数理方程与特殊函教 假髁教师:杨春 Email:yc517922@126.com 液用数学学院
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 1 Email: yc517922@126.com 数理方程与特殊函数 任课教师：杨春 应用数学学院
本次课主要内容 贝塞尔函数的性质 ()、贝塞尔函数的递推公式 (二)、贝塞尔函数的零点 (三)、贝塞尔函数的正交性
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 2 本次课主要内容 贝塞尔函数的性质 (二)、贝塞尔函数的零点 (一)、贝塞尔函数的递推公式 (三)、贝塞尔函数的正交性
回顾: 1、贝塞尔方程 +(x2-n2)y=0 其中n为实数或复数 贝塞尔方程的通解 1)如果m为非整数,则: y=An(x)+B/(x) 其中Jn(x)与J(x)称为第一类贝塞尔函数
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 3 1、贝塞尔方程 ( ) 0 2 2 2 2 2 + + x − n y = dx dy x dx d y x 回顾： 其中n为实数或复数 2、贝塞尔方程的通解 (1) 如果n为非整数，则： y AJ (x) BJ (x) = n + −n 其中Jn (x)与J-n (x)称为第一类贝塞尔函数
n+2m J(x)=∑(-1y m=0 2H2mm!(n+m+1) n+2n n(x)=∑(-1) 2H2m!(-n+m+1 2)如果n为一般实数,则: y=AU(x)+BY, (x) 其中,Ya(x)称为第二类贝塞尔函数 Y, (x)=lim J(xcos a-J(x) C→n SIn an
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 4 2 2 0 ( ) ( 1) 2 ! ( 1) n m m n n m m x J x m n m + + = = − + + ( )cos ( ) ( ) * sin n n J x J x Y x Lim − → − = 2 2 0 ( ) ( 1) 2 ! ( 1) n m m n n m m x J x m n m − + − − + = = − − + + (2) 如果n为一般实数，则： y AJ (x) BY (x) = n + n 其中，Yn (x)称为第二类贝塞尔函数
利用洛比达法则可得: 2、,(-1)(x)2m (x)= z o(x(Ln+c) k+1 (x)(Ln3+c)-∑ (n-m-1) +2m (-1)"() +2m n+m-1 ∑ +∑ m6m(n+m)!k+1k+1 C=Lim(1+++…+--Ln)=0.5772… n→)0O 23
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 5 = − = + − = + − 0 1 0 2 2 0 0 1 1 ( !) ) 2 ( 1) ( 2 ) 2 ( )( 2 ( ) m m k m m m k x c x Y x J x Ln 利用洛比达法则可得： 1 2 0 2 1 1 0 0 0 2 1 ( 1)! ( ) ( )( ) ( ) 2 ! 2 ( 1) ( ) 1 1 1 2 ( ) !( )! 1 1 n n m n n m m n m n m m m k k x n m x Y x J x Ln c m x m n m k k − − + = + + − − = = = − − = + − − − + + + + ) 0.5772 1 3 1 2 1 = (1+ + + + − = → Lnn n c Lim n
3、 Bessell函数的母函数(生成函数) G(, z)=e2 ∑ U n(x)z 由 Bessel函数的母函数,当x为实数时可得 ix cose J(x)+2∑Jn(x) cos ne coS(X COS )=1(x)+2>(1)J2n(xosm 4、 Bessel函数的积分表达式
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 6 3、Bessel函数的母函数（生成函数） 1 ( ) 2 ( , ) ( ) x z z n n n G x z e J x z − =− = = 由Bessel函数的母函数，当x为实数时可得： cos 0 1 ( ) 2 ( )cos ix n n n e J x i J x n = = + 0 2 1 cos( cos ) ( ) 2 ( 1) ( )cos 2 m m m x J x J x m = = + − 4、Bessel函数的积分表达式
Un(x) 2Ti 当n为整数时: cos(xsin-n6)d6,(n=0,±1,±2,…) 2丌J-z
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 7 + − = C n x n d e i J x . 1 ) 1 ( 2 2 1 ( ) 当n为整数时： . . 1 ( ) cos( sin ) ,( 0, 1, 2, ) 2 n J x x n d n − = − =
(一)、贝塞尔函数的递推公式 n+1(-) 3、Jn-1(x)+Jn+1(x)==nJn(x) 4\Jm-(x)-Jn+(x)=2/n(x)
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 8 1 ( ) ( ) 1 n n n n x J x x J x − = 、 2 ( ) ( ) 1 n n n n x J x x J x − − + = − 、 1 1 2 3 ( ) ( ) ( ) n n n J x J x nJ x x 、 − + + = 4 ( ) ( ) 2 ( ) n n n 1 1 J x J x J x − + 、 − = (一)、贝塞尔函数的递推公式
证明:因为: 2n+2m Ix(x)=∑ 2n+20m!I(n+m+1) x∑(-1) m=0 2 tm-m!r(n+m) n-1 所以 d xX 同理可证 xX n+1
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 9 2 2 2 0 [ ( )] ( 1) 2 ! ( 1) n m n m n n m m d d x x J x dx dx m n m + + = = − + + 证明：因为： 1 ( ) ( ) 1 n n n n x J x x J x − = 、 2 1 2 1 0 1 ( 1) 2 ! ( ) ( ) n m n m n m m n n x x m n m x J x + − + − = − = − + = 所以： 同理可证： 2 ( ) ( ) 1 n n n n x J x x J x − − + = − 、
将1与2相加得: 3、Jn1(x)+Jn+1(x)==1Jn(x) 将1与2相减得: 4Jn-(r)-Jmn+(x)=2J,(x 递推公式在贝塞尔函数分析运算中非常有用,通过 递推公式,总可以把高阶贝塞尔函数化为0阶与1阶 贝塞尔函数,然后查表计算。 同样道理,可以得到第二类贝塞尔函数递推公式: Lx Y(x]=x' Yn(x)
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 10 将1与2相加得： 将1与2相减得： 递推公式在贝塞尔函数分析运算中非常有用，通过 递推公式，总可以把高阶贝塞尔函数化为0阶与1阶 贝塞尔函数，然后查表计算。 同样道理，可以得到第二类贝塞尔函数递推公式： 1 [ ( )] ( ) 1 n n n n d x Y x x Y x dx 、 = − 1 1 2 3 ( ) ( ) ( ) n n n J x J x nJ x x 、 − + + = 4 ( ) ( ) 2 ( ) n n n 1 1 J x J x J x − + 、 − =