数理方程与特殊函教 假髁教师:杨春 Email:yc517922@126.com 液用数学学院
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 1 Email: yc517922@126.com 数理方程与特殊函数 任课教师：杨春 应用数学学院
本次课主要内容 贝塞尔函数的应用 (一)、贝塞尔函数的正交性 (二)、贝塞尔函数的应用
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 2 本次课主要内容 贝塞尔函数的应用 (二)、贝塞尔函数的应用 (一)、贝塞尔函数的正交性
回顾:贝塞尔函数的递推公式 n+1(-) 3、Jn-1(x)+Jn+1(x)==nJn(x) 4\Jm-(x)-Jn+(x)=2/n(x)
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 3 1 ( ) ( ) 1 n n n n x J x x J x − = 、 2 ( ) ( ) 1 n n n n x J x x J x − − + = − 、 1 1 2 3 ( ) ( ) ( ) n n n J x J x nJ x x 、 − + + = 4 ( ) ( ) 2 ( ) n n n 1 1 J x J x J x − + 、 − = 回顾：贝塞尔函数的递推公式
例、计算: (1),xJ0(x)dx(2),x:J2(x)dx 解:注意到: (xUn(x))=x Jn-(x) l( D),xJo(x)dx=x(o(x)dx
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 4 例、计算： 3 0 (1), ( ) x J x dx 解：注意到： ( ( )) ( ) 1 x J x x J x n n n n = − 3 2 (2), ( ) x J x dx − 3 2 0 0 (1), ( ) ( ( )) x J x dx x xJ x dx = ( ) 2 1 = x d xJ x( )
xJ,(x)-2 xJ,(x)dx x,(x)-2x,(x)+C (2),x3J2(x)dx ∫(xJ2()4 x dlx
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 5 3 2 1 1 = − x J x x J x dx ( ) 2 ( ) 3 2 1 2 = − + x J x x J x C ( ) 2 ( ) 3 2 (2), ( ) x J x dx − ( ) 4 1 2 x x J x dx ( ) − = − ( ) 4 1 1 x d x J x( ) − = −
∫xd(x"(x) Fx(3)-4x(3() 在递推公式 3 Jn(x)+n1(x==/n(r) 中,令n=0得: J1(x)=-J1(x) 又在递推公式 [x"(x)]=x"21(x)
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 6 ( ) 4 1 1 x d x J x( ) − = − ( ) 3 2 1 1 x J x x J x d x ( ) 4 ( ) = − − − 在递推公式 1 1 2 3 ( ) ( ) ( ) n n n J x J x nJ x x 、 − + + = 中，令n=0得： 1 1 J x J x ( ) ( ) − = − 又在递推公式 1 ( ) ( ) 1 n n n n x J x x J x − = 、
又在递推公式 [x(x)]=xn( 中,令n=0得: J1(x)=J(x) 原式 xJ1(x)-4x3J1(x)(x) x7(x)-4|x2J/(x)d xJ1(x)-4x2Jo(x)+8 3o(xdx
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 7 中，令n=0得： 又在递推公式 1 ( ) ( ) 1 n n n n x J x x J x − = 、 1 0 J x J x ( ) ( ) − = 原式 ( ) 3 2 1 1 x J x x J x d x ( ) 4 ( ) = − − − 3 2 1 0 = − − x J x x J x dx ( ) 4 ( ) 3 2 1 0 0 = − − + x J x x J x xJ x dx ( ) 4 ( ) 8 ( )
x/1(x)-4x2J0(x)+8x/1(x)+C 注:一般说来,对于形如 x2J。(x)lx 的积分,若pq为整数,+4≥0且:P+4 为奇数,则通过递推,最后总可以用J(x)与J1x) 表示,若为偶数,则结果只能用(x△表 小
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 8 3 2 1 0 1 = − − + + x J x x J x xJ x C ( ) 4 ( ) 8 ( ) 注：一般说来，对于形如 ( ) p q x J x dx 的积分，若p,q为整数， 且： 为奇数，则通过递推，最后总可以用J0 (x)与J1 (x) 表示，若为偶数，则结果只能用 表 示。 p q + 0 p q + J x dx 0 ( )
()、贝塞尔函数的正交性 1、贝塞尔函数的正交性定理 正交性定理:贝塞尔函数系 +∞ R 具有正交性,即: (n) 0,、(m≠k) r ar= R R R22n-I(um)=-R2J2n+(un)),(m=k 2 证明:令 F()=Jn(a)a为参数 F()=Jn(a)、(a2为参数)
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 9 (一)、贝塞尔函数的正交性 1、贝塞尔函数的正交性定理 正交性定理：贝塞尔函数系 ( ) 1 n m J r n R + 具有正交性，即： ( ) ( ) 2 2 ( ) 2 2 ( ) 0 1 1 0,( ) 1 1 ( ) ( ),( ) 2 2 n n R m k n n n n n n m m m k rJ r J r dr R R R J R J m k − + = = = 证明：令： F r J a r a 1 1 1 ( ) ,( = n ( ) 为参数) F r J a r a 2 2 2 ( ) ,( = n ( ) 为参数)
考虑n阶贝塞尔方程: d/ dF n F+arF=o F(R)=0F(0)<+ 则如下等式成立: d( dE +(a1r--)F=0 cr、ahr d dF c/2+(a2F )F2=0
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 10 考虑n阶贝塞尔方程： 则如下等式成立： 2 0 ( ) 0, (0) d dF n r F rF dr dr r F R F − + = = + 2 1 2 1 1 ( ) 0 d dF n r r F dr dr r + − = 2 2 2 2 2 ( ) 0 d dF n r r F dr dr r + − =