数理方程与特殊函教 任倮教师:杨春 Email:yc517922@126.com 友用数学学院
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 1 Email: yc517922@126.com 数理方程与特殊函数 任课教师：杨春 应用数学学院
本次课主要内容 拉普拉斯变换的定义与性质 )、拉普拉斯变换的定义 (二)、拉普拉斯变换的基本性质 (三)、展开定理
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 2 本次课主要内容 (一)、拉普拉斯变换的定义 (二)、拉普拉斯变换的基本性质 拉普拉斯变换的定义与性质 (三)、展开定理
()、拉普拉斯变换的定义 1、拉普拉斯变换的引入 傅立叶变换存在的条件为 (1)f(x)在(-∞+0)绝对可积; (2)f(x)在任意有限区间分段光滑。 很多常用函数都不满足条件(1)如:x,sinx,cosx,等 对不存在傅立叶变换的函数f(x)采取如下衰减处理: f(x)= f(x)2x≥0,a>0 0.x<0
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 3 1、拉普拉斯变换的引入 (一)、拉普拉斯变换的定义 很多常用函数都不满足条件(1),如：x, sinx, cosx,等 傅立叶变换存在的条件为： (1) f(x)在(-∞,+∞)绝对可积； (2) f(x)在任意有限区间分段光滑。 对不存在傅立叶变换的函数f(x)采取如下衰减处理： 1 ( ), 0, 0 ( ) 0, 0 x e f x x f x x − =
函数f1(x)的傅立叶变换就可能存在,此时有: +∞ +oO f1(4)=f(x)dkx=。f(x) -(o+in)x dx 令:s=+iλ则: +oo f1(s)=|。f(x)e-sax 0 2、拉普拉斯变换的定义 积分变换:()=。f(x)2=b 0 称为函数f(x)的拉普拉斯变换,记为: LIf(x)=f(s)
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 4 函数f1(x)的傅立叶变换就可能存在，此时有： 令：s=σ+iλ,则： ( ) 1 1 0 ( ) ( ) ( ) i x i x f f x e dx f x e dx + + − − + − = = 1 0 ( ) ( ) sx f s f x e dx + − = 2、拉普拉斯变换的定义 积分变换： 0 ( ) ( ) sx f s f x e dx + − = 称为函数f(x)的拉普拉斯变换，记为： L f x f s [ ( )] ( ) =
而f(x)= 2元i ∫。7(skdk 称为函数f(s)的拉普拉斯逆变换,记为: L If(S)]=f(x) 3、拉普拉斯变换存在定理 存在定理:若函数f(x)满足如下条件: (1)当x0时,f(x)在任一有限区间 上分段连续; (2)当x→>+∞时,存在常数M及β0≥0,使 (x)=M
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 5 而 称为函数 f̃(s)的拉普拉斯逆变换，记为： 1 ( ) ( ) 2 i sx i f x f s e ds i + − = 3、拉普拉斯变换存在定理 1 L f s f x [ ( )] ( ) − = 存在定理：若函数f(x)满足如下条件： (1) 当x 0时，f(x)在任一有限区间 上分段连续； (2) 当x + → ∞时，存在常数M及β0≥0，使 0 ( ) x f x Me =
那么,函数f(x)在半平面Res>Bo上存在拉普拉斯变换, 且f(s)解析。 证明:(1) f(r) ldx B0上存在拉普拉斯变换
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 6 那么，函数f(x)在半平面Res>β0上存在拉普拉斯变换， 且f(s) ̃ 解析。 证明 :(1) 0 ( ) sx f x e dx + − 0 ( ) 0 x Me dx + − − 0 0 , M = − 所以，函数f(x)在半平面Res>β0上存在拉普拉斯变换
(2)证明f(s)解析 取β>B1>B0(1是任意实常数),则有: +∞O f(xe SX < f(xe Sx oo Me(-) 0 (a-B)2
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 7 取β>β1>β0 (β1是任意实常数)，则有： (2) 证明 f(s) ̃ 解析 0 ( ) sx f x e dx s + − 0 ( ) sx f x e dx s + − 1 0 ( ) 0 x Mxe dx + − − 2 0 ( ) M = −
+∞O 说明积分: f(xe sx dx 0 S 在半平面Res>0上一致收敛,所以,可交换积分与微分次 序,即 f(s) f(xe ds Jo f(x) s d3 于是得: M f'(s)≤ (-B0)
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 8 说明积分： 0 ( ) sx f x e dx s + − 0 ( ) ( ) d d sx f s f x e dx ds ds + − = 在半平面Res>β0上一致收敛，所以，可交换积分与微分次 序，即： 0 ( ) d sx f x e dx ds + − = 于是得： 0 ( ) ( ) M f s −
所以,f(s)的导数在半平面Res>上处处存在且有限,因 此,函数f(x)在半平面Res>P上存在拉普拉斯变换,且f() 解析。 4、利用定义求函数的拉普拉斯变换 例1求函数f(x)的拉普拉斯变换 (1)(O)≈J1(≥0) O,(t<0) (2),sink,cosk,(k为实常数) (3),e,(a为实常数)
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 9 所以，f(s) ̃ 的导数在半平面Res>β0上处处存在且有限，因 此，函数f(x)在半平面Res>β0上存在拉普拉斯变换，且f(s) ̃ 解析。 例1 求函数f(x)的拉普拉斯变换 1,( 0) (1), ( ) 0,( 0) t u t t = 4、利用定义求函数的拉普拉斯变换 (2),sin ,cos ,( kt kt k为实常数） (3), ,( at e a为实常数）
解:(1)由拉氏变换定义有: O sx st+∞ S Re(s)>0 st+∞ 已
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 10 解 :(1) 由拉氏变换定义有： 0 ( ) 1 sx L u t e dt + − = 0 1 st e s − + = − Re( ) 0 0 1 1 s st e s s − + = − =