数理方程与特殊函教 任倮教师:杨春 Email:yc517922@126.com 友用数学学院
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 1 Email: yc517922@126.com 数理方程与特殊函数 任课教师：杨春 应用数学学院
本次课主要内容 平面特殊区域狄氏格林函数 (一)、上半平面狄氏问题的Gren函数 二)、圆域上狄氏问题的Gre函数 (三)、第一象限上狄氏问题的Gren函数 (四)、上半圆域上狄氏问题格林函数
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 2 本次课主要内容 平面特殊区域狄氏格林函数 (一)、上半平面狄氏问题的Green函数 (二)、圆域上狄氏问题的Green函数 (三)、第一象限上狄氏问题的Green函数 (四)、上半圆域上狄氏问题格林函数
(一)、上半平面狄氏问题的Gren函数 AG=-0(x-x,y-y)(y>0 G 0 问题相当于无限长接地导线上方的电势。 y MO 0
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 3 (一)、上半平面狄氏问题的Green函数 ( 0 0 ) 0 , ,( 0) y 0 G x x y y y G = = − − − = 问题相当于无限长接地导线上方的电势。 M M0 M1 x y o
分析:问题等价于上半平面M处电量为E0的正点电荷在M 处产生的电势,且在x轴上为0。由镜像法:格林函数 G(M,M等于在(x0,-y0)处置一电量为-c0的点电荷在M处 产生的电势与M处电量为c0的正点电荷在M处产生的电势 的叠加。 所以: G(M, Mo)=Ln 2丌MM0o 2兀 MMI 并且有: aG aG
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 4 所以： 分析：问题等价于上半平面M0处电量为ε0的正点电荷在M 处产生的电势，且在x轴上为0。由镜像法：格林函数 G(M,M0 )等于在(x0 ,-y0 )处置一电量为- ε0的点电荷在M处 产生的电势与M0处电量为ε0的正点电荷在M处产生的电势 的叠加。 0 1 0 1 1 1 1 ( , ) 2 2 MM MM G M M Ln Ln r r = − 并且有： G G n y = −
L 2r Oy x-xo +(y-yo) Ve Ln-1- x-x0)+(y+y) 丌(x-x)2+y 例1、求上半平面上泊松与拉氏方程狄氏解 解:由公式:(M)=-手∞4-J=(xy 得泊松方程狄氏解为: +∞ (M)=9(x) Gf(x, y)do (x-x0)+y
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 5 0 2 2 2 2 0 0 0 0 1 1 1 [ ] 2 ( ) ( ) ( ) ( ) L y G Ln Ln n y x x y y x x y y = = − − − + − − + + 0 2 2 0 0 1 ( ) y x x y = − − + 即： 例1、求上半平面上泊松与拉氏方程狄氏解 解：由公式： 0 ( ) ( , ) L D G u M dS Gf x y d n = − − 得泊松方程狄氏解为： 0 0 2 2 0 0 1 ( ) ( ) ( , ) ( ) D y u M x dx Gf x y d x x y + − = − − +
拉氏方程狄氏解为: + l(M0) -dx (x-x0)2+y 例2、求上半平面上拉氏方程狄氏解,边界条件为 O3x<0 u(x,o)= Lln2x≥0 解:由公式: +∞ (M0)= o(x) (x-x0)2+y +∞O 0 x-x 0
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 6 拉氏方程狄氏解为： 例2、求上半平面上拉氏方程狄氏解，边界条件为： 解：由公式： 0 0, 0 ( ,0) , 0 x u x u x = 0 0 2 2 0 0 1 ( ) ( ) ( ) y u M x dx x x y + − = − + 0 0 2 2 0 0 0 0 2 2 0 0 0 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) y u M x dx x x y y u dx x x y + − + = − + = − +
u 0 d-d +∞ dx +1 ∞ uo arctan 0 y uo arctan 0 +arctan I2
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 7 0 0 2 2 0 0 0 1 ( ) u y dx x x y + = − + 0 0 0 2 0 2 0 0 1 1 ( ) 1 u y dx x x y y + = − + 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 1 ( ) ( ) 1 y x x u y d x x y y y + − = − + 0 0 0 0 1 arctan x x u y + − = 0 0 0 0 1 arctan x x u y + − = 0 0 0 arctan 2 u x y = +
(二)、圆域上狄氏问题的 Green函数 圆域上狄氏问题 Green函数满足的定解问题为 ∫△G=-5(M,M0) M,Mo∈D(x2+y2≤R2) 分析:圆域上狄氏问题Gre函数G(M,M)相当于圆内M处放置电 量为e0的正点电荷,而圆周接地的电势。 其中:DM=回M=园M==(刷
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 8 0 2 2 2 0 ( , ) , ( ) L 0 G M M M M D x y R G = − + = (二)、圆域上狄氏问题的Green函数 圆域上狄氏问题Green函数满足的定解问题为 分析：圆域上狄氏问题Green函数G(M,M0 )相当于圆内M0处放置电 量为ε0的正点电荷，而圆周接地的电势。 M M0 O M1 其中： OM r = OM r 1 1 = OM r 0 0 = 0 = ( , ) r r
延长OM至M1,使r1=R2/ro 在M处置一电荷密度为E0的无限长细杆,M处置一电荷密度 为-ε0的无限长细杆,两线在M处产生的平面电势为 MMI n n 2丌TMo 2丌r MM 2丌 MoM 但是: h MMy I R n 2丌FM0M L 2丌 所以,格林函数应该为: G(M,M0)=n1 PMMI R n n 2丌 MoM 2丌M MMI 2丌 MoM 2
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 9 延长OM0至M1,使r1=R2/r0. 但是： 1 0 1 0 1 1 1 1 1 ln ln ln 2 2 2 MM M M MM M M r r r r − = 在M0处置一电荷密度为ε0的无限长细杆，M1处置一电荷密度 为-ε0的无限长细杆，两线在M处产生的平面电势为: 1 0 0 1 1 ln ln 2 2 MM L M M r R r r = 所以，格林函数应该为： 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 ( , ) ln ln ln ln 2 2 2 2 MM M M MM M M r R G M M r r r r = − = −
例3、求圆域上泊松与拉氏方程狄氏解。 解:m(M)=-手 OG O ds-jGf( 因为:G1C OI 所以: OGOG ar R R 2TRR-2Rro cos y +ro 所以,狄氏解为 R Ju(mo)= y 2TR R2-2 Rro cosy +l cs Gf(, y)do
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 10 解： L R G G n r = 因为： 2 2 0 2 2 0 0 1 2 2 cos R r R R Rr r − = − − + 例3、求圆域上泊松与拉氏方程狄氏解。 0 ( ) ( , ) L D G u M dS Gf x y d n = − − 所以： L R G G n r = 2 2 0 0 2 2 0 0 1 ( ) ( , ) 2 2 cos L D R r u M dS Gf x y d R R Rr r − = − − + 所以，狄氏解为：