西安丹放大学 《高等数学基础》 第九讲原函数与不定积分概念 主讲：侯新昌教授
主讲：侯新昌 教授 《高等数学基础》 第九讲 原函数与不定积分概念
原函数与不定积分概念 第五章不定积分 5.1原函数与不定积分概念 5.2换元积分法 5.3分部积分法
原函数与不定积分概念 5.1 原函数与不定积分概念 5.2 换元积分法 第五章 不定积分 5.3 分部积分法
原函数与不定积分概念 已知函数f(x)=2x,问(？)'=2x. x2)'=2x 称函数x2为函数2x的一个原函数， 已知函数f(x)=cosx,问(？)'=cosx.(sinx)'=cosx 称函数sinx为函数cosx的一个原函数， 设函数f(x)已知，若存在函数F(x),使得 F'(x)=f(x) 则称函数F(x)为函数f(x)的一个原函数， (x2+C)'=2x.(sinx+C)'=cosx. (F(x)+C)'=f(x) 不定积分
已知函数 𝑓 𝑥 = 2𝑥 , 问 ( ? ) ′ = 2𝑥. (𝑥 2 ) ′ = 2𝑥 称函数 𝑥 2为函数 2𝑥 的一个原函数. 已知函数 𝑓 𝑥 = cos 𝑥 , 问 ( ? ) ′ = cos 𝑥. ( sin 𝑥) ′ = cos 𝑥 称函数 sin 𝑥 为函数 cos 𝑥 的一个原函数. (𝑥 2 + 𝐶) ′ = 2𝑥. ( sin 𝑥 + 𝐶) ′ = cos 𝑥. 设函数 𝑓 𝑥 已知，若存在函数 𝐹 𝑥 ，使得 𝐹 ′ 𝑥 = 𝑓 𝑥 则称函数 𝐹 𝑥 为函数 𝑓 𝑥 的一个原函数. 不定积分 原函数与不定积分概念 (𝐹 𝑥 + 𝐶) ′ = 𝑓(𝑥) 一个
原函数与不定积分概念 函数f(x)的全部原函数称为f(x)的不定积分， 记作 f(x)dx=F(x)+C 称为积分号， 被积函数 积分变量 f(x)dx称为被积表达式 2xdx =x2+C cosx dx sinx+C sinx dx=-cosx+C x2d=3x3+0
函数 𝑓 𝑥 的全部原函数称为𝑓 𝑥 的不定积分， 记作 න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶 න 2𝑥𝑑𝑥 = 𝑥 2 + 𝐶 න cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶 න sin 𝑥 𝑑𝑥 = −cos 𝑥 + 𝐶 න 𝑥 2𝑑𝑥 = 1 3 𝑥 3 + 𝐶 “ ∫ ”称为积分号， 被积函数 积分变量 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 称为被积表达式 . 原函数与不定积分概念
原函数与不定积分概念 不定积分的性质与积分基本公式 性质1(1)[f(x)dx]'=f(x)或dUf(x)dx]=f(x)dx (2)∫f'(x)dx=f(x)+C或∫df(x)=f(x)+C 性质2∫kf(x)dx=k∫f(x)dx(k≠0) 性质3[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx
不定积分的性质与积分基本公式 性质1 (1) �𝑑� �� �� ′ �𝑑� �� �� = �𝑑� (��)�� �� 或= 𝑓(𝑥) �� (2( �� + �� �� = (��)�𝑑� 或′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝐶 (0 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 (𝑘 ≠ �� = �𝑑� �� �𝑘� 性质2 �𝑑� �� �� ± �𝑑� �� �� = �𝑑�[ �� �� ± �� ��] 性质3 原函数与不定积分概念
原函数与不定积分概念 积分基本公式 导数基本公式 (1) xadx=1 1xa+1+C(a≠-1) (xa)'=xa-1 (2) dx=Inlxl+c (a=-1) (nxy-x (3) axdx=ax ina+c (ax)'=axIna (4) exdx=ex+c (ex)'=ex (5) sinx dx =-cosx +C (cos x)'=-sinx (6) cosx dx=sinx+C (sin x)'=cosx
积分基本公式 导数基本公式 1 න 𝑥 𝛼𝑑𝑥 (𝑥 𝛼 ) ′ = 𝛼𝑥 = 𝛼−1 1 𝛼+1 𝑥 𝛼+1 + 𝐶 (𝛼 ≠ −1) 2 න 1 𝑥 𝑑𝑥 (ln 𝑥) ′ = 1 𝑥 = ln 𝑥 + 𝐶 (𝛼 = −1) 3 න 𝑎 𝑥𝑑𝑥 (𝑎 𝑥 ) ′ = 𝑎 𝑥 = ln 𝑎 𝑎 𝑥 ln 𝑎 + 𝐶 4 න 𝑒 𝑥𝑑𝑥 (𝑒 𝑥 ) ′ = 𝑒 𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝐶 5 න sin 𝑥 𝑑𝑥 (cos 𝑥) ′ = − cos 𝑥 + 𝐶 = − sin 𝑥 6 න cos 𝑥 𝑑𝑥 (sin 𝑥) ′ = sin 𝑥 + 𝐶 = cos 𝑥 原函数与不定积分概念
原函数与不定积分概念 积分基本公式 导数基本公式 1 1 (7) dx=tanx+C (tan x)'= cos2x cos2x 1 1 (8) sin2x dx=-cotx+C (cotx)=- sin2x
积分基本公式 导数基本公式 7 න 1 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 (tan 𝑥) ′ = 1 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = tan 𝑥 + 𝐶 8 න 1 𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑑𝑥 (cot 𝑥) ′ = − 1 𝑠𝑖𝑛2𝑥 = − cot 𝑥 + 𝐶 原函数与不定积分概念
原函数与不定积分概念 例1求∫（长+2）dx 1 xadx a41+C 解j(眼+2)ax=∫dr+∫2xa (2) 元dr=ln+G 3) ∫a*=品+c =Inlxl+i2+C (4) exdx=ex+c 例2求∫Vx(3-x2)dx (5) sinx dx=-cosx+C 解J(6-r2ax=3x2dk-∫xdx (6) cosx dx sinx+C =3× 1+11x21+C=2x2 3 27 (7 -dx tanx+C + 5 72+c +1 (8) s0n2元e=cotx+G
1 න 𝑥 𝛼𝑑𝑥 = 1 𝛼+1 𝑥 𝛼+1 + 𝐶 2 න 1 𝑥 𝑑𝑥 = ln 𝑥 + 𝐶 3 න 𝑎 𝑥𝑑𝑥 = 𝑎 𝑥 ln 𝑎 + 𝐶 4 න 𝑒 𝑥𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝐶 5 න sin𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶 6 න cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶 7 න 1 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝐶 8 න 1 𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑑𝑥 = − cot 𝑥 + 𝐶 例1 求 1 𝑥 + 2 𝑥 𝑑𝑥 解 1 𝑥 + 2 𝑥 𝑑𝑥 = න 1 𝑥 𝑑𝑥 + න 2 𝑥𝑑𝑥 = ln 𝑥 + 2 𝑥 ln2 + 𝐶 例2 求 �� 3 − 𝑥 2 𝑑𝑥 解 �� 3 − 𝑥 2 𝑑𝑥 = 3 න 𝑥 1 2𝑑𝑥 − න 𝑥 5 2𝑑𝑥 = 3 × 1 1 2 + 1 𝑥 1 2 +1 − 1 5 2 + 1 𝑥 5 2 +1 + 𝐶 = 2𝑥 3 2 − 2 7 𝑥 7 2 + 𝐶 原函数与不定积分概念
原函数与不定积分概念 3求∫a 1) x@dx =-1xa+1+C a+1 (2) 1 dx=Inlxl+C (3) a=品+ (4 exdx=ex+c -2+1x-2+1-2nlx+x+C (5) sinx dx=-cosx+C (6 cosx dx sinx+C =-1-21nlx+x+c 1 X dx三tamt+C cos2x 1 (8) sin2x dr三-cotx+G
1 න 𝑥 𝛼𝑑𝑥 = 1 𝛼 + 1 𝑥 𝛼 + 1 + 𝐶 2 න 1𝑥 𝑑𝑥 = ln 𝑥 + 𝐶 3 න 𝑎 𝑥𝑑𝑥 = 𝑎 𝑥 ln 𝑎 + 𝐶 4 න 𝑒 𝑥𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝐶 5 න sin 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶 6 න cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶 7 න 1 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝐶 8 න 1 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 𝑑𝑥 = − cot 𝑥 + 𝐶 例3 求 ( 1 − 𝑥 ) 2 𝑥 2 𝑑𝑥 解 ( 1 − 𝑥 ) 2 𝑥 2 𝑑𝑥 = න ( 1𝑥2 − 2𝑥 + 1 )𝑑𝑥 = 1 − 2 + 1 𝑥 − 2 + 1 − 2 ln 𝑥 + 𝑥 + 𝐶 = − 1𝑥 − 2 ln 𝑥 + 𝑥 + 𝐶 原函数与不定积分概念
原函数与不定积分概念 例4求j3sinx+2-4)ax (1) xadx =-1xa+1+C a+1 (2) 1 ∫(3sinx+e dx=Inlxl+C 解 -4)dx 3) ∫a=品+c ex =-3C0Sx+ -4x+C (4) exdx=ex+c (5) sinx dx=-cosx+C (6) cosx dx sinx+C 1 -dx tanx+C C052 (8) 5in2近三=sotx+G
1 න 𝑥 𝛼𝑑𝑥 = 1 𝛼 + 1 𝑥 𝛼 + 1 + 𝐶 2 න 1𝑥 𝑑𝑥 = ln 𝑥 + 𝐶 3 න 𝑎 𝑥𝑑𝑥 = 𝑎 𝑥 ln 𝑎 + 𝐶 4 න 𝑒 𝑥𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝐶 5 න sin 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶 6 න cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶 7 න 1 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝐶 8 න 1 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 𝑑𝑥 = − cot 𝑥 + 𝐶 例4 求 ( 3 sin 𝑥 + 𝑒 𝑥2 − 4 )𝑑𝑥 解 ( 3 sin 𝑥 + 𝑒 𝑥2 − 4 )𝑑𝑥 = − 3 cos 𝑥 + 𝑒 𝑥2 − 4 𝑥 + 𝐶 原函数与不定积分概念