新乐市实验学校 29.4切线些定理 九级数学课 2014年12月5日
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新乐市实验学校 认知准备 问题1:经过平面上一个已知点,作已知 圆的切线会有怎样的情形? O O B 问题2:经过圆外一点P,如何做已知⊙O 的切线?
新乐市实验学校 ·O 问题1: 经过平面上一个已知点，作已知 圆的切线会有怎样的情形？ ·O P ·O · P· P · 问题2: 经过圆外一点P，如何做已知⊙O 的切线？ A B 认知准备
新乐市实验学校 画一画 方法一:借助三角板方法二:尺规作图 B
新乐市实验学校 · 方法一：借助三角板 画一画 方法二：尺规作图 P A B O
新乐市实验学校 基本概念经过圆外一点作圆的 切线,这点和切点之 间的线段的长,叫做 线 这点到圆的切线长。 k o' ■■■■■■ P 如图,P是⊙O外一点, 术 PA,PB是⊙O的两条切 B 线,我们把线段PA,PB 念 叫做点P到⊙O的切线长。 切线和切线长是两个不同的概念: 1、切线是一条与圆相切的直线,不能度量; 2、切线长是线段的长,这条线段的两个端点分别是 圆外一点和切点,可以度量。 思考:当P点在⊙O上时,过P点可以作圆的切线吗? 此时有切线长吗?
新乐市实验学校 如图，P是⊙O外一点， PA，PB是⊙O的两条切 线，我们把线段PA，PB 叫做点P到⊙O的切线长。 P O A B 经过圆外一点作圆的 切线，这点和切点之 间的线段的长，叫做 这点到圆的切线长。 • 切线和切线长是两个不同的概念： • 1、切线是一条与圆相切的直线，不能度量； • 2、切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是 圆外一点和切点，可以度量。 思考：当P点在⊙O上时，过P点可以作圆的切线吗? 此时有切线长吗？ 基本概念
新乐市实验学校 折 P B 思考:已知⊙O切线PA、PB,A、B为切点, 把圆沿着直线OP对折你能发现什么?
新乐市实验学校 O A B P 1 2 折一折 思考：已知⊙O切线PA、PB，A、B为切点， 把圆沿着直线OP对折,你能发现什么?
新乐市实验学校 证一证 若从⊙O外的一点引两条切 线PA,PB,切点分别是A、B P 宏结论?并证明你所发现的 论 PA=PB,∠OPA=∠OPB B 证明:∵PA,PB与⊙0相切,点A,B是切点 OA⊥PA,OB⊥PB即∠OAP=∠OBP=90° 。OA=OB,OP=OP 试用文字语言 Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) 叙述你所发现 的结论 PA=PB∠OPA=∠OPB
新乐市实验学校 若从⊙O外的一点引两条切 线PA，PB，切点分别是A、B， 连结OA、OB、OP，你能发现 什么结论？并证明你所发现的 结论。 PA = PB，∠OPA=∠OPB 试用文字语言 叙述你所发现 的结论 O P A B 证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点 ∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90° ∵ OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB 证一证
新乐市实验学校 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这 点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 A 反思:切线长定理为 证明线段相等、角相 等提供新的方法 B 几何语言 PA、PB与⊙O分别相切于点A、BPA=PB ∠OPA=∠OPB
新乐市实验学校 PA、PB与⊙O分别相切于点A、B PA = PB ∠OPA=∠OPB 几何语言: 反思：切线长定理为 证明线段相等、角相 等提供新的方法 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这 一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 O P A B 切线长定理
新乐市实验学校 B 牛刀小试 1.若连结两切点A、B,AB M 交OP于点M.你又能得出什 么新的结论?并给出证明 OP垂直平分AB 证明:‘PA,PB是⊙0的切线,点A,B是切点 PA=PB∠OPA=∠OPB △PAB是等腰三角形,PM为顶角的平分线 OP垂直平分AB
新乐市实验学校 A O P B 1.若连结两切点A、B，AB 交OP于点M.你又能得出什 么新的结论？并给出证明. OP垂直平分AB 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点 ∴PA = PB ∠OPA=∠OPB ∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB M 牛刀小试
新乐市实验学校 牛刀再试 2若延长PO交⊙O于C 点,连结AC、BC,你 又能得出什么新的结论? 并给出证明 AC=BC,∠OCA=∠OCB 证明:‘PA,PB是⊙0的切线,点A,B是切点 PA=PB,∠OPA=∠OPB PC=PC 。△PCA≌△PCB AC=BC,∠0CA=∠0CB
新乐市实验学校 B P O 。 A 2.若延长PO交⊙O于C 点，连结AC、BC，你 又能得出什么新的结论? 并给出证明. AC=BC， 证明：∵ PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点 ∴PA = PB，∠OPA=∠OPB ∵ PC=PC ∴△PCA ≌ △PCB ∴AC=BC，∠OCA=∠OCB C ∠OCA=∠OCB 牛刀再试
新乐市实验学校 定理拓展 若PA、PB是⊙O的两条切 线,A、B为切点,直线OP 交于⊙0于点D、E,交AB 行出图中所有相等的线段 AO=BO=DO=EO, AP=BP, AC=BC (2)写出图中所有相等的弧 AD=BD, AE=BE, DAE=DBE (3)写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA,OB⊥PB,AB⊥OP (4)写出图中所有的等腰三角形△ABP△AOB (5)写出图中所有的全等三角形 △AOP≌△BOP,△AOC≌△BOC,△ACP≌△BCP
新乐市实验学校 若PA、PB是⊙O的两条切 线，A、B为切点，直线OP 交于⊙O于点D、E，交AB 于C。 B A O C P E D （3）写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP （5）写出图中所有的全等三角形 △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP （4）写出图中所有的等腰三角形 △ABP △AOB （1）写出图中所有相等的线段 AO=BO=DO=EO，AP=BP，AC=BC （2）写出图中所有相等的弧 AD=BD，AE=BE，DAE=DBE 定理拓展