数理方程与特殊函教 任倮教师:杨春 Email:yc517922@126.com 友用数学学院
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 1 Email: yc517922@126.com 数理方程与特殊函数 任课教师：杨春 应用数学学院
第二章定解问题与偏微分方程理论 本次课主要内容 方程的化简与分类 )、方程化简、特征方程 (二)、方程分类
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 2 方程的化简与分类 (一)、方程化简、特征方程 第二章 定解问题与偏微分方程理论 本次课主要内容 (二)、方程分类
()、方程化简、特征方程 对象:含两个变元的二阶线性偏微方程 般形式: u+2au +au +b,u+bu +cu=f n yy x a1,a12a2b13b2c八只是关于x,y的函数 cl+f=0时,称方程为齐次方程,否则,方 程为非齐次方程
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 3 一般形式： a u a u a u b u b u cu f 1 1 xx + 2 1 2 xy + 2 2 yy + 1 x + 2 y + = 对象 ：含两个变元的二阶线性偏微方程。 a11, a12, a22, b1 , b2 , c, f只是关于x, y的函数； (一)、方程化简、特征方程 cu+f=0时，称方程为齐次方程，否则，方 程为非齐次方程
引入二阶线性偏微分算子: +2a 12 a 22 b1+b,-+C ax axa Ov 则上面一般形式方程可简记为: Lu=f
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 4 c y b x b y a x y a x L a + + + + + = 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 引入 二阶线性偏微分算子： Lu = f 则上面一般形式方程可简记为：
化简方法讨论 这里化简是指局部化简! 总的思路是:通过恰当实可逆变换: 2=g1(x,y) 7=92(x,1 将方程化为如下形式: a,u tau tau tb,u tb.u +cu=
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 5 化简方法讨论 ( ) ( ) = = x y x y , , 2 1 总的思路是：通过恰当实可逆变换： a u + a u + a u + b u + b u + c u = f 11 12 22 1 2 1 2 这里化简是指局部化简！ 将方程化为如下形式：
具体分析过程 假设引入实可逆变换: 1(x,y 7=92(x, 将原方程变换为 a1+21l+a2m +bu +bun +Cu=f
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 6 具体分析过程 ( ) ( ) = = x y x y , , 2 1 假设引入实可逆变换： a u + a u + a u + b u + b u + c u = f 11 12 22 1 2 1 2 将原方程变换为：
那么下面的等式成立。 12 T 21 22 21 其中:,「5x占 6=L5-c5,b2Ln-cn,c=c,f=f
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 7 11 12 11 12 21 22 21 22 a a a a Q QT a a a a = 那么下面的等式成立。 1 2 b L c b L c c c f f = − = − = = , , , 其中： x y x y Q =
注意到如下等式: 17x+2 12=xy +a22 y d2=a17+2a1 2 127x/y 22 12=a13x+a12x,+nx)+ y7y 如果:5=91(x,y),m=92(x,y 为方程:a192+2a1299,+a29,2=0 的解,那么:团a1=0a2=0
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 8 ( ) = + + + = + + = + + x x x y y x y y x x y y x x y y a a a a a a a a a a a a 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 注意到如下等式： 如果： = = 1 2 ( x y x y , , , ) ( ) 为方程： 2 2 11 12 22 2 0 x x y y a a a + + = 的解，那么： a a 11 22 = = 0, 0
所以,变换就转化为如下方程求解问题! a19x2+2a12929,+a29,=0…(1) 考虑常微分方程: 2 12 +a2=0…(2) dx dx 可以证明如下结论: xy是(1)的解的充分必要条件是 xy)=q确定的y=y(x是(2)的解
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 9 2 2 11 12 22 2 0 (1) a a a x x y y + + = 所以，变换就转化为如下方程求解问题！ 考虑常微分方程： 可以证明如下结论： 2 11 12 22 2 0 (2) dy dy a a a dx dx − + = ( , ) x y 是(1)的解的充分必要条件是 ( , ) x y c = 确定的y=y(x)是(2)的解
证明:P→> 如果(xy是(1)的解,且设a1与不等于0 0(x,y)=d两边对x求导得: px q φ, cr∴(3) 将(3代入(1)得 a1(02)+2a12(- a 22 0…(4
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 10 x y dy dx = − 证明： 将(3)代入(1)得： " " 如果 ( , ) x y 是(1)的解，且设a11与 y 不等于0。 ( , ) x y c = 两边对x求导得： (3) x y dy dx = − 2 11 12 22 ( ) 2 ( ) 0 (4) y y y y dy dy a a a dx dx − + − + =