一维波动与热传导定解问题分离变量求解 )、波动方程定解问题的分离变量求解 (二)、热传导方程定解问题的分离变量求解
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 4 一维波动与热传导定解问题分离变量求解 本次课主要内容 (一)、波动方程定解问题的分离变量求解 (二)、热传导方程定解问题的分离变量求解
()、波动方程定解问题的分离变量求解 齐次弦振动方程的混合问题求解 n=a2lx,(00)…() x=0 0,ul==0…(2) A=0=(x),u1|=0=V(x)…(3 分析: (1)定解问题特点:方程是二阶线性齐次方程,所以 各特解的和也是方程的解。如果能够找到足够多的特 解,可考虑用它们的线性组合去求定解问题的解
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 5 ( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 , 0 , 0 (1) 0, 0 (2) , (3) tt xx x x L t t t u a u x L t u u u x u x = = = = = = = = = 齐次弦振动方程的混合问题求解 (一)、波动方程定解问题的分离变量求解 分析： (1) 定解问题特点：方程是二阶线性齐次方程，所以 各特解的和也是方程的解。如果能够找到足够多的特 解，可考虑用它们的线性组合去求定解问题的解！
(2)物理模型考察:乐器发出的声音可以分解为若干 不同频率的单音。每个单音振动又可以表示为 u(r,t)=c(t)sin ax 因此,自然就会想到上面齐次方程的特解形式 可能为: l(x,)=7()X(x) 该等式的特征是把待求的多元函数分解为一元 函数乘积的形式
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 6 u x t c t x ( , ) ( )sin = 因此，自然就会想到上面齐次方程的特解形式 可能为： (2) 物理模型考察：乐器发出的声音可以分解为若干 不同频率的单音。每个单音振动又可以表示为： u x t T t X x ( , ) ( ) ( ) = 该等式的特征是把待求的多元函数分解为一元 函数乘积的形式
设方程(1)具有可以分离变量的解 (x,4)=T(4)X(x)…(4) 把(4)代入(1)与(2)得: X—x x(0)=0,X(L)=0…(6) 注:如果定解问题是非齐次方程与非齐次边界条 件,能够得到(5)与(6)吗? 答:不能! 所以定解问题要求是齐次方程与齐次边界条件, 否则,要作齐次化处理!
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 7 u x t T t X x ( , ) ( ) ( ) (4) = 2 (5) (0) 0, ( ) 0 (6) T X a T X X X L = = = 设方程(1)具有可以分离变量的解 : 把(4)代入(1)与(2)得： 注：如果定解问题是非齐次方程与非齐次边界条 件，能够得到(5)与(6)吗？ 答：不能！ 所以定解问题要求是齐次方程与齐次边界条件， 否则，要作齐次化处理！
欲使(5)成立,等式两端必须为常数。于是,令: T X …(7) aT X 考虑如下方程: X"+AX=0…(8) x(0)=0,X(L)=0…(9) 下面讨论该方程的解
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 8 2 (7) T X a T X = = − 欲使(5)成立，等式两端必须为常数。于是，令： 考虑如下方程： 下面讨论该方程的解 0 (8) (0) 0, ( ) 0 (9) X X X X L + = = =
(1)当A<0时 x(x)=Aev-Ax+Be -Ax X(0)=A.1+B·1=0 X(L)=Aev-xL+Be-AL=o 从而 X(x)≡0
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 9 (1) 当 0 时 ( ) x x X x Ae Be − − − = + ( ) 0 (0) 1 1 0 = + = = + = − L − − L X L Ae Be X A B 从而 X x( ) 0
(2)当见=0时 X=Ax+B A=B=0 (3)当 > >0时 A(x)=Acos√x+Bsin√x A=0,Bsin√L=0
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 10 (2). 当 = 0 时 X = Ax + B A = B = 0 (3).当 0 时 X (x) = Acos x + Bsin x A = 0, Bsin L = 0