D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1995.s1.001 第17卷增刊 北京科技大学学报 Vo.17 1995年12月 Journal of University of Science and Technology Beijing Dec.1995 高炉炉缸炉底侵蚀判断模型 杨尚宝杨天钧 董一诚 北京科技大学，北京100083 楠要基于对炉缸炉底衬砖破损机理的分析，采用有限元法建立了炉缸炉底侵蚀判断数学模型 该模型用于推定炉缸炉底的1150℃等温线（侵蚀参考线），并结合知识库中的操作知识对护炉操作 进行指导，以维护合理的操作炉型。 关键词高炉，炉衬，传热计算，有限元法 Model for Prediction of Erosion Profile of Hearth and Bottom of Blast Furnace Yang shangbao Yang Tianjun Dong Yicheng Department of Metallargy.USTB 100083 ABSTRACT A model for prediction of erosion profile of the hearth and botlom of a blast furnace is established based on the analysis of the erosion mechanism of the hearth and bottom of the blast furnaces.The 1150C isotherm as a reference profile of the erosion of the hearth and bottom was calculated with the finite element method.The optimal working profile of the hearth canbe made by the model combined with the operative indica- tion by the knowledge bases. KEY WORDS blast furnace,lining block,heat transfer calculation,finice element method 高炉各部位工作条件不同，受破坏的因素也不同，总体来说，炉底和炉缸部分侵蚀最为 严重，因此，高炉炉底和炉缸的侵蚀程度是决定高炉一代寿命的关键，及时了解和控制高炉 炉衬（特别是炉缸炉底）的侵蚀情况是非常重要的，尤其在强化冶炼的情况下，更是如此 1 破损机理 炉缸和炉底碳砖破损的原因随部位的不同而有差异，归纳起来主要原因有：①渣、铁和 煤气的机械冲刷作用；②热应力破坏作用；③煤气中的CO2、O2、H,O和漏入水的氧化作用； ·1995-10-16收稿
1 7 第 卷 增刊 1 1 2 9 9 年 月 5 北 京 科 技 大 学 学 报 J n u a o r l o U f s i n e v r i y t o i f 段 n n e e e a T d e e h n o 呢 l y B e i i j n g V o l . 1 7 k c 】 . 1 9 9 5 高炉炉缸炉底侵蚀判断模型 杨 尚宝 杨 天钧 董 一 诚 北京科技大学 , 北京 1 0 0 0 8 3 摘要 基于对炉缸炉底 衬砖破损机理的分析 , 采用有限元法建 立 了炉缸 炉底侵 蚀判断数 学模 型 . 该模型用于推定炉缸炉底的 1 1 50 ℃ 等温线 (侵蚀参考 线 ) , 并结 合知识 库中的操 作知识对护 炉操作 进行指导 , 以 维护合理 的操作炉型 . 关扭词 高炉 , 炉衬 , 传热计算 , 有限元法 M o d e l f o r P r e d i e t i o n o f E r o s i o n P r o f il e o f H e a r t h a n d 且〕t t o m o f B l a s t F u r n a e e aY n g s h a n g b ao aY n g T 故n ] u n D 记刀王g y 扮h e n g 块p a r t m e n t o f M e t a ll a r g y , U S T B 1 0 0 0 8 3 A BS T R A C T A m 闭 e l f o r p r e d i e t i o n o f e r o s i o n p r o f il e o f t h e h e a r t h a n d b o t l o m o f a b l a 、 r f u r n a e e 1 5 e s t a b li s h e d b a s e d o n t h e a n a ly s i s o f t h e e r os i o n m e e h a n i s m o f r h e h e a r t h a n d b o r t o m o f t h e b l a s t f u r n a e e s . T h e 1 1 5 0 、 ( 二 i s o t h e r m a s a r e f e r e n e e P r o f i l e o f t h e e r o s i o n o f t h e h e a r r h a n d b o t t o m w a s e a l e u l a t e d w i t h t h e f in i t e e l e m e n t m e t h浏 . T h e o p t i m a l w o r k i n g p r o f il e o f t h e h e a r t h e a n b e m a d e b y r h e m闭 e l e o m b i n e d w i t h t h e o p e r a t i v e i n d i e a - t i o n b y t h e k n o w l e d g e b a s e s · K E Y w 0 R D S b l a s t f u r n a e e , l i n i n g b lco k , h e a r t r a n s f e r e a l e u l a ri o n , f i n i e e e l e m e n t m e t h od 高 炉 各部 位工 作条 件不 同 , 受 破坏 的因 素也 不 同 , 总体 来说 , 炉底 和 炉缸 部分侵蚀最 为 严重 , 因此 , 高炉 炉底和 炉缸的侵 蚀程度 是决定 高炉 一代 寿 命 的关 键 , 及 时 了解和 控 制 高炉 炉衬 ( 特别 是 炉缸 炉底 ) 的侵 蚀情况 是非 常重 要 的 , 尤其 在 强化 冶 炼 的情况 下 , 更是 如此 . 1 破损机理 炉 缸和 炉底 碳 砖破 损 的原 因随部 位 的不 同而有 差 异 , 归纳 起 来 主要 原因有 : ①渣 、 铁和 煤气 的机械 冲刷 作 用 ; ②热 应力 破坏 作用 ; ③煤 气 中 的 C 0 2 、 0 2 、 H 2 0 和 漏入水 的 氧化 作用 ; 1 9 9 5一 1 0一 1 6 收稿 DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 1995. s1. 001
2· 北京科技大学学报 ④铁和碱金属的侵蚀；⑤铁和碱金属的渗透碳砖变质，并在渗透层与状态良好碳砖之间由于 应力作用而产生环形裂缝（脆化层）. 据此，炉缸炉底的侵蚀可分为高温熔蚀、渗铁上浮、脆化层形成及异常侵蚀等几类 在高炉大修之际，通过对某300m3高炉炉缸炉底侵蚀情况的考查，我们发现该高炉炉底 砖缝过大，渗铁严重（须提高砌炉质量），且存在明显的“异常侵蚀”. 2数学模型 由以上对炉衬侵蚀机理的分析可以知道，炉衬所受的破坏作用是非常复杂的，包括机械 侵蚀和化学侵蚀。这种侵蚀只有当砌体由于冷却等原因而使热面温度降低到所接触的渣铁凝 固温度时才会停止·这时将会在砌体表面生成粘稠的甚至凝固的渣皮或铁壳，从而阻止进一 步侵蚀.对炉底来说，一般要降到1150℃左右方能使铁水凝结。为此，我们取炉底1150℃等 温线作为炉底的准侵蚀曲线（侵蚀参考线）. 本模型采用有限元法对炉缸炉底处热电偶所测数据进行计算处理，得出1150℃等温线的 位置和形状，从而推定出炉缸炉底的侵蚀情况 2.1条件假设 基于高炉过程的复杂性和检测条件的限制，在建立炉缸炉底侵蚀模型时，对高炉过程作 如下简化与假设： (1)把炉缸炉底侵蚀线的判断问题只看作是一个温度场的计算问题，1150C等温线即为 侵蚀参考线； (2)把高炉看作是一个轴对称容器，炉缸炉底的侵蚀状况沿高炉中心线呈轴对称分布，故 炉缸炉底的传热过程是二维的： (3)视炉缸炉底的传热过程为稳态过程； (4)炉缸侧面外部和炉底底层水冷部的边界都视为线性的. 这样，炉缸炉底侵蚀线的推定问题，实际上就是一个二维稳态的传热问题，目标就是要 找出炉缸炉底砖衬中1150℃等温线的位置. 2.2建立模型 采用有限元法计算炉缸炉底的1150C等温线.由上可知，将高炉炉缸和炉底作为轴对称 问题处理，炉缸炉底的导热为二维稳态导热，且内部无热源.因此，炉缸炉底的热传导方程 为2： +买+=0 (1) 式中：r为径向距离；x为轴向距离. 假设：①炉缸侧壁和炉底的温度分布呈线性；②炉缸内壁温度为本次的出铁温度，则边 界条件为第一类边界条件，即： T(x,r)|p=f(r、r) (2)
· 2 · 北 京 科 技 大 学 学 报 ④铁和 碱金属 的侵蚀 ; ⑤铁和 碱金属 的渗透碳 砖变 质 , 并 在渗透层 与状态 良好碳砖之 间 由于 应 力作 用而 产生 环 形裂 缝 ( 脆 化 层 ) . 据此 , 炉 缸 炉 底 的侵蚀可 分为高 温熔 蚀 、 渗铁 上 浮 、 脆 化 层形 成及 异 常侵蚀等几类 l1[ . 在高 炉大修 之 际 , 通过对某 3 o o m , 高炉 炉缸 炉底 侵蚀情况 的考 查 , 我 们发现 该高炉 炉底 砖缝 过大 , 渗铁严重 ( 须提高砌炉质 量 ) , 且 存在 明显 的 “ 异常侵蚀 ” 2 数学模型 由以 上 对 炉衬 侵蚀机理 的分析 可以 知道 , 炉衬 所受 的破坏作 用是 非常 复杂 的 , 包 括机械 侵蚀和 化学侵蚀 . 这种侵蚀只有 当砌 体由于冷 却等原 因而使热 面温 度 降低到 所接 触 的渣铁凝 固温 度时 才会停止 . 这时将 会在 砌体表面 生成 粘稠 的甚 至凝 固的渣 皮或 铁壳 , 从而阻 止进一 步侵蚀 . 对 炉 底来 说 , 一 般要 降到 1 1 5 0 ℃ 左 右方 能使 铁水 凝结 。 为此 , 我们取炉 底 1 1 50 ℃ 等 温线 作为炉 底 的准侵蚀 曲线 (侵蚀参 考线 ) . 本 模型 采 用有 限元法对 炉缸 炉底 处热 电偶 所测 数据进行计算处 理 , 得 出 1 1 50 ℃ 等温线 的 位置 和 形状 , 从 而 推定 出炉 缸炉 底 的侵蚀情 况 . 2 . 1 条 件假设 基于 高炉 过 程 的复 杂性和检 测条 件 的限制 , 在建 立炉 缸炉底 侵蚀模型 时 , 对高 炉过 程 作 如 下 简化 与假 设 : ( 1) 把炉缸 炉 底侵蚀线 的判 断 问题 只看 作是一个 温度 场的计算问题 , 1 15 0 ` C 等温 线 即为 侵蚀 参考 线 ; ( 2 ) 把高炉看 作 是一个 轴对称容 器 , 炉缸炉 底 的侵蚀 状况 沿高 炉 中心线 呈轴 对 称分布 , 故 炉缸 炉底 的传 热 过程 是 二维 的 ; ( 3) 视炉 缸 炉底 的 传热 过 程 为稳 态过程 ; ( 4) 炉缸 侧 面外 部和 炉 底 底层 水冷 部 的边 界都视为线性的 . 这样 , 炉 缸炉 底 侵蚀 线 的 推 定问题 , 实际上 就是 一个 二维 稳态 的传 热 问题 , 目标就是 要 找 出炉缸 炉底 砖 衬 中 1 1 5 0 ` C 等 温 线 的位置 . 2 . 2 建 立模型 采 用有 限元法 计 算炉 缸炉 底 的 1 1 50 C 等温 线 . 由上 可知 , 将高 炉炉 缸和 炉底 作为 轴对 称 问题处 理 , 炉缸 炉底 的导 热为二 维 稳态 导热 , 且 内部无 热源 . 因此 , 炉缸炉 底 的热传 导方程 为 [ 2 〕 : 刁 甲 . 1 刃 ’ . 刁 罕 下 , 歹 十 一 下 一 十 下, 犷 一 U 〔丈Z ` r 亡厅 ` 超力~ ( l ) 式 中 : : 为径 向距离 ; x 为轴 向距 离 . 假设 : ① 炉 缸侧 壁和 炉 底 的温度 分布 呈 线性 界条 件 为第一类 边 界条件 , 即 : T ( 二 , r) }P - ②炉 缸 内壁温 度 为本次 的 出铁温 度 , 则边 f ( 二 、 r) ( 2 )
杨尚宝等：高炉炉缸炉底侵蚀判断模型 3 这样，求解炉底和炉缸温度场即为求泛函数： ℃)]dxdr 1-了[邵+ (3) 的极值曲面T(x、r)的变分计算. (1)单元的划分和温度场的离散化 根据某3003高炉的炉缸炉底测温热电偶的布置情况，采用有限单元法中单元的划分规 则，将温度场按图1进行单元划分. x/ 图1盟度场的单元划分 各三角形单元中任意一点的温度可以离散到单元的3个顶点上，即T,T,和Tm3个温度 值表示单元的温度场T: T=f(T.,T,T) (4) 则在求温度场时，可只求离散温度T,T,和Tm,而不必求解连续的温度场 (2)温度插值函数的构成 对于三角形单元，通常假设单元e上的温度T是x和r的线性函数，即： T=a+azr+asr (5) 式中：a1,a2和a是待定常数，可由节点温度来确定，则有： 「1x,1 「41] TT 1x,r, T, (6) LI x T 利用矩阵求逆的方法可求出a、a2和a [a1 「a, a,am]「T, 1 b b,b T (7) 24 La: LC,C, CT 即： d=2g(aT,+aT,+aT a=2a(6,T,+6,T,+bTn) 1
杨 尚宝等 : 高炉炉缸炉底侵蚀判断模型 这样 , 求解炉 底和 炉缸 温度 场即 为求泛函数 : t, 一 汗拿r (擎) 2 + (擎 ) 2 〕d x d r 司 e 乙 一 。 沈 。 〕, - ( 3 ) 的极值 曲面 T (x 、 )r 的变分计算 . ( 1) 单元的 划分和温度 场 的离散化 根据某 3 0 m “ 高炉的炉 缸炉 底测 温热 电偶 的布置 情况 , 采用 有 限单元 法中单 元的划 分规 则 , 将温度场按图 l 进行单 元 划分 . 口月习匕一 } 冈月/ 冈夕卜夕冈刀/ 园团价卜团团少 / / / z / / 了 / / / 叮夕 / / 一/ 尸 / / / / // / 月 }刃 刀 刀 冈 团 / 1/ 日 刁刀 /冈 口 之1困刀2 〕 压夕 / / / / / / / 叮夕 / / } / / / 子 / z /产 / 冈 冈 团 冈 团 口川冈朋 川团 团团 曰团巨 :到 / / / / / / / / / /肿/ / / / / / / / / 少冈目柳/ / / / / / / / / / / / 日冈冈肿/ / / 厂必/ / / / ’ / / /回日棚/ ’ / \ / . ] / / 尸 图 1 沮度场的单元划 分 各三 角形单 元 中任意一 点的温 度 可 以 离散 到单 元 的 3 个 顶 点上 , 即 T , , T , 和 T 二 3 个温 度 值表示单元的温 度场 T : T 一 f ( T ; , T , , 凡 ) (4 ) 则 在求温度 场 时 , 可 只求离 散温度 T , , T , 和 T 。 , 而 不必 求解连续 的 温度 场 . ( 2) 温度插值函数的构 成 对于三 角形 单元 , 通常 假设单 元 。 上 的温度 T 是 x 和 r 的线性 函 数 , 即 : T 一 a l + a Z了 + a 3 r ( 5 ) 式 中 : a l , a : 和 a 3 是待定常 数 , 可 由节 点温 度来 确 定 , 则有 : X …) 利用 矩 阵求逆 的方法 可求 出 a l 、 r 、 … 「 “ 1 」 「二 / … 州 I “ “ { 一 r ,科 L “ 3」 …L川丈 阴习 ( 6 ) a : 和 a 3 a , 」「T ` ] b , ……兰 , { 气」 L ,I ’ 翩 ( 7 ) 久友 乌吞 . ic 一 生肥 一 矗 ( “ 黑 一 矗 `占工 + a , T , + a , T , ) + 瓦T , + b 。 T 。 )
·4· 北京科技大学学报 a=acT+c7,+7） 式中： a.Trm Imr)b,=r)-rm Ci=xm -T d)Imr,-I,rm b,=rm-rC,=x一xm am=x,r,一xr, bm=r,一T,Cm=x,-x, 2△=b,c,-b,c, (3)变分计算 单元的温度场离散成只与T、T,和Tm3个节点温度有关的插值函数，则单元的变分计算 为aJ./aT.,aJ./aT,和aJ,/aTm(e表示任意单元). 据泛函表示式、则有： a.1./aT.= 服品0)+器品dr (8) 可以证明： r/8x=a6T,+6T,+6.T) a,aT、 品票)- 买-ac++.T) 品欲=嘉 则a/n,=急[+T+(o,+ccT,+b.+6T.]ddr 同样可证明：，a=合化十十以 令9总a+十， a/aT =l(b:+c)T.+(b6,+cc,)T,+(b.b+c.cm)Tm] (9) 由此可得方程组： aJ,/aT,=(b2+ci)T.+(b.6,+cic,)T,+(b.b+ccm)T] aJ,/aT,=(bi+cj)T,+(b.b,+cc,)T.+(6,bm +c,cm)Tm] aJ./OT.=(b.b,+cc)T.+(bb+c,cm)T,+(b+c)Tm] 已知J为定义在求解区域中的泛函，则： J=. (10) 由于温度场已离散到全部节点上，泛函实际上成为一个描述这些未知节点温度的多元函数，泛 函的变分问题也变为多元函数求极值的问题.设区域中有个节点，已知节点温度的节点数为 L,则多元函数为J(T1,T,T,…,T-)的条件为： a1/n.=8歌=0k=12…m-1 (11) 根据各单元对节点的贡献，可以写出：
· 4 · 北 京 科 技 大 学 学 报 1 , … . ~ . ~ a 3 一 函 气c ! 1 盈 十 “ , 1 , 十 “ , 丈 功 式中 : a : 一 x , r 二 一 x 二 r , b : 一 r , 一 r , . 一 x 。 一 毛 a , 一 x , r 一 x 厂二 b , 一 r 二 一 r ; c , 一 x 一 x 。 a 。 一 了 , r , 一 了厂 b 。 ~ r , 一 r , ` 一 x , 一 ix 2乙 = b : c 少 一 b , c , ( 3) 变分计 算 单元 的温度场 离散 成 只 与 T 。 、 T , 和 T , 3 个节 点温度 有关的插 值 函 数 , 则 单元 的 变分 计 算 为 a l 亡归 T : , a J 。 / a 界 和 a l 。 / a T , e( 表 示 任意 单元 ) . 据泛 函 表示式 , 则有 : _ _ _ _ 邝 _ 。 日7 , a a Z 、 日了 , a _ a 了 , 、 , , a l 尸 / 己了 , : 一 }} k r 「头立 寿若( 哥立 ) + 毛升 后 ; ( 毛井) l d x d r ( 8 ) 刀厂 L a x 日了 , ; 、 ax ` ’ ar 盯几 、 于 ’ J -一 ’ 可以 证 明 : 。 ~ , ~ l , , ~ . , … . , … 、 a T / a x 一 子二 ( 友T , + b , T , + b 。 T , ) 一 ’ 一 2△ 、 一 ’ 一 ” 一 少 一 少 ’ 一 从 一 沉 a , 日了 , 、 1 , 丈三二 ( 畏几 ) ~ 拼份b ` a T i 、 a x 产 2△一` 日了 1 , _ . ~ . ~ 、 畏立 ~ 子 万 ( c T 、 + c , T , + c , T , ) a r Z△ 、 一 ` 一 ` ’ 一 少一 J ’ 一 爪 一 爪 a , 己叮 , 、 1 a T 、 ar 产 2乙 一 ` ~ , ~ _ _ _ k 尸 _ 。 。 、 _ _ _ 、 _ 二 、 _ , 伴 , 则 aJ 扩日T ~ 拼六[ ( 鲜 + 叮) T + (叔b , + c c ) T , + ( 友b 。 + c ic 沪 T , 1 }} d x d r 4乙 “ ` 、 一 ’ 一 ’ 一 ` ’ 、 一 ` 一 少 ` 一 ` 一 少 一 J ’ 、 一 ’ 一 , ’ 一 ` 一 , 一 , 曰 J , - 一 同样可证 明 : r d x d 二 一 李( r l + r + r 。 ) . 刁 一 · ’ 刀 , 3 ’ k 令 甲苏下 ( r ` + r , + 、 ) , r 1 2△ 、 ’ ` ’ ` 少 ” 优 ’ 则 aJ , / aT , = 妊 ( b 子+ c 子) T , + ( b b , + c : c , ) 兀 + ( b , b , + c 、 c 。 ) T 。 ] 由此可得方 程组 : a J 。 / aT , = 托 ( b子+ c于) T , + ( b , b , + e `c , ) 兀 + ( b ; b 。 + c 、c , ) T , 〕 aJ 。 / aT , 一 妊 ( b子+ e 了) T , + ( b , b , + c 。 c , ) T , + ( b , b , + c , c , )虱 ] aJ , /。 T 。 = 此 ( b ; b , + c , c , ) T + ( b , b , + c , c , ) T , + ( b轰+ c二) T , ] 已知 J 为定义在求解 区域 中的 泛 函 , 则 : J 一 乙 J ( 9 ) ( 1 0 ) 由于温度场 已离散 到全 部 节点 上 , 泛函 实 际上 成 为一个 描述 这些 未 知节 点温 度 的多 元函 数 , 泛 函的变分 间题也变为多 元 函 数求 极值 的问题 . 设 区 域 中有 n 个 节 点 , 已知 节 点温 度 的节 点 数 为 l , 则多元 函数 为 J ( T I , T : , T 3 , … … , T , 一 , ) 的 条件 为 : a j / 己7 , * 一 O k = 1 , 2 , … … , n 一 l ( 1 1 ) 一 一不少了 a一夕 · 艺 根据各单元对 节点 的贡献 , 可 以 写 出 :
作护型提供摄大晋助。 参考文载 05北京粉尚密学通爱隆论 学泥：藤薄系泽集乾表
· 4 · 北 京 科 技 大 学 学 报 1 , … . ~ . ~ a 3 一 函 气c ! 1 盈 十 “ , 1 , 十 “ , 丈 功 式中 : a : 一 x , r 二 一 x 二 r , b : 一 r , 一 r , . 一 x 。 一 毛 a , 一 x , r 一 x 厂二 b , 一 r 二 一 r ; c , 一 x 一 x 。 a 。 一 了 , r , 一 了厂 b 。 ~ r , 一 r , ` 一 x , 一 ix 2乙 = b : c 少 一 b , c , ( 3) 变分计 算 单元 的温度场 离散 成 只 与 T 。 、 T , 和 T , 3 个节 点温度 有关的插 值 函 数 , 则 单元 的 变分 计 算 为 a l 亡归 T : , a J 。 / a 界 和 a l 。 / a T , e( 表 示 任意 单元 ) . 据泛 函 表示式 , 则有 : _ _ _ _ 邝 _ 。 日7 , a a Z 、 日了 , a _ a 了 , 、 , , a l 尸 / 己了 , : 一 }} k r 「头立 寿若( 哥立 ) + 毛升 后 ; ( 毛井) l d x d r ( 8 ) 刀厂 L a x 日了 , ; 、 ax ` ’ ar 盯几 、 于 ’ J -一 ’ 可以 证 明 : 。 ~ , ~ l , , ~ . , … . , … 、 a T / a x 一 子二 ( 友T , + b , T , + b 。 T , ) 一 ’ 一 2△ 、 一 ’ 一 ” 一 少 一 少 ’ 一 从 一 沉 a , 日了 , 、 1 , 丈三二 ( 畏几 ) ~ 拼份b ` a T i 、 a x 产 2△一` 日了 1 , _ . ~ . ~ 、 畏立 ~ 子 万 ( c T 、 + c , T , + c , T , ) a r Z△ 、 一 ` 一 ` ’ 一 少一 J ’ 一 爪 一 爪 a , 己叮 , 、 1 a T 、 ar 产 2乙 一 ` ~ , ~ _ _ _ k 尸 _ 。 。 、 _ _ _ 、 _ 二 、 _ , 伴 , 则 aJ 扩日T ~ 拼六[ ( 鲜 + 叮) T + (叔b , + c c ) T , + ( 友b 。 + c ic 沪 T , 1 }} d x d r 4乙 “ ` 、 一 ’ 一 ’ 一 ` ’ 、 一 ` 一 少 ` 一 ` 一 少 一 J ’ 、 一 ’ 一 , ’ 一 ` 一 , 一 , 曰 J , - 一 同样可证 明 : r d x d 二 一 李( r l + r + r 。 ) . 刁 一 · ’ 刀 , 3 ’ k 令 甲苏下 ( r ` + r , + 、 ) , r 1 2△ 、 ’ ` ’ ` 少 ” 优 ’ 则 aJ , / aT , = 妊 ( b 子+ c 子) T , + ( b b , + c : c , ) 兀 + ( b , b , + c 、 c 。 ) T 。 ] 由此可得方 程组 : a J 。 / aT , = 托 ( b子+ c于) T , + ( b , b , + e `c , ) 兀 + ( b ; b 。 + c 、c , ) T , 〕 aJ 。 / aT , 一 妊 ( b子+ e 了) T , + ( b , b , + c 。 c , ) T , + ( b , b , + c , c , )虱 ] aJ , /。 T 。 = 此 ( b ; b , + c , c , ) T + ( b , b , + c , c , ) T , + ( b轰+ c二) T , ] 已知 J 为定义在求解 区域 中的 泛 函 , 则 : J 一 乙 J ( 9 ) ( 1 0 ) 由于温度场 已离散 到全 部 节点 上 , 泛函 实 际上 成 为一个 描述 这些 未 知节 点温 度 的多 元函 数 , 泛 函的变分 间题也变为多 元 函 数求 极值 的问题 . 设 区 域 中有 n 个 节 点 , 已知 节 点温 度 的节 点 数 为 l , 则多元 函数 为 J ( T I , T : , T 3 , … … , T , 一 , ) 的 条件 为 : a j / 己7 , * 一 O k = 1 , 2 , … … , n 一 l ( 1 1 ) 一 一不少了 a一夕 · 艺 根据各单元对 节点 的贡献 , 可 以 写 出 :