西安开放大学 《高等数学基础》 第三讲 函数的连续性 主讲：侯新昌教授
主讲：侯新昌 教授 《高等数学基础》 第三讲 函数的连续性
函数的连续性 1函数的连续性与连续函数 定义1.7设函数f(x)在点xo的某个邻域内有定义，并且满足 lim f(x)=f(xo) X→x0 则称函数f(x)在点x处连续，点x称为函数f(x)的连续点. 连续点的三个条件：(1)有f(xo) (2)有limf(x) → (3)lim f(x)=f(xo) 2X→X0 若函数在区间上每一点都连续，称函数在该区间连续
定义1.7 设函数𝑓(𝑥)在点 𝑥0 的某个邻域内有定义，并且满足 lim 𝑥→𝑥0 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑥0 ) 则称函数𝑓(𝑥)在点 𝑥0处连续，点 𝑥0称为函数𝑓(𝑥)的连续点. 连续点的三个条件： （1）有 𝑓(𝑥0 ) （2）有 lim 𝑥→𝑥0 𝑓 𝑥 （3） lim 𝑥→𝑥0 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑥0 ) 若函数在区间上每一点都连续，称函数在该区间连续. 函数的连续性 1 函数的连续性与连续函数
函数的连续性 1函数的连续性与连续函数 例1试证函数f(x)= xsin,x≠0，在x=0处连续 0,x=0, imsin=0,又f0)=0,li四f(x)=f0, 证 由定义1.7知函数f(x)在x=0处连续
例1 证 0, 1 lim sin 0 = → x x x 又 f (0) = 0, 由定义1.7知 函数 f (x)在x = 0处连续. lim ( ) (0), 0 f x f x = → 试证函数 𝑓 𝑥 = ൝ 𝑥 sin 1 𝑥 , 𝑥 ≠ 0, 0 , 𝑥 = 0, 在 𝑥 = 0 处连续. 函数的连续性 1 函数的连续性与连续函数
函数的连续性 2函数的间断点 连续点的三个条件： (1)有f(x) (2)有limf(x)(3)1im f(x)=f(xo) ”-→X。 X→X 有一个条件不满足即为间断点
2 函数的间断点 连续点的三个条件： （1）有 𝑓(𝑥0 ) （2）有 lim 𝑥→𝑥0 𝑓 𝑥 （3） lim 𝑥→𝑥0 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑥0 ) 有一个条件不满足即为间断点. 函数的连续性
函数的连续性 2函数的间断点 例2讨论函数f(x)= x2+2x+1 X-1 在x=1处的连续性， x2+2x+1 解因为f(x)=2+2x+1 lim x1x-1 x-1 y+2x+1 x1无穷间断点 在x=1处没有定义， x-1 所以f(x)在x=1处不连续， 即x=1是函数f(x)的间断点！
例2 讨论函数 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 +2𝑥 + 1 𝑥 − 1 在 𝑥 = 1 处的连续性. 解 因为 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 +2𝑥 + 1 𝑥 − 1 在 𝑥 = 1 处没有定义， 所以 𝑓 𝑥 在 𝑥 = 1 处不连续， 即 𝑥 = 1 是函数𝑓 𝑥 的间断点 . 无穷间断点 lim𝑥→1 𝑥 2 + 2𝑥 + 1 𝑥 − 1 = ∞ 函数的连续性 2 函数的间断点
函数的连续性 2函数的间断点 例3讨论函数f(x)= sin，x≠0 0, x=0 () 在x=0处的连续性 解因为sin不存在， 42 振荡间断点 所以f(x)在x=0处不连续， 即x=0是函数f(x)的间断点
例3 讨论函数 𝑓 𝑥 = ൝ sin 1 𝑥 , 𝑥 ≠ 0 0, 𝑥 = 0 在 𝑥 = 0 处的连续性. 解 因为lim 𝑥→0 sin 1 𝑥 不存在， 所以𝑓 𝑥 在 𝑥 = 0 处不连续， 即 𝑥 = 0 是函数𝑓 𝑥 的间断点. 振荡间断点 函数的连续性 2 函数的间断点
函数的连续性 2函数的间断点 例4讨论函数f(x)= x2+1,x≠0 0.5,x=0 在x=0处的连续性. 解因为limx2+1=1≠0.5=f(0) 所以f(x)在x=0处不连续， y=x2+1 即x=0是函数f(x)的间断点， x=0称为 可去间断点 改变函数在x=0处的定义： g++9+g+5 令f(0)=1,则f(x)在x=0处连续 -0s1
例4 讨论函数 𝑓 𝑥 = ቊ 𝑥 2 + 1 , 𝑥 ≠ 0 0.5 , 𝑥 = 0 在 𝑥 = 0 处的连续性. 解 因为lim𝑥→0 𝑥 2 + 1 = 1 ≠ 0.5 = 𝑓 ( 0 ) 所以 𝑓 𝑥 在 𝑥 = 0 处不连续， 即 𝑥 = 0 是函数𝑓 𝑥 的间断点 . 改变函数在 𝑥 = 0 处的定义： 令 𝑓 0 = 1，则 𝑓 𝑥 在 𝑥 = 0 处连续 . 𝑥 = 0 称为 可去间断点 函数的连续性 2 函数的间断点
函数的连续性 2函数的间断点 例5讨论函数f(x)=2-2x-3 x+1 在x=-1处的连续性， 解因为f(x)=2-2x-3 X+1 =-2-3 心+1 在x=一1处没有定义， lim x2-2x-3 所以f(x)在x=-1处不连续， -1x+1 =-4 即x=-1是函数f(x)的间断点. 即x=-1是函数f(x)的可去间断点
函数的连续性 例5 讨论函数 𝑓 𝑥 = 𝑥 2−2𝑥−3 𝑥+1 在 𝑥 = −1 处的连续性. 解 因为 𝑓 𝑥 = 𝑥 2−2𝑥−3 𝑥+1 在 𝑥 = −1 处没有定义， 所以𝑓 𝑥 在 𝑥 = −1 处不连续， 即 𝑥 = −1 是函数𝑓 𝑥 的间断点. lim 𝑥→−1 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 𝑥 + 1 = −4 即𝑥 = −1 是函数𝑓 𝑥 的可去间断点. 2 函数的间断点
函数的连续性 2函数的间断点 x,x0 x->0 x-→01 V=1 limf(x)不存在 0 2 所以f(x)在x=0处不连续， x=0是函数f(x) 即x=0是函数f(x)的间断点. 的跳跃间断点
= 1, 0, , 0, ( ) x x x 例6 讨论函数 f x lim ( ) lim 0 0 0 = = → − → − f x x x x lim ( ) lim 1 1 0 0 = = → + → + x x 解： f x lim ( ) 0 f x x→ 不存在 在 𝑥 = 0 处的连续性. 所以𝑓 𝑥 在 𝑥 = 0 处不连续， 即 𝑥 = 0 是函数𝑓 𝑥 的间断点. 𝑥 = 0 是函数𝑓 𝑥 的跳跃间断点. 函数的连续性 2 函数的间断点
函数的连续性 3连续函数的运算 定理初等函数在其定义区间内都是连续的， 初等函数在其定义区间内某点处的极限值等于该点处的函数值. x2-4 例7求y= x2-4 x2-x-6 的连续区间和间断点及lim x0x2-x-6 x2-4 x2-4 x2-4 x-2x2-x-6; lim x3x2-x-6; lim- lim x00x2-x-6
3 连续函数的运算 定理 初等函数在其定义区间内都是连续的. 初等函数在其定义区间内某点处的极限值等于该点处的函数值. 例7 求 𝑦 = 𝑥 2−4 𝑥2−𝑥−6 的连续区间和间断点及 lim 𝑥→0 𝑥 2−4 𝑥2−𝑥−6 ； lim 𝑥→−2 𝑥 2−4 𝑥2−𝑥−6 ； lim 𝑥→3 𝑥 2−4 𝑥2−𝑥−6 ； lim 𝑥→∞ 𝑥 2−4 𝑥2−𝑥−6 . 函数的连续性