数理方程与特殊函教 任倮教师:杨春 Email:yc517922@126.com 友用数学学院
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 1 Email: yc517922@126.com 数理方程与特殊函数 任课教师:杨春 应用数学学院
本次课主要内容 拉普拉斯变换的应用 )、常微分方程求解 (二)、积分方程求解 (三)、偏微分方程定解问题求解
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 2 本次课主要内容 (一)、常微分方程求解 (二)、积分方程求解 拉普拉斯变换的应用 (三)、偏微分方程定解问题求解
内容回顾 1、 Laplace变换与逆变换的定义 L[f(t)]=f(s)= f(t)e stdt 0 O+10 L[f(s)]=f(t)= F(se ds 2iJ.o-joo 2、常用函数的 Laplace变换 C Res> rea b 2. L[sin bt] Res>o <+b
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 3 内容回顾 1、Laplace变换与逆变换的定义 . .0 [ ( )] ( ) ( ) st L f t f s f t e dt − = = . 1 . 1 [ ( )] ( ) ( ) 2 i st i L f s f t F s e ds i + − − = = 2、常用函数的Laplace变换 1. [ ] , Re Re ( ) at c L ce s a s a = − ( ) 2 2 2. [sin ] , Re 0 b L bt s s b = +
b 3.Icos bt] Res>o stb T(B+1) 4.L[t"]= 12,(Res>0) 3、 Laplace变换的几个主要性质 (1)线性性质 La1f()+a22()=a1Lf1(t)+a2L2( LLa,F(s)+a,E(S=a,LIE(S]+a,LIE(SI
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 4 ( ) 2 2 3. [cos ] , Re 0 b L bt s s b = + ( ) ( ) 1 1 4. [ ] , Re 0 L t s s + + = 3、Laplace变换的几个主要性质 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 [ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )] L a f t a f t a L f t a L f t L a F s a F s a L F s a L F s − − − + = + + = + (1). 线性性质
(2).延迟定理 Llf(t-t=elf(t (3)位移定理 le f(t]= f(s-a), Rel(s-a>o (4).微分定理 [f'(t)]=sL[f(t)]-f(0) Lf"(t)]=s2Lf(t)]-sf(0)-f(0 Dfo()=s"()-s-f(0)-sn2f()-…-f (n-1)
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 5 (2). 延迟定理 [ ( )] [ ( )] s L f t e L f t − − = (3). 位移定理 0 [ ( )] ( ),Re( ) at L e f t F s a s a = − − (4) . 微分定理 2 ( ) 1 2 ( 1) [ ( )] [ ( )] (0) [ ( )] [ ( )] (0) (0) [ ( )] [ ( )] (0) (0) (0) n n n n n L f t sL f t f L f t s L f t sf f L f t s L f t s f s f f − − − = − = − − = − − − −
(5)积分定理 [f(rdr]=LIf(tI (6).象函数的微分定理 L(s)=L[(-t)"f()] (7)象函数的积分定理 F(rdI=ll f(t)
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 6 (5). 积分定理 . .0 1 [ ( ) ] [ ( )] t L f d L f t s = (6). 象函数的微分定理 ( ) [( ) ( )] n n n d L s L t f t ds = − (7).象函数的积分定理 . . ( ) ( ) [ ] s f t F d L t =
(8)卷积定理 L/()*(=LA(刀)L 4.展开定理 f(x)=∑Res[g(sle",s]… k (1)极点z0的阶:若 m(z 20)"f(z)=非零常数 则极点2的阶为m
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 7 (8).卷积定理 [ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )] 1 2 1 2 L f t f t = L f t L f t 4. 展开定理 ( ) Re ( ) , * sx k k f x s g s e s = (1) 极点z0的阶:若 0 0 lim( ) ( ) m z z z z f z → − =非零常数 则极点z0的阶为m
(2),留数公式 若z0为f(x)的m阶极点,则: Resf(zo)=lim (=-=0)"f(=) (-)、常微分方程求解 例1、求解常微分方程: xy”+y+xy=0,y(0)=1
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 8 (2),留数公式 若z0为f(x)的m阶极点,则: 0 1 0 0 1 1 Re ( ) lim ( ) ( ) ( 1)! m m m z z d sf z z z f z m dz − → − = − − (一)、常微分方程求解 例1、求解常微分方程: xy y xy y + + = = 0, (0) 1
(1)、对方程两边作拉氏变换: 由线性性质有: x"]+y]+Lxy]=0 由像函数微分定理得: L[xy”] 又由微分定理得: [y]=s2(s)-90)-y1()=s3y(s)-9(0) 所以:Lxy ]=-(s2(s)-sy(O)
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 9 (1)、对方程两边作拉氏变换: 由线性性质有: L xy L y L xy [ ] [ ] [ ] 0 + + = 由像函数微分定理得: [ ] d L xy L y ds = − 又由微分定理得: 2 2 L y s y s sy y s y s sy = − − = − ( ) (0) (0) ( ) (0) 所以: 2 L xy s y s sy [ ] ( ( ) (0)) = − −
L[y]=s(s)-y(0) L[xyI y(s) as 所以,得变换后的方程为: (S+1)y(s)=-s(s) (2)、求像函数: j(s)=c(s2+1)2 (3)、求原像函数: 对像函数作幂级数展开:
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 10 L y sy s y [ ] ( ) (0) = − 所以,得变换后的方程为: 2 ( 1) ( ) ( ) s y s sy s + = − (2)、求像函数: 1 2 2 y s c s ( ) ( 1) − = + (3)、求原像函数: [ ] ( ) d L xy y s ds = − 对像函数作幂级数展开: