数理方程与特殊函教 任倮教师:杨春 Email:yc517922@126.com 友用数学学院
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 1 Email: yc517922@126.com 数理方程与特殊函数 任课教师：杨春 应用数学学院
本次课主要内容 傅立叶变换的应用 )、常微分方程求解 (二)、积分方程求解 (三)、求解偏微分方程定解问题
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 2 本次课主要内容 (一)、常微分方程求解 (二)、积分方程求解 (三)、求解偏微分方程定解问题 傅立叶变换的应用
傅立叶变换的应用 应用范围: (1)求解无界区域的定解问题,直接傅氏求解; 2)对于半无界区域的定解问题: a.第一类边界条件,采用傅里叶正弦变换 b第二类边界条件,傅里叶余弦变换 c将边界条件齐次化后,采用延拓法,最后用傅里叶变换 法求解
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 3 c.将边界条件齐次化后，采用延拓法，最后 用傅里叶变换 法求解. 傅立叶变换的应用 应用范围: (1) 求解无界区域的定解问题, 直接傅氏求解; (2) 对于半无界区域的定解问题: a. 第一类边界条件, 采用傅里叶正弦变换; b.第二类边界条件,傅里叶余弦变换
()、常微分方程求解 例1求解量子力学中常遇到的方程 u r)-ru(x )=0 解:(1)将方程作傅立叶变换 F(x)=()F(x)=-2() FIxu(x)=iFL-ixu(x)=i.a ,t(4)=t() 2
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 4 例1 求解量子力学中常遇到的方程 u x xu x ( ) ( ) 0 − = 解：(1) 将方程作傅立叶变换： (一)、常微分方程求解 ( ) 2 2 F u x i F u x u [ ( )] [ ( )] ( ) = = − [ ( )] [ ( )] ( ) ( ) d F xu x iF ixu x i u iu d = − = =
所以原方程变换为一阶常微分方程: (x)-i2i(x)=0 (2)求出像函数: ()=Ce3 (3)求出原函数: ∞O !(x)= 3 eida 2
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 5 所以原方程变换为一阶常微分方程： 2 u i u ( ) ( ) 0 − = (2) 求出像函数： 2 3 ( ) i u Ce = (3) 求出原函数： 2 3 ( ) 2 i C i x u x e e d + − =
(二)、积分方程求解 例2求解积分方程: y(x)=f(x)+y(5)(x-5d5 解(1)对积分方程两端作傅立叶变换 由卷积性质: 所以方程变换为: ()=f()+y(4)g()
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 6 例2 求解积分方程： y x f x y g x d ( ) ( ) ( ) ( ) + − = + − 解 (1) 对积分方程两端作傅立叶变换 (二)、积分方程求解 由卷积性质： F y g x d y g ( ) ( ) ( ) ( ) + − − = 所以方程变换为： y f y g ( ) ( ) ( ) ( ) = +
(2)求像函数 f() (兄)= (兄) (3)求原像函数 1 1(x) f() s() 注:正弦与余弦变换 正弦变换: 7()=J。f(x)sinx
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 7 (2) 求像函数 ( ) ( ) 1 ( ) f y g = − (3) 求原像函数 1 ( ) ( ) 2 1 ( ) f i x y x e d g + − = − 注：正弦与余弦变换 正弦变换： 0 f f x xdx s ( ) ( )sin + =
正弦变换的逆变换: 2 f(x) ∫。天() sin axd元 0 余弦变换: f(元) f()cos axdx 余弦变换的逆变换: f(x)=2J0元() costed.元
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 8 正弦变换的逆变换： 0 2 ( ) ( )sin s f x f xd + = 余弦变换： 0 f f x xdx c ( ) ( )cos + = 余弦变换的逆变换： 0 2 ( ) ( )cos c f x f xd + =
例3求解积分方程: l。y(x) )sin axa=F() 其中: RcOs元O≤元≤丌 F(2) =丌 4 O.>丌 解:方程左边为y(x)的傅立叶正弦变换,因此, y(x)等于F(λ)的正弦逆变换
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 9 例3 求解积分方程： 0 y x xdx F ( )sin ( ) + = 其中： cos ,0 2 ( ) , 4 0, F = − = 解：方程左边为y(x)的傅立叶正弦变换，因此， y(x)等于F(λ)的正弦逆变换
所以,方程的解为 2cx丌 y(x)= cos a sin nxdn 2[++s(x10 (+COS Ttx) (三)、求解偏微分方程定解问题 1、全无界域上的定解问题
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 10 所以，方程的解为： 0 2 ( ) cos sin 2 y x xd = 0 1 sin(1 ) sin( 1) 2 x d x d = + + − 2 (1 cos ) 1 x x x = + − (三)、求解偏微分方程定解问题 1、全无界域上的定解问题