免费下载网址htp:/is aoxue5u. ys168. com/ 的5实数的运算 〖教学目标〗 (一)知识目标 1.了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用 2.用类比的方法,引入实数的运算法则、运算律,并能用这些法则,运算律在实数范 围内正确计算. 3.正确运用公式 a·b(a≥0,b≥0) √bVb (a≥0,b>0) 4了解二次根式和最简二次根式的概念 (二)能力目标 1.让学生根据现有的条件或式子找出它们的共性,进而发现规律,培养学生的钻研精神和 创新能力 2.能用类比的方法去解决问题,找规律,用旧知识去探索新知识. (三)情感目标 通过探索规律的过程,培养学生学习的主动性,敢于探索,大胆猜想,和同学积极交流, 增强学习数学的兴趣和信心 时代在进步,科学在发展,只靠在学校积累的知识已远远不能适应时代的要求,因此 在校学习期间应培养学生的能力,具备某种能力之后就能应付日新月异的新问题.其中类比 的学习方法就是一种学习的能力,本节课旨在让学生通过在有理数范围内的法则,类比地 学习在实数范围内的有关计算,重要的是培养 这种类比学习的能力,使得学生在以后的学习和工作中能轻松完成任务 〖教学重点〗 1.用类比的方法,引入实数的运算法则、运算律,并能在实数范围内正确进行运算. 2发现规律:a√b=ab(a≥0.b20);= b=V(a≥0b>0)并能用规律进行计算 〖教学难点〗 1.类比的学习方法.2.发现规律的过程 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 17.5 实数的运算 〖教学目标〗 （－）知识目标 1．了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用. 2.用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能用这些法则，运算律在实数范 围内正确计算. 3.正确运用公式 a b = a b(a 0,b 0); = (a 0,b 0) b a b a . 4.了解二次根式和最简二次根式的概念. （二）能力目标 1．让学生根据现有的条件或式子找出它们的共性，进而发现规律，培养学生的钻研精神和 创新能力. 2.能用类比的方法去解决问题，找规律，用旧知识去探索新知识. （三）情感目标 通过探索规律的过程，培养学生学习的主动性，敢于探索，大胆猜想，和同学积极交流， 增强学习数学的兴趣和信心。 时代在进步，科学在发展，只靠在学校积累的知识已远远不能适应时代的要求，因此 在校学习期间应培养学生的能力，具备某种能力之后就能应付日新月异的新问题.其中类比 的学习方法就是一种学习的能力，本节课旨在让学生通过在有理数范围内的法则，类比地 学习在实数范围内的有关计算，重要的是培养 这种类比学习的能力，使得学生在以后的学习和工作中能轻松完成任务. 〖教学重点〗 1.用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能在实数范围内正确进行运算. 2.发现规律： a b = a b(a 0,b 0); = (a 0,b 0) b a b a .并能用规律进行计算. 〖教学难点〗 1.类比的学习方法. 2.发现规律的过程
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 〖教学过程〗 课前布置 自学:阅读课本P114P115,试着做一做本节练习,提出在自学中发现的问题(鼓励提问). 二、师生互动 (一)二次根式的理解:形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式 说明:1.被开方数大于0 2.√a(a≥0)具有非负数的特性 3.性质:一般地(a20)是a的算术平方根,于是有(√a)2=a(a≥0) 练习: 1.若√3-2x有意义,则x= 2.(06泸州中考)要使二次根式√x-1有意义,字母x的取值必须满足的条件是() A.X≥1 B.x≤1 3.(06海淀)已知实数x,y满足x-5+√y+4=0,求代数式(x+y)0的值。 4.计算:(1) (2) (2√3)2 解: -5=0 3.解:依题意 解得 y+4=0 当x=5,y=-4时,(x+y)=(5-4)=1 3 4.解:(1) (2) (2√3)2=22×(3)2=4×3=12 (二)一起交流课本P114的“做一做” 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 〖教学过程〗 一、课前布置 自学：阅读课本 P114~P115，试着做一做本节练习，提出在自学中发现的问题（鼓励提问）. 二、师生互动 （一）二次根式的理解：形如 a ( a 0 )的式子叫做二次根式 说明：1.被开方数大于 0； 2. a ( a 0 )具有非负数的特性. 3.性质：一般地 a(a 0) 是 a 的算术平方根，于是有 ( ) ( 0) 2 a = a a 练习： 1.若 3 − 2x 有意义，则 x = ______ 2. （06 泸州中考）要使二次根式 x −1 有意义，字母 x 的取值必须满足的条件是（ ） A. x≥1 B. x≤1 C. x>1 D. x<1 3.（06 海淀）已知实数 x，y 满足 x −5 + y + 4 = 0 ，求代数式 (x + y) 2006 的值。 4.计算：（1） 2 ) 5 3 ( ； （2） 2 (2 3) ； 解：1. 2 3 x 2. A 3. 解：依题意 x y − = + = 5 0 4 0 解得 x y = = − 5 4 当 x = 5，y = −4 时， (x + y) = ( − ) = 2006 2006 5 4 1 4.解：（1） 5 3 ) 5 3 ( 2 = ； （2） (2 3) 2 ( 3) 4 3 12 2 2 2 = = = 。 （二）一起交流课本 P114 的“做一做
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ [师生共析]在有理数范围内,可以进行加、减、乘、除和乘方运算,运算后所得到的数 仍然是有理数。把数从有理数扩充到实数以后,在实数范围内不仅可以进行加、减、乘、 除、乘方运算,而且正数和零可以进行开平方和开立方运算,负数可以进行开立方运算 即:正数和零的平方根是实数,任何一个实数的立方根是实数 关于有理数的运算律和运算性质,在进行实数运算时仍然成立。 1.理解积的算术平方根的性质,必须注意: (1)被开方数的每一个因子或因式必须是非负数,没有这个条件,性质不成立 (2)这个公式的作用是化简二次根式,如果被开方数中有的因式(或因子)能开得尽方, 可以利用此公式及公式√a2=a(a≥0),将这些因式(或因子)开出来,因此化简二次根 式时,一般先将被开方数进行因式分解或因子分解 (3)积的算术平方根的性质对于当因子是三个或三个以上时仍然成立 如:√abad=a.b,√e.a(a≥0,b≥0,c≥0,≥0) (4)积的算术平方根的性质反过来,就得到二次根式的乘法公式 Vb=√ab(a 0,b≥0),运用这个公式可以进行简单的二次根式的乘法运算 2.二次根式的性质 √ab=√a·√b(a≥0,b≥0), (a≥0,b>O) Vb√b (三)利用性质化简 师]利用你自学的知识,说一说什么样的二次根式需要化简 [生]被开方数中能分解因数.且有些因数能开出来这时就需要对其进行化简 [生]被开方数中含有分母,需要化简,化简后被开方数中没有了分母.如: [师]如果被开方数中含有分母,要把分子分母同时乘以某一个数,使得分母变成一个能 开出来的数,然后把分母开出来,使被开方数中没有了分母 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com ［师生共析］在有理数范围内，可以进行加、减、乘、除和乘方运算，运算后所得到的数 仍然是有理数。把数从有理数扩充到实数以后，在实数范围内不仅可以进行加、减、乘、 除、乘方运算，而且正数和零可以进行开平方和开立方运算，负数可以进行开立方运算。 即：正数和零的平方根是实数，任何一个实数的立方根是实数。 关于有理数的运算律和运算性质，在进行实数运算时仍然成立。 1．理解积的算术平方根的性质，必须注意： （1）被开方数的每一个因子或因式必须是非负数，没有这个条件，性质不成立. （2）这个公式的作用是化简二次根式，如果被开方数中有的因式（或因子）能开得尽方， 可以利用此公式及公式 2 a ＝a（a≥0），将这些因式（或因子）开出来，因此化简二次根 式时，一般先将被开方数进行因式分解或因子分解. （3）积的算术平方根的性质对于当因子是三个或三个以上时仍然成立. 如： abcd ＝ a · b · c · d （a≥0，b≥0，c≥0，d≥0）. （4）积的算术平方根的性质反过来，就得到二次根式的乘法公式，即 a · b ＝ ab （a ≥0，b≥0），运用这个公式可以进行简单的二次根式的乘法运算. 2. 二次根式的性质： ab ＝ a · b (a≥0，b≥0)， b a ＝ b a (a≥0,b>0). （三）利用性质化简 ［师］利用你自学的知识，说一说什么样的二次根式需要化简 ［生］被开方数中能分解因数.且有些因数能开出来.这时就需要对其进行化简. ［生］被开方数中含有分母，需要化简，化简后被开方数中没有了分母. 如： 2 2 4 2 4 2 2 1 = = = ［师］如果被开方数中含有分母，要把分子分母同时乘以某一个数，使得分母变成一个能 开出来的数，然后把分母开出来，使被开方数中没有了分母
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ (鼓励学生讲解教师提供的例题) 如52x31 494949×2√49×√27 10 216=√62×6=√62 √6 h8=V18=V9=3 巩固练习 化简:(1)√27;(2)√45:(3)√128:(4)√4:(5) (四)最简二次根式 师生共析]最简二次根式所满足的条件: 条件一,即为被开方数不含分母;条件二,即为被开方数的每一个因子或因式的指数都小 于根指数 要判断一个根式是否为最简二次根式,两个条件缺一不可 (五)引导学生小结: 1.化二次根式为最简二次根式的方法: (1)如果被开方数是分数(包括小数)或分式,先利用商的算术平方根的性质把它写 成分式的形式,然后利用分母有理化化简 (2)如果被开方数是整数或整式,先将它分解因子或因式,然后把能开得尽方的因子 或因式开出来,从而将式子化简. 2.二次根式的化简应注意以下问题 (1)被开方数含有带分数,通常化成假分数 (2)被开方数是和、差的形式,应把它分解因式,化成积的形式 (3)根号内的分子或分母移到根号外时,应保留其对应的位置(即原来是分母的移到 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com （鼓励学生讲解教师提供的例题） 如： ; 3 3 9 3 9 3 3 3 1 3 3 1 = = = = 2. 2 7 2 49 2 2 49 2 2 49 10 49 5 10 49 5 2 = = = = = . 3 1 9 1 18 2 18 2 ; 2 1 4 1 12 1 3 12 1 3 216 6 6 6 6 6 6; 2 2 = = = = = = = = = 巩固练习： 化简：(1) 27 ； (2) 45 ；(3) 128 ；(4) 54 ；(5) 9 32 ；(6) 16 125 . （四）最简二次根式 ［师生共析］最简二次根式所满足的条件： 条件一，即为被开方数不含分母；条件二，即为被开方数的每一个因子或因式的指数都小 于根指数. 要判断一个根式是否为最简二次根式，两个条件缺一不可 （五）引导学生小结： 1．化二次根式为最简二次根式的方法： （1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写 成分式的形式，然后利用分母有理化化简. （2）如果被开方数是整数或整式，先将它分解因子或因式，然后把能开得尽方的因子 或因式开出来，从而将式子化简. 2. 二次根式的化简应注意以下问题： （1）被开方数含有带分数，通常化成假分数. （2）被开方数是和、差的形式，应把它分解因式，化成积的形式. （3）根号内的分子或分母移到根号外时，应保留其对应的位置（即原来是分母的移到
免费下载网址ht:/ jiaoxue5uys68com/ 根号外后还是分母) (4)在整个化简过程中应注意符号问题,特别是注意被开方数是非负数这个隐含条件 练习:1下列各式中哪些是最简二次根式?哪些不是?并说明理由 (1)√03:(2)√27x:(3)√x2+y2;(4)√8a2b;(5)2:()y-x(x≤0):(7) 本题考査最简二次根式的定义,解题思路是根据二次根式的定义逐个判断 1.解只有(3)、(5)、(6)是最简二次根式 理由: (1)√03中的0.3不是整数,所以03不是最简二次根式 (2)√27x中的27x=32·3x,因数含有能开得尽方的因数,所以不是最简二次根式 (3)√8a2b的8b=(2a)2.2,因式含有能开得尽方的因数,所以不是最简二次根式 ()√a2+a2中的a+=a(+),因式含有能开得尽方的因数,所以不是最简二次 根式 总结本题的易错点是误认为√x+y,2不是最简二次根式,误认为√0.3是最简二次 根式 三、补充练习 作业:P115习题 〖巩固练习〗 下列各式 √8,-27,√一4,a,√4,Ⅷa2+2a+1,√2 √a2+2中是二次根式的有 2.x为何值时,下列各式在实数范围内有意义 (1)√2x+3:(2)√1-3x:(3)√(x-5) 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 根号外后还是分母）． （4）在整个化简过程中应注意符号问题，特别是注意被开方数是非负数这个隐含条件. 练习：1 下列各式中哪些是最简二次根式?哪些不是?并说明理由. (1) 0.3 ；(2) 27x ;(3) 2 2 x + y ;(4) a b 2 8 ; (5) 2 a ;(6) − x (x≤0)；(7) 2 4 a + a 本题考查最简二次根式的定义，解题思路是根据二次根式的定义逐个判断. 1.解 只有(3)、(5)、(6)是最简二次根式. 理由： (1) 0.3 中的 0.3 不是整数，所以 0.3 不是最简二次根式； (2) 27x 中的 27x＝3 2·3x，因数含有能开得尽方的因数，所以不是最简二次根式. (3) a b 2 8 的 8a 2 b＝(2a) 2·2b，因式含有能开得尽方的因数，所以不是最简二次根式； (4) 2 4 a + a 中的 a 2 +a 4＝a 2 (1+a 2 )，因式含有能开得尽方的因数，所以不是最简二次 根式； 总结 本题的易错点是误认为 2 2 x + y , 2 a 不是最简二次根式，误认为 0.3 是最简二次 根式. 三、补充练习 作业：P115 习题 〖巩固练习〗 1. 下列各式： 3 8 ， 3 − 27 ， (−4) ， 4 2 a ， 4 ， 2 1 2 a + a + ， 2a −1 (a< 2 1 ), 2 2 a + 中是二次根式的有 . 2. x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义. (1) 2x + 3 ； (2) 1− 3x ； (3) 2 (x − 5)
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 3.计算下列各式 √x 答案提示〗 1.分析:本题考查二次根式的定义,解题思路是根据二次根式的定义去判断 解∵√8,√-27,√a2的根指数不是2,∴它们不是二次根式 在√(-4)中,被开方数40,∴√-4小不是二次根式 在√2a-1中的被开方数2a-1有可能小于0,∴√2a-1不是二次根式 在√4中,被开方数4>0,∴√4是二次根式 在√a2+2a+1=√(a+12中被开方数(a+1)2≥0 +2a+1是二次根 在√a2+2中被开方数a2+2>0, a2+2是二次根式 总结本题的易错点是忽视二次根式中被开方数是非负数的隐含条件,注意这个隐含 条件是本题的解题关键 2.解(1)2x+3≥0,即x≥ 当x≥-3时,√2x+3有意义 (2)1-3x≥0,即x 3x有意义 (3)∵x不论取何实数,总有(x5)2≥0, 为任意实数,√(x-5)2有意义 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 3. 计算下列各式： (1)( 15 ) 2； (2) 2 5 1 − ； (3)(2 x ) 2 . 〖答案提示〗 1.分析：本题考查二次根式的定义，解题思路是根据二次根式的定义去判断. 解 ∵ 3 8 ， 3 − 27 ， 4 2 a 的根指数不是 2，∴ 它们不是二次根式. ∵ 在 (−4) 中，被开方数-40，∴ 4 是二次根式. ∵ 在 2 1 2 a + a + ＝ 2 (a +1) 中被开方数(a+1)2≥0，∴ 2 1 2 a + a + 是二次根 式. ∵ 在 2 2 a + 中被开方数 a 2 +2>0,∴ 2 2 a + 是二次根式. 总结 本题的易错点是忽视二次根式中被开方数是非负数的隐含条件，注意这个隐含 条件是本题的解题关键. 2.解 (1)2x+3≥0，即 x≥- 2 3 . ∴ 当 x≥- 2 3 时， 2x + 3 有意义. (2)1-3x≥0，即 x≤ 3 1 . ∴ 当 x≤ 3 1 时， 1− 3x 有意义. (3)∵ x 不论取何实数，总有(x-5)2≥0， ∴ x 为任意实数， 2 (x − 5) 有意义
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 3分析:(1)由(√a)=a(a≥0)直接可得,(2)要注意应先计毁’然后再求算术平 方根,(3)根据积的乘方法则,这里2也要平方 解(1)(√15)2=15 (3)2√x)2=2×(x)2=4x 总结本题的易错点是第(3)小题的2不平方,错成(2√x)2=2x 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 3.分析：(1)由( a ) 2＝a(a≥0)直接可得，(2)要注意应先计算 2 5 1 − ，然后再求算术平 方根，(3)根据积的乘方法则，这里 2 也要平方. 解 (1)( 15 ) 2＝15； (2) 2 5 1 − ＝ 25 1 ＝ 5 1 ； (3)(2 x ) 2＝2 2×( x ) 2＝4x. 总结 本题的易错点是第(3)小题的 2 不平方，错成(2 x ) 2＝2x